[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 다항식 - 곱셈 공식

자 우리가 오늘 학습할 내용은 곱셈공식입니다 학생들이 정말 싫어하는 단원 중 하나죠 곱셈공식 외울 공식도 많고요 문제를 풀 때 공식을 외운 것만으로도 풀리지 않는 경우가 꽤나 많습니다 꽤나 많아서 아 일단은 곱셈공식의 기본은요 이 10가지 공식을 암기하는 겁니다 암기를 하지 못하면 절대 풀지 못해요 근데이 암기를 한다는게 우리가 곱셈공식 단원에서 활용되는 것뿐만 아니라 우리가 앞으로 수학 과목을 공부할 때 정말 계속 쓰이는 공식들이기 때문에 정말 확실하게 외워줘야 돼요 꼭 꼭 외우셔야 되고 우리가 중학교 3학년 과정에서 사실 학습을 한 번 한 내용이죠 1번하고 2번하고 3번하고 5번 공식은 그래도 외우신 학생들이많을 거라고 생각을 합니다 그래서 4번 6번 7번 8번 9번 10번 공식도 꼭 외워주시고 제가 어디에 어떤 공식이 중요하다고 별표를 달아 드리고 싶지만 달아드리기에는이 10가지 공식이 정말 계속 쓰이기 때문에 어느 하나 빠지지 않고 쓰이기 때문에 10가지 공식을 꼭 다 외워 주시기 바랍니다 자 그리고 우리가 뒤에서 인수분해 단원을 배우죠 인수분해 단원을 배우니까 꼭 요게 요게 된다라고 외우기 보다는 이렇게 써 있으면 이렇게 될 수도 있으니까 그냥이 공식 자체가 요렇게 갈 수도 있고 요렇게 갈 수도 있다라는 것까지 약간 인식을 한 상태에서 그렇게 외워 주셨으면 좋겠고요 제가 여기서 더 설명드린 내용은 없고요 일단은 우리가이 공식을 만약에 외웠다면 자이 문제를 한번 풀어 봅시다 자 여기서 제가 또 지금 x+2y의 3제곱을 풀 건데 어떤 공식을 활용할 거냐면요 아까썼던 여기에 있는이 6번 공식의이 공식을 써주는 거예요이 공식을 써줄 건데 제가 이거를 여기다 써 드리겠습니다 a+ 3제곱은 a의 3제곱 플러스 3a 제곱 B + 3 ab² + B3 제곱이에요 자 요게 또 어디서 어려워하는 학생들이 있냐면 여기가 지금 x+y가 아니라 x+2y예요 그래서이 b자리에다가 2y를 집어넣어서 계산을 해 줘야 됩니다 자 그럼식이 어떻게 정리되냐면요 정리를 해 볼게요 x+2y의 3제곱을 전개를 했을 때 일단 앞에 거는 3제곱입니다 그리고 3 곱하기 앞에 거 x를 제곱하죠 그 다음에 뒤에 거를 한 번 곱해요 이와이를 곱한다는 소리입니다 자 그 뒤에는요 3 곱하기 앞에 거 한 번 곱하고 뒤에 거ey를 두 번 곱합니다 그리고 마지막에 2y를 몇 번 곱해요 3제곱한 걸 뒤에 써주게 되죠 자 이렇게 돼야 됩니다 꼭이 자리에이 y를 잘 집어 넣어서 전개를 해줘야 돼요 자 그러면 준비해주면요 x의 3제곱 플러스 여기는 3하고 2 곱해서 6이죠 그리고 문자는 x 제곱 y입니다 여기 뒤는요 지금 2y 제곱을 계산하면 얘가 4y의 제곱으로 계산이 되죠 2y 곱하기 2와이니까 그러면 계수끼리 곱했을 때는요 계수가 12가 되고요 항은 XY 제곱항입니다 자 d의 ey를 세제곱하면 8y 세제곱이죠 자 요렇게 준비를 해주시면 됩니다 자 2번 공식도 제가 공식을 써 드리고 전개를 해 볼게요 어떤 공식이 쓰이냐면요 a+b+ c의 제곱을 했을 때는요 일단 한 번씩 딱 제곱을 해줍니다a² b^2 C 제곱을 모두 더해주고 그 다음에 두 개씩 뽑아요 2ab 그리고 EBC eca까지 더해주면 식을 올바르게 전개를 해준 겁니다 자 그럼 여기서 뭐가 헷갈리냐면이 Z 앞에 붙은 -가 헷갈려요 그러면 우리가이 c자리에 지금 - z를 넣어 줘야 되는 상황이거든요 그거를 조금 신경 쓰면서 요거를 전개를 한번 해 볼게요 자 일단은 제곱을 한 번씩 다 해줍니다 4x의 제곱 플러스 y의 제곱인데 지금 이제 마이너스 z를 넣고 제곱을 할 거죠 그럼 부호가 어떻게 되죠 -를 제곱하니까 어차피 +가 됩니다 + z제곱 + 2 곱하기 앞에 거 ex y 곱하고 + 2 곱하기 요거랑 요거 할 거예요 y 곱하기 - Z + 