[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 다항식 - 다항식의 덧셈 뺄셈

너의 곱이에요 -2와 x의 곱이죠 그래서 -2x도 항입니다 하지만 만약에 누가 이렇게 물어봤어요 x² -2x가 항이야라고 물어봤을 때는 요거는 항이 아닙니다 우리 지금 사이에 지금 뺄셈이 들어가 있죠 곱으로만 이루어져 있어야 되는데 뺄셈이 들어가 있기 때문에 x 제곱 마이너스 2x는 항이 아닙니다 마지막에 숫자 4만이 있는 거는 항일까요네 요것도 항입니다 항인데 우리가 이렇게 항중에서 숫자만 있는 항 특정한 문자를 포함하지 않고 딱 숫자만 있는 항을 우리가 상수항이라고 합니다

숫자만 있으면 상수항이구나라고 알고 계시면 됩니다 자 이번엔 계수 볼게요 계수는 어떻게 정의되어 있냐면 항에서 특정한 문자를 제외한 나머지 부분이라고 적혀 있네요 나머지 부분을 의미하는게 지금 어디냐면 예를 들어이 x 제곱이 있다면요 문자에 해당하는 부분이 어디예요 x제곱이 문자에 해당하는 부분이에요 그러면 그 앞에 있는 숫자인이 바로 2가 계수인 겁니다 저는 쉽게 말해서 이렇게 설명드릴 수 있을 것 같아요 문자 앞에 곱해진 숫자라고 받아들이시면 더 좋지 않을까 그게 좀 더 직관적이고 쉽게 받아들이실 수 있을 것 같아요

그러면 만약에 4x y =요 x y의 계수는 뭘까요 그것은 바로 XY 앞에 곱해진 -4가 계수인 겁니다 자 이번엔 다낭식과 다항식을 설명드릴 건데 요거는 묶어서 같이 한번 설명드려 볼게요 먼저 다항식을 볼 건데 다랑식은 한 개의 항으로만 이루어진 시기라고 적혀 있네요 한 개의 항이니까 예를 들어 어떤 것들이 될 수 있을까요 바로 뭐 -6x -6x 또 oxy 아니면 6x의 제곱 숫자만 있어도 단항식이겠죠 상수항이라는 항 하나만 있으니까요 이런 애들을 우리가 단항식이라고 할 수 있습니다

그러면 다항식은 뭐냐 자 다항식 읽어봅시다 한 개 또는 검은색이 화면 글씨가 지워지네요 노란색으로 해보겠습니다 다항식은요 한 개 또는 두 개 이상의 항의합으로 이루어진 시기라고 적혀 있어요 그러면 우리가 아까 예시로 들었던 바로이 x 제곱 마이너스 2x + 4가 4항식의 예시로 우리가 들 수 있고요 당연히 뭐 아까 물어봤던 x 제곱 마이너스 2x도 다항식이라고 할 수 있겠어요 그런데 우리가 다항식의 정의에서 눈여겨 봐야 될 부분이 있는데 그게 어디냐면 한 개 또는 두 개 이상의 항이래요 그러면 한 개도 다항식이라는 거죠

그러면 우리가 아까 예시로 들었던이 마이너스 6x 5xy 6x 되고 5 얘네들은 단항식이기도 하지만 단항식이기도 하지만 동시에 다항식이라고도 할 수 있는 겁니다 다항식은 다항식의 포함되는 관계인 거예요 이거 기역 니은 디귿으로 이렇게 물어볼 수 있겠죠 아니면 객관식으로 1번 2번 3번 4번 5번 중에 뭐 틀린 거 고르시오 이런 문제에서도 쉽게 출제될 수 있는 함정인 것 같습니다 자 이번엔 차 써볼게요 차수는 두 개로 지금 정의가 되어 있는데 항의 차수와 다항식의 차수예요 자 만약에 누가 이렇게 물어봤어요 몇 차항이야 몇 차항이야라고 물어보면 우리는 방에 착수를 물어보는 거고요 몇 차 식이야라고 물어보면 다항식의 차수를 물어보는 겁니다

