[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 다항식 - 다항식의 곱셈

자 이번에 학습할 내용은 다음 시계 곱셈입니다 자 다음시기 곱셈 중에서도 우리가 일단 지수법칙에 대해서 복습을 한번 할 거고요 다음 시기에 곱셈을 전개하는 방법 그리고 다음시기 곱셈에 대한 성질까지 학습하도록 하겠습니다 먼저 지수법칙인데요 우리가 지수법칙은 중학교 과정에서 한번 배운 적이 있는 내용입니다 그래도 한번 내용을 꼼꼼하게 짚고 넘어가 볼게요 첫 번째는 a의 m² * a의 n제곱이 a의 m + n제곱이라고 적혀있는 식인데요 저는 요거를 요렇게 설명해 드리겠습니다 예를 들어서 3회 5제곱 곱하기 3의 제곱을 하라고 했어요 그러면 우리가 3의 다섯 제곱에서이 지수에 적혀있는 5라는 숫자의 의미가 뭔가요 3의 5제곱은요 3을5번 곱한 의미예요 잠을 다섯 번 곱했다는 의미인데 그거를 풀어서 써주면 3 곱하기 3 곱하기 3 곱하기 3 곱하기 3이고요 뒤에 있는 3의 제곱은 3을 두 번 곱했다는 소리죠 그러면 3 곱하기 3이에요 자 어차피 곱셈이니까이 괄호를 모두 날려버리면 3월 총 몇 번 곱한 거예요 3월 7번 곱한 겁니다 그러면 3을 7번 곱한 건 우리가 어떻게 써 줘요 3의 7 제곱이라고 써주죠네 그래서 우리는이 3의 5제곱과 3의 제곱을 곱했을 때는 얘가 3이 5개 있다는 소리고 얘가 3이 두 개 있다는 소리니까 3을 총 7개 있다는 의미로 3의 7제곱이 되는 겁니다 자 얘는 5개와 두 개를 더한 5 + 2에서 온 거죠 이게 바로 첫 번째 법칙의 의미입니다 a의 m²과 a의 n제곱을 곱했을 때는총 n + n개의 a가 있다라는 법칙이죠

자 두 번째 볼게요 a의 m 제곱의 n제곱을 했어요 am 제곱의 n제곱을 했는데 그래 뭐 어떻게 됐나요식이 a의 mn²이 됐네요 자 그럼 얘는 어떤 의미로 해석을 하는지 한번 봅시다 얘도 예제를 한번 들어볼게요 a의 제곱을 세 번 곱했다고 해볼게요 그러면 a의 제곱이라는 것 자체를 세 번 곱했다는 의미니까 얘를 조금 풀어서 써주면 a² * a 제곱 곱하기 a 제곱이죠 그러면 첫 번째 법칙을 활용하면 a의 얘가 두 개 두 개 두 개니까 2 + 2 +입니다 그럼 2를 세 번 더 하면 어떻게 돼요 2를 세 번 더 한 건 2 곱하기 3이죠 그럼 얘가 a의 6제곱이 되는 겁니다 자 a²을 세 번 거듭제곱하면요 a 제곱을 세 번 거듭제곱하면 2를세 번 더 한 거와 같으니까 2 곱하기 3이 되는 겁니다 그래서 6이 나오는 거고요 그래서 a의 m²을 n제곱 해주면 a의 mn 제곱이 되는 겁니다

자 세 번째는요 ab의 n제곱인데 ABN 제곱은 AB 자체를 n번 곱한 거죠 이렇게 해서 n번 곱한 건데 그렇게 되면 a만 뽑아냈을 때 a가 n개 있고 b만 뽑아냈을 때 b도 n개 있으니까 an 제곱 b^2이 되는 겁니다 요거는 약간 분배법칙 같은 느낌도 있죠이 지수에 있는 애는 a에도 달아주고 b에도 달아주는 그런 그림이 됩니다 자네 번째는 am 제곱 나누기 an 제곱인데요 지금 m과 n의 크기에 따라서 이렇게 3가지 케이스로 나뉩니다 자 제가 이것도 예시를 한번 들어볼게요 a의 5제곱 나누기 a의 제곱을 해주면요 분모에는 a 제곱이니까 a가 두 개 있고분모에는 a의 다섯 제곱이니까 a가 5개 있습니다 그러면 이렇게 봤을 때 분자의 5개 있고 분모의 두 개 있으면 똑같은게 약분을 할 수 있잖아요 얘랑 얘랑 얘랑 얘랑 요렇게 약분이 두 개가 사라지는 겁니다 그러면 남는 거는 뭐예요 분자의 5개 있었고 분모에 두 개 있었는데 두 개 두 개 사라져서 3개 남는 겁니다 그래서 a의 3제곱이 되는 거죠 자 얘는 어떻게 계산이 된 거예요 5개 있었고 두 개 있었으니까 많은 거에서 작은 거를 뺀 거예요 자 만약에 분모에 5개 있고 분자의 두 개 있었어요 그러면 두 개 두 개 사라지고 분모의 세 개가 남겠네요 여기 세 개가 남으면 A3 제곱분의 1이 되는 거죠 이렇게 우리가 분모의 많은지 분자의 많은지에 따라 케이스를 이렇게 나눠준 겁니다 그래서 항상 큰 거에서 작은 거를 빼는데 분자의 많으면 분자의 남고요 분모에 많았으면 분모에 남는 겁니다 자 만약에 똑같아요 A3 제곱 나누기 a 3제곱이야 그러면 숫자 똑같은 것끼리 나눴으니까 예를 들어 2 나누기 2는 1이죠 그렇기 때문에 얘는 그냥 1이 되는 겁니다 m과인이 같을 때는요 자 그렇게 봐 주시면 되겠고요 마지막에 5번은 우리 아까 봤던 3번하고 조금 비슷합니다 그러면 b분의 a를 n번 곱한 거예요 b분의 1을 n번 곱 있습니까 비가 지금 분모의 n개 있고요 a가 분자의 n개 있어서 b의 n제곱분의 a의 n제곱이 되는 요런식이 되는 겁니다