2 곱하기 이렇게 곱해 줄 거예요그러면 2x 곱하기 - z죠 그러면 한번 싹 써봅시다 4x제곱 y² + 여기는 4xy 이고요 여기는 -2yz고요 저기 있는 - 4 zx입니다 이렇게 전개해 주시면 됩니다 자 처음 오늘은 일단은이 뭐 계수나 앞에 붙은 2나이 부호가 헷갈리실 수 있어요 헷갈리실 수 있으니까 이렇게 잘 집어넣어가면서 계산을 꼭 실수 없이 하는 연습을 많이 하시기 바랍니다 자 이번에는 곱셈 공식의 변형인데요 우리가 곱셈공식에서 이항근에서 얻어낸 공식들이 대부분이라 곱셈공식을 제대로 외웠다면 곱셈공식의 변형을 외우는 것은 큰 무리가 없을 거예요 제가 짚어야 될 포인트 짚으면서 한번 하나씩 보도록 하겠습니다 일단 a² + B 제곱은 a+b의 제곱 마이너스 2ab 그리고 a - b^2 + 2ab로 전개되고있는데 우리가 a+b의 제곱을 전개하면 a² + b^2 + 2ab죠 그래서 여기에 있는 2ab를 이항해서 좌변으로 이항해서 얻어낸 공식입니다 가운데가 마이너스인 경우에는요 여기가 -라 똑같이 양하면 a² + B 제곱은 a - b^2 + 2ab라고 얻어낼 수 있겠죠 자 2010 같은 경우는 언제 많이 쓰냐면요 문제에서 a+b와 ab와 a 제곱 플러스 b²의 값 중 두 개를 줘요 두 개를 그러면 예를 들어 a+b를 줬어요 그리고 a² + B 제곱을 줬어요 그러면 얘랑 얘를 아는 거죠 그럼 우리가 뭐를 구할 수 있어요 계산해서 ab의 값을 계산할 수 있는 겁니다 ab의 값을 계산할 수 있으니까 이렇게 공식을 활용해서 AB a+b a² + b² 세 개 중에 두 개 주어지면 나머지 하나 구할 수 있다는점으로 아셨으면 좋겠고요 2번 공식은 1번 공식에서 a자리의 x를 넣구요 B 다리에 x분의 1을 넣습니다 이러면 무슨 일이 발생하냐 ab를 곱했을 때 x 곱하기 x분의 1이어서 약분돼서 1밖에 안났습니다 그래서 ab였던 자리에 -2ab가 계수만 남아서 -2만 남은 겁니다 여기도 마찬가지로 플러스 2ab였는데 ab가 1이라 계수인 플러스 2만 남았구요 자 3번 볼게요 a3² + B3 제곱인데 우리가 a+b의 3제곱을 전개했을 때 a3² + 3a^2 b 3ab제곱 비 3 제곱으로 전개가 되죠 이럴 때 a3²하고 B3 제곱을 제외한 3a 제곱 b와 3ab²을 좌변으로 넘겨주면요 우리가 요런 식으로 얻어낼 수 있습니다그렇게 하고 남은이 삼위의 제곱 B 3ab²을 3ab로 묶으면 a + b가 남아서 그 부분이 여기에 이렇게 생기는 거예요 a³ - B3 제곱도 마찬가지로 a 마이너스 b의 3제곱을 계산해서 얻어낼 수 있고요 우리가요 공식을 사용할 때 주의해야 될 점은 우리가 인수분의 공식을 뒤에서 배우게 되는데 이런식이 있어요 A3 제곱 플러스 B3 제곱은 a+b a의 제곱 마이너스 AB + B 제곱이 있습니다 그래서 요식하고 요식하고 요식하고 요시까지 모두 같다는 거 우리가 알고 계시면 좋겠고요 A3 제곱 마이너스 B 3 제곱도 똑같은 형식의식이 있습니다 형식은 같지만 부호는 다르겠죠 요렇게 생긴 공식이 있어요 모든 공식을 자유자재로 활용하실 수 있어야 됩니다4번 공식은요 우리가 1번에서 2번 넘어올 때와 마찬가지로 a 다리에다가 x를 넣고 b자리에다가 x분의 1을 집어 넣어서 집어 넣어서 전개를 하면 아래와 같은식이 됩니다 자 5번 공식은요 우리가 1번 공식에서 지금 두 번째와 세 번째 여기에 있는 식과 여기에 있는 식을 가지고 계산을 해서 나열을 해준 식이고요 제가 계산하는 거 하나만 보여 드릴게요 지금 얘랑 얘를 제가 여기다 쓰면요 a+b의 제곱 마이너스 2ab는 a - b의 제곱 플러스 2a입니다 그러면 a+b의 제곱 마이너스 4ab는 a - b^2이죠 그러면 a - b의 제곱은 요렇게 전개가 되는 거 볼 수 있고요 그 공식이 지금 좌변우변 위치만 바뀐 상태로 여기에 있는 겁니다-4ab를 우변으로 넘기면 -4ab를 -4ab를 우변으로 넘기면 우리가 이런 공식도 얻어낼 수 