그러면 만약에 x 제곱 마이너스 2x + 4가 몇 차식이야라고 물어보면 우리가 지금 딱봤을 때 여기 지금 2차도 있고 1차도 있고 상수항도 있어요 차수가 지금 3개나 있는데 어떤 걸로 대답을 해야 될까요 자 그 기준이 뭐냐면 다항식에서 차수가 가장 높은 항의 차수를 우리가 다항식에 차수로 하겠다는 겁니다 그럼 아까 2차 1차 상수항 있으니까 가장 높은 건 몇 차죠 2차입니다 그래서 우리는 요거는 2차식이야라고 대답을 해주면 되겠네요 자 항의 차수는요 우리가 쉽게 볼 수 있습니다 자 여기 지금 x²은 몇 차예요 요거는 2차항이고요 여기 -2x는 1차항입니다 자 예시를 한번 더 해보겠습니다 어 4x에 다섯 제곱 마이너스 6x의 제곱이 있으면요 얘는 몇 차식이에요 5차식입니다 5차식이고 자 4x 다섯 제곱은 몇 차항이에요얘는 5차항입니다 -6x²은 몇 차항이에요 2차항입니다 자 이렇게 보고 차수를 우리가 찾아낼 수 있겠죠

자 마지막으로 동료항에 대한 개념인데요 특정한 문자에 대한 차수가 같은 항입니다 차수가 같은 항이에요 그래서 예를 들어 6x의 제곱하고 -4x의 제곱이 있다면 두항은 과연 동류항인가요네 동력이 맞습니다 얘도 2차항이고 얘도 2차항이니까 얘는 동류항이 낮습니다 그런데 만약에 4x제곱이 아니라 4x예요 그럼 요런 경우에는 동료항인가요 이런 경우에는 비록 지금 문자가 같긴 하지만 차수까지 같아야 되기 때문에 우리가 숫자가 안 적혀 있는 건 1차항이니까 얘는 지금 차수가 다릅니다 그래서 이런 경우엔 동류항이 아니라고 하면 됩니다

자 다음 페이지 넘어가 보겠습니다 우리가 방식의 정리인데요 우리가 곱셈공식 같은 거 많이 나열을 해봤습니다 뭐 곱셈공식 한번 배운 적이 있는데 다항식을 나열하는 방법에는 두 가지가 있어요 내림차순과 오름차순이 있습니다 우리가 x+2의 제곱을 곱셈 공식을 활용해서 전개를 해주면 x의 제곱 플러스 4x+4인데요 우리가 곱셈공식이 기억나지 않은 학생들이 있을 수 있는데 우리가 어차피 뒤에서 곱셈 공식에 대해 다시 학습을 하게 되니까 너무 걱정 마시고요 일단은 예를 전개하면 이렇게 나열했던 거를 어렴풋이 기억은 할 수 있을 거예요 자 그러면 이렇게 지금 차수가 어떻게 되고 있어요 여기 2차고 여기 1차고 여기는 지금 상수항이니까 얘는 0차라고 하기도 합니다 이렇게 지금 차수가 낮아지고 있어요 이렇게 차수가 낮아지는 나열 방법을 우리가 내림차 합니다 차수가 낮아지는 걸 차수가 낮아지는 걸 내림차순이라고 하는 거예요 보면 차수가 어떻게 전개를 한다 그랬어요 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 나타내는 것이라고 정의가 되어 있습니다 이렇게 정의하는게 내림차순이고요 오름차순은 반대로 거꾸로 차수가 올라가는 순서로 전개를 해주는 겁니다

그럼 만약에 x+2의 제곱을 오름차순으로 전개를 하면 차수가 낮은 상수항부터 요렇게 적어주는 겁니다 자 그런데 우리가 보통은 어떻게 정리를 해주냐 내림차순으로 보통 정리를 해줍니다 어떤 다항식을 전개하거나 우리가 문제를 풀 때 식을 적다보면 다항식을 이렇게 적게 되는 과정이 많게 되는데 내림차순 특별한 언급이 없으면 내림차순으로 항상 습관을 들이시는게 좋습니다