자 넘어가 보도록 하겠습니다 이번엔 다항식의 곱셈인데요 우리가 분배법칙이란 것을 할 때 이런 거를 배웠었어요 m의 x+y를 전개하면 mx+my죠 m을 x에도 곱해주고 y에도 곱해줘요 그런데 우리가 지금 하는 거는 뭐냐면x+y a+b+c 항이 여러 개씩 있는 겁니다 앞에는 항이 두 개 뒤에는 항이 3개 있는 거죠 이럴 때는 어떻게 전개를 해주냐 x 가지고요 ab의 abc의 하나 둘 세 번 전개시켜주고 뒤에 있는 y로도 한번 두 번 세 번 전기를 시켜줍니다 그래서 한 총 6개가 나오게 되는 거죠

자 우리가 한번 개념 예제에서 실제로 전개를 한번 해보겠습니다 자 x 가지고 여기에다 곱하고 여기에다 곱하고 여기에다 곱할 거고요 그러면 어떻게 되죠 x의 3제곱 플러스 3x의 제곱 마이너스 2x가 되겠네요 이번엔 -1 가지고요 여기 여기에 곱해 보도록 하겠습니다 그러면 -x의 제곱 마이너스 3x + 2가 되죠그러면 우리 동묘앞끼리 계산해 줄 겁니다 X3 제곱은 동류항이 없고요 3x 제곱하고 - x 제곱 계산해주면 + 2x 제곱이고 -2x하고 -3x 계산해주면 - 5x고 뒤에 상수항 +2까지 달아주면 끝납니다 자 개념에서 2번도 한번 해보겠습니다 2번은 조금 여기 위쪽에다 한번 풀어보도록 할게요 자 이번에 항이 3개네요 그러면 요거 가지고 요렇게 곱해주면요 2x 제곱의 x+2y입니다 그리고 이번엔 이거 가지고 전개해주면 xy의 x + 2y를 가지고 요거 전개해주면 -4y에 x + 2y가 되죠 자 그럼 여기서 분배법칙을 또 적용해 주는 겁니다 하나 둘 셋 넷 다섯 여섯 번째를 하게 되겠네요 자 전개를 해주면요이 x의 3제곱플러스 4x 제곱 y + x 제곱 y + 2xy의 제곱 마이너스 4xy -8 y의 제곱입니다 그러면 동료항 계산해 줘야겠죠 EX 세제곱은 동류항이 없고요 여기에 있는이 4x² y랑 x 제곱 y는 동류항이네요 그럼 둘이 계산해주면 플러스 5X 제곱 y입니다 자 그리고 나머지는 뭐 동량이 없네요 exy의 제곱 마이너스 4x의 y -8y²으로 계산해 주면 끝이납니다

자 마지막으로 넘어가서요 다항식의 곱셈에 대한 성질입니다 자 지금 교환 법칙 결합법칙 분배법칙이 이렇게 써 있는데요 우리가 일단이 법칙들이 어떤 건지 간단하게 또 설명을 드리면이 교환 법칙은요 곱할 때ab를 곱하나 b를 곱하나 순서를 바꿔서 곱해도 상관이 없다는 내용이에요 결합법칙은요 abc를 곱할 때 우리가 원래 AB 곱하고 그다음 c를 곱해야 되는데 a 냅두고 bc를 먼저 묶어서 계산을 해도 상관이 없다는 법칙이 결합법칙이죠 자 분배법칙은 뭐예요 a의 B + c를 곱했을 때는 ab와 a c를 곱한 것을 더해줘야 된다 a를 지금 여기 있는 a를 여기에 있는 a를 요렇게 한번 곱해주고 이렇게 한번 곱해줘야 된다라는 법칙입니다 물론 c가 뒤에 있어도 이렇게 곱해주고 이렇게 곱해줘야 되는 거는 마찬가지입니다