있는 것이죠 자 요거는 언제 쓰냐 우리가 종종 문제에서 a - b의 값을 구할 때가 있어요 그런 경우 a+b와 ab를 활용해서 공식을 활용해주면 좋습니다 자 6번은요 마찬가지로 계속 같은게 반복되고 있죠 a자리의 x를 넣고 기다리에 x분의 1을 넣으면 같은 공식을 얻어낼 수 있고요 7번 공식은 우리가 a+b+c의 제곱을 전개한 식에서 2항만 시켜준 겁니다 이항만 이 양만 시켜준 거예요 뭐를 기준으로 이항을 시켰어요 a² + b² + C 제곱을 남기고 뒤에 있는 eab + 2bc+ecl을 eca를 좌변으로 넘겨서 요렇게 정리해 준 겁니다 자 8번 같은 공식은요 우리가 a² + b²+ c² - AB - BC 마이너스 ca가 이렇게 계산이 되고 있는데요 제가 이거는 변형하는 과정을 한번 보여 드리도록 하겠습니다 자 우리가 A 제곱 플러스 b² c제곱 - AB - BC - ca인데요 얘를 2를 곱하고 2분의 1을 곱해 줄 거예요 안에는 똑같이 쓸 겁니다이 똑같다는 표시에요 똑같이 쓸 거고 2 곱하기 2분의 1 중에 2를 안으로 넣어줍니다 그러면 2분의 1의 2A 제곱 2b제곱 이 c^2 - 2ab - 2bc - 2ca입니다 그 중에 우리가 여기에 있는 a 제곱 플러스 a 제곱으로 볼 거고요 얘도 b² + b² 물어볼 거고얘도 c² + C 제곱으로 볼 거예요 그러면 a 제곱하고 b 제곱하고 -2ab를 합치면 우리가 뭐라고 쓸 수 있어요 a - b^2으로 쓸 수 있죠 그리고 b²하고 -2bc랑 c제곱을 합치면 뭐가 돼요 2 - c의 제곱이 돼요 그리고 c^2 - 2ca 제곱합쳐서 뭐가 되는 거예요 C - a의 제곱이 되죠 그리고 얘가 앞에 있던 2분의 1까지 곱해서 이런 식으로 변형이 되는 겁니다 우리가 종종 문제를 풀다 보면 이렇게 변형하는 과정을 활용해서 문제를 푸는 경우가 있습니다 곱셈 공식의 변형 식으로 외워두시면 정말 좋구요 밑에 있는 식은 부호만 바뀐 거고 같은 방식으로 정리가 되니 수업이 끝나고 노트 했고 해보시길 추천드립니다 9번은요 우리가 정말 많은 많은 요소들이 들어가 있는데 3 제곱과 3제곱과 3제곱을더한 부분도 있고 a+b+c도 있고요 제곱 더하기 제곱 더하기 제곱도 있고 -ab - BC - C 두 개씩 골라서 곱한 것도 있어요 심지어 3abc까지 있습니다 그거 정말 많은 요소들이 있으니까 조금 헷갈릴 수 있어요이 공식 꼼꼼하게 암기하시길 바라겠고 추가적으로 써 있는 부분은 a+b+c가 0인 경우 3 제곱 플러스 B3 제곱 플러스 C3 제곱이 3abc가 된다는 내용 및 마지막에 적혀 있습니다 우리가 만약에 a+b+c가 0이면요 얘가 0이니까 얘가 0이면 여기서부터 여기 값이 통째로 날라가게 되죠 얘가 0이니까 0에다가 뭐를 곱하든 어차피 날라갑니다 그래서 3제곱 3제곱 3제곱을 더한 거는 3abc와 같다는 이런 결론까지 도달할 수 있습니다 자 개념 예제 풀어 보도록 할게요 x는 2 + 루트 3이고요 y는 2-루트 3인데 우리가 이거를풀 때 지금 x^3하고 y3²에다가이 값들을 대입을 해서 계산을 해도 좋긴 하지만요 그거보다는 우리가 얘네들을 더한 x+y의 값은 4구요 곱한 x y의 값은 1이에요 숫자가 단순하죠 루트가 안 들어가서 정말 단순해 보입니다이 x+y와 xy의 값을 활용해서 우리가 3제곱 더하기 3 제곱 값을 계산해 주는게 훨씬 편합니다 자 x+y의 3제곱 마이너스 3x y에 x+y라는 곱셈 공식에 변형으로 전개할 수 있고요 x+y의 3제곱은 4의 3제곱 마이너스 3 곱하기 1 곱하기 4적 그러면 64-12입니다 따라서 정답은 52가 되겠네요63 - 12는 52니까 이렇게 답을 구할 수가 있습니다 여기까지 해서요 우리가 곱셈 공식에 변형 그리고 앞에서는 곱셈 공식을 배웠죠 공식들 외우는 거 정말 중요하고요 우리가 곱셈공식 외운 거를 토대로 앞으로 진도가 계속 나가게 되니까 꼭 외우고 다음 강의 들으시길 바랍니다 자 고생하셨습니다 감사합니다