자 예제를 한번 풀어보도록 하겠습니다 개념 예제고요 x² + 2xy - 3y² + 2x + y -3을x에 대한 내림차순으로 정리하래요 그러면 차수가 낮아지는 순서로 항을 전개하라는 소리죠 그러면 가장 높은 차수를 먼저 찾습니다 가장 높은 차수 몇 차죠 여기 맨 앞에 있는 x 제곱이 가장 높은 차수네요 그러면 가장 높은 거 요렇게 써줘요 x의 제곱 그다음 2차 다음 몇 차예요 1차겠죠 그러면 1차항을 제가 파란색으로 한번 체크해 보겠습니다 여기 exy가 있고요 여기 ex도 있네요 그러면 ex+2xy가 1차인데 이렇게 x에 관한 내림차순으로 전개를 해줄 때는 x로 묶어줍니다 x가 공통으로 들어 있으니까요 그러면 여기이 y + 2라고 적을 수 있겠네요 자 그럼 그거를 제가 여기다가 써 주겠습니다 자 ey 플러스 2의 x라고 쓸 거고요 남은 애들 뭐 있죠 남은 애들은 빨간색으로 세무치겠습니다 -3i 제곱y - 3 이런 항들이 남았고 그런 항들은 한번에 써주면 됩니다 마이너스 3 y의 제곱 플러스 y - 3이라고 적어주면 내림차순으로 정리가 끝난 겁니다

자 y에 대한 오름차순은 문제를 한번 직접 풀어 보시고요 이렇게 전개했을 때 이렇게 되는 것도 작성되어 있네요 자 연습해 보시면 좋겠습니다 자 세 번째 페이지는요 다음 식의 덧셈과 뺄셈인데 우리가 다항식에 덧셈과 뺄셈은 어떻게 하냐 가장 먼저 괄호를 풀고 그 다음에 동류항끼리 모아서 간단히 정리한다고 써있네요 자 우리가 많이 연습을 했던 거예요 그러면 한번 여기서 한번 해보겠습니다 바로 개념 예제를 풀어보도록 할게요 a - 2b를 전개하라고 했는데 지금 a라는식이 이거고 b라는식이 이거예요 그러면 a - 2b에 각각 식을 대입을 해주면 x의 제곱 플러스 3x-2에다가 -2에 b는-2x^2 + X + 4죠 자 그러면 우리가 요거 괄호를 풀기 위해 어떻게 해줘야 돼요 괄호를 풀기 위해이 마이너스 2를 분배해 주죠 이렇게 요렇게 요렇게요 자 그러면식이 어떻게 전개되는 거예요 x의 제곱 플러스 3x -2 + 4x² [음악] -2x-8로 전개가 됩니다 그다음 동류항끼리 계산해 주는 거예요 자 x 제곱의 동류항은 어디에 있어요 여기 4x² 있죠 그러면 두 개를 먼저 계산을 해줍니다 x²의 4x²도 하면 ox 제곱 이고요 그럼 이번엔 1차항 3x의 동류항은 -2x예요 그래서 3x-2x 해주면 플러스 x고요 뒤에 있던이 마이너스 2 -8 상수항 계산까지 상수항끼리도 동량입니다 그러면- 10이 되겠네요 자 2번은요 우리가 A b가 조금 섞여서 문제를 많이 적혀 있어요 a+3b -2a-b라고요 자 우리가 아까처럼 ab에다가 10대를 모두 대입하고 전기를 하는 과정을 들어가게 되면식이 상당히 복잡해집니다시기 복잡해지면 우리가 계산 실수도 하기 쉽고 시간도 오래 걸려요 그래서 이렇게 ab가 여러 개 있을 때는 대입을 하고 계산을 해주는게 아니라 먼저 식 자체를 정리를 해주고 그 다음에 대입을 해주는게 훨씬 더 간편하겠죠