자 그럼 우리가 이렇게 교환 결합 분배법칙이 있는데 우리가 이거를 실생활에서 이미 활용을 하고 있습니다 자이 X Y x를 만약 곱했어요 그러면 일단 가장 먼저 뭘 해줄 수 있냐면 x랑 y 그냥 교환 법칙을 쓰면순서가 바뀔 수 있죠이 x x y로요 자 그 다음에 우리가 원래 순서상으로는 2x 곱하고 그 다음 x 곱하고 그다음 y를 곱해줘야 되는데 가운데 x랑 x를 묶어서 먼저 곱셈을 해주겠다는 겁니다 그러면 어떻게 되는 거예요 얘가 2x에 제곱 y가 되는 거죠 자 이렇게 교환법칙과 결합법칙을 자유자재로 사용을 할 수 있기 때문에 얘 를 딱 보고 이렇게 넘어갈 수 있는 겁니다 자 이렇게 알아두시면 되겠고요 우리가 지금 개념 예제가 이렇게 내 문제가 있는데요 제가 1번하고 2번만 해보도록 하겠습니다 나머지 3번 하고 4번은 직접 한번 노트에 적어가며 한번 꼭 해보시기를 당부드립니다 1번은요 ab랑 ba랑 같음을 보이는 거예요 그러면 우리가 이게 지금 증명 문제랑 비슷해서 조금 난처할 수 있는데 전혀 난처할 거없고요 ab를 먼저 계산해주고 ba도 계산을 해줘서 두 결과가 같다는 거를 보여주면 되는 겁니다

자 일단은 AB 먼저 계산을 해주면요 ab는 x - 1 곱하기 x-2죠 그럼 얘를 전개를 했을 때 x의 제곱 요렇게 x² 이렇게 하면 -2x 이렇게 하면 -x 이렇게 하면 +2죠 자 그럼 어떻게 되는 거예요 x의 제곱 마이너스 3 x + 2가 되네요 b-a라고 달라질까요 똑같습니다 x-2에 x-1을 계산을 해주면 x의 제곱 이렇게 하면 - x 이렇게 하면 -2x 이렇게 하면 플러스 2가 되고 또 동류항끼리 계산해 주면 x의 제곱 마이너스 3x + 2가 됩니다 그럼 우리가 이렇게 봤을 때 해당 결과가 지금 똑같죠x제곱 마이너스 3x + 2로요 그러면 ab랑 b가 같다는 것을 우리가 증명을 해준 겁니다 자 2번 풀어 볼게요 자 2번은요 ab를 곱한 다음에 c를 곱한 값이나 c를 곱하고 bc를 곱하고 pc를 먼저 곱한 다음에 a를 곱하나 값이 같다는 걸 보여주라고 했습니다 자 ab를 계산한 건 우리가 아까 계산을 해줬죠 x 제곱 마이너스 3x + 2입니다 여기다가 c를 곱하면요 x - 3을 곱하는 거예요 그러면 전개를 해주면요 이렇게 세 개 둔게 먼저 해주겠습니다 x의 3 제곱 마이너스 3x의 제곱 + 2x고 -3 가지고 이렇게 또 세 번 곱해주면 - 3x의 제곱 플러스 9x-6이죠 그러면 동류항끼리 묶어주면 x의 3제곱이고요-3x² - 3x²이라 6x 제곱 2x랑 9x랑 플러스 11x -6은 동양이 없네요 자 이렇게 하면 계산이 끝났습니다

얘도 한번 해 볼게요 a는 X - 1이고요 B 곱하기 c가 지금 x-2에 x - 3이죠 그러면 안에 거 계산을 해주면요 전개를 했을 때식이 x의 제곱 마이너스 5X + 6이 됩니다 자 얘도 지금 전개를 해 줄 건데 이렇게 좀 헷갈리지 않게 선을 좀 긋겠습니다 자 전개를 해주면요 요렇게 둘 세 번 전개 먼저 해줄게요 x의 3 제곱 마이너스 5x의 제곱 + 6x죠 그리고 요거 가지고 요렇게 전개해주면 -x의 제곱 플러스 5X -6입니다 동류항끼리 또 계산을 해 줄 거예요 x의 3제곱-6x의 제곱 플러스 11의 X - 6이죠 자 b씨를 먼저 계산해도 ab를 먼저 계산했을 때와 계산 결과가 똑같은 거를 우리가 확인할 수 있습니다 그렇기 때문에 2의 값과이 값은 같다는 거를 우리가 보여준 겁니다

자 여기까지 됐고요 3번 4번은 꼭 노트에 한 번씩 전개하면서 오늘 학습한 내용들 한번 직접 적용시켜보면서 숙지하시기 바라고요 오늘 강의는 여기까지입니다