자 그러면 한번 해보겠습니다 a+3b고요 -2a+b죠 그러면 a랑 -2a를 계산할 수 있으니까 마이너스 a가 되고요 + 3b의 b를 더해주면 4b가 되죠 그럼 -a+4b를 만들어 놓고 대입을 해주는 겁니다 자 테이블에 주면요 마이너스의 a는x의 제곱 플러스 3x-2고요 + 4의 b는 -2x의 제곱 플러스 X + 4입니다 자 그러면 요거 쭉 전기 해줄게요 -x의 제곱 마이너스 3x + 2라고 분배법칙 적용시켜준 거고요지도 마찬가지로 전개해주면 -8x 제곱 플러스 4x + 16입니다 그러면 동류항끼리 계산해주면 -9x의 제곱 플러스 x + 18까지라고 하면 우리 제가 모두 끝났네요 자 마지막 페이지고요 다음 시계 덧셈에 대한 성질입니다 교환법칙 결합법칙에 관한 내용이 지금 설명되어 있는데 교환법칙은 뭐죠 교환법칙은 앞뒤 순서를 바꿀 수 있다는 거예요 자 결합법칙은 우리가 원래 앞에서부터 계산을 해 줘야 되는데 앞에 거 계산 먼저 안 하고 뒤에 거의 괄호 쳐서 먼저 계산해도 된다는 얘기입니다 자 우리가 요거를42mm 정말 활용을 많이 하고 있어요 어떻게 활용을 하고 있냐면요 아까도 전개했던 뭐 x의 제곱 플러스 2X + 3 + 3 x의 제곱 마이너스 5 이런 식을 만약 계산을 한다고 했을 때 원래는 앞에서부터 계산을 하게 되면 x 제곱하고 2x를 더할 수가 없죠 그럼 계산이 여기서 끝나야 되는데 교환 법칙하고 결합법칙을 써주면 자 제가 요거랑 요거 순서 바꿔주고 썩어 볼게요 x의 제곱 플러스 EX + 3x² + 3 - 5죠 그러면 우리 3과 5를 이제 결합법칙으로 묶어서 계산을 하는 겁니다 그러면 -2가 되죠 자 이번엔 얘랑 얘랑 또 자리를 바꿔요 교환 법칙을 적용시키는 거죠 그러면 x의 제곱 플러스 3x² + 2x입니다 그러면 요번에 또 x 제곱하고 3x 제곱을계산할 수가 있죠 그러면 4x의 제곱 플러스 2x - 2가 되는 겁니다 자 우리가 지금 교환 법칙 결합 법칙을 써서 계산을 했는데 굳이 이렇게 할 필요가 있을까요 아니죠 우리가 아까 풀었던 방법처럼 그냥 x 제곱하고 3x 제곱하고 동명이니까 어 얘네는 같이 계산할 수 있는 애네 그러면 4x²이라고 써주고 3과 -5도 동류항이네 그러면 그것끼리 계산 해주면 -2고 어 2x² 2x = 남았으니까 여기다가 2x 써주면 되겠다 하면은 끝나는 겁니다 굳이 교환법칙 결합법칙을 적용해 가면서 다항식을 계산할 필요는 없고요 우리는 교환 법칙 결합법칙이 뭔지 알고 있고 문제에서 교환법칙과 결합법칙에 관한 내용의 개념을 물어봤을 때 우리는 어떤 건지 구분할 수 있으면 됩니다

자 개념 예제는 a+b와 b+a가 성립함을 보이라고 했는데요요거는 한번 풀어보겠습니다 약간 증명 문제 비슷하게 생겨서 학생들이 좀 많이 거부감을 가질 수 있는데 그냥 a+b는요 EX 제곱 플러스 x+1 + b는 - x의 제곱 플러스 3x + 2죠 그러면 ex 제곱하고 - x 제곱 계산하면 x 제곱이고 x랑 3x 계산하면 4x고 플러스 1이랑 플러스 2계산하면 플러스 3이죠 그 상태로 냅두고 b+a도 계산해 보는 겁니다 자 b+a는 앞뒤 순서만 바뀐 거죠 지금 그러면 요렇게 되고 a는 2x 제곱 플러스 x + 1인데 한 동류항끼리 또 묶어서 계산해주면 요렇게 요렇게 하면 x의 제곱 이렇게 이렇게 하면 4x 상수항 상수항 해주면 3입니다 자 그럼 계산 결과가 바뀔까요당연히 바뀌지 않죠 지금 두 개 결과가 똑같기 때문에 아 얘랑 얘도 같아요라고 해주면 끝나는 문제입니다 자 많이 어려워할 필요 없고요 우리 2번은 스스로 한번 해보시기 바랍니다

자 오늘 다항식의 덧셈에 관한 내용 용어도 정리하고 덧셈 법칙 어떤 거 있는지도 확인하고 정리하는 방법 중에서 여러가지 내용들 학습했습니다 우리가이 내용들은 되게 자유자재로 다룰 수 있어야 되기 때문에 철저하게 내용을 숙지하고 가는 것을 당부드립니다 여기까지 감사합니다