[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 다항식 - 다항식의 나눗셈

자 오늘 배울 내용은 다항식의 연산에서 이제 다항식의 나눗셈입니다 다음 식과 다항식을 나누는 방법을 배우게 될 건데 두 가지를 배울 거예요 우리가 직접 숫자를 나누는 방법처럼 비슷한 방법을 하는 직접 나누기라고 제가 부를 거고요 두 번째는 조립제법을 활용한 방법입니다 자 그러면 일단 첫 번째 방법은요 우리가 그냥 다항식 나누기 다항식을 모두 계산할 수 있어요 다항 식 나누기 다항식은 모두이 방법을 활용해서 계산을 할 수가 있습니다

자 그러면 우리가 60이 나누기 4인데요 요거를 나눈다고 생각을 했을 때 우리가 여기다 2를 써줘요 웨이를 써줘요 최대한 유게 가깝게 맞춰주려고 4일은 4를 해서 6에 맞춰주죠 그리고 내려올 때는 어떻게 돼요 뺍니다그러면 22가 되고요 이번엔 5를 곱해요 4 5 20이니까 나머지는 2가 되죠 여기서 또 뺐고요 4와 15는 어떤 관계예요 우리가 곱했죠 곱해서 적힌 수를 여기다 써준 겁니다 자 똑같은 방법을 적용시킨다고 했어요 우리가 3x 제곱 플러스 5x-1을 x+1로 나눌 때는요 기준이 뭐냐면 맨 앞에 있는이 x를 3x²으로 만들기 위한 항을 여기다 써 주는 겁니다 계수는 뭐가 뭐 해야 될까요 x가 3이 됐으니까 1이었던게 3이 됐으니까 계수는 3일 거고요 여기는 1차고 2차가 됐으니까 3x를 곱해야 3x²이 되겠죠 그런데 우리가 3x를 x에만 곱할 순 없으니까 3x² + 요렇게 1에도 곱해주는 겁니다 그래서 3x에 자 이렇게 쓰고 나면 아까 어떻게 해줬어요 위에서 아래로 빼줬죠여기도 마찬가지입니다 3x 제곱 플러스 5X - 2에서 4x² + 3x를 빼줍니다 그러면 2x - 2가 되고요 이번에도 마찬가지로 x를 2x에 맞추기 위해 어떤 항을 곱해줘요 어떤게 필요할까요 어차피 차수는 똑같고요 차수는 똑같고 계수만 2로 맞춰주면 되겠네요 그러면 2x + 2가 되죠 그러면 또 위에서 아래로 빼주면 -4가 됩니다 자 그러면 여기서 이맥스 플러스 2가 뭐예요 요게 몫이죠 목 얘가 몫입니다 얘가 몫이고 맨 밑에 있는이 마이너스 4가 뭐예요이 -4가 나머지죠 얘가 나머지에요 자 그리고 우리가 요런 거를 배운 적도 있습니다 62라는 수는 나누어지는 수인데 4로 나누었을 때몫은 15고 나머지는 2죠 그래서 요렇게 쓸 수가 있어요 나누는 수 곱하기 목 + 나머지로요 자 다음 식에서도 마찬가지가 성립을 하는 겁니다 우리가 3x² + 5X - 2를요 x+1로 나눴을 때의 몫은 3x+2고 나머지는 마이너스 3입니다 우리가요 관계를 뒤에서 정말 많이 쓰게 되니까 일단은 한 번만 눈도장 찍고 뒤에서 다시 한번 설명드리도록 하겠습니다

자 우리 개념 매장 한번 풀어 볼 건데요 제가 다항식 나누기 다항식은 모두 풀 수 있다 그랬죠 아까는 1차식으로 나누는 경우였지만 지금은 2차식으로 나누는 경우에요 하지만 상관이 없습니다 자 x 4제곱 + 3x³ 이고요 지금 2차 1차항이 없죠 그럴 때는 우리가 그냥 빈자리로 그냥 냅둬 주는게 좋습니다 그래야 계산하기가 한눈에 딱 들어와요 뒤에 플러스 5를 써주고 여기 지금뭐로 나누는 거예요 우리가 x의 제곱 마이너스 3x + 1로 나눕니다 그러면 x 제곱이 x⁴이 되기 위해서는 뭐를 곱해 줘야 돼요 x 제곱을 곱해줘야 되죠 그러면 x⁴ - 3x 세제곱 플러스 x 제곱입니다

그 다음에 우린 여기서 이렇게 줘요 빼주죠 빼주면 뭐만 남아요 6x의 3제곱 -x² + 5만 남죠 자 이번엔 뭐가 필요할까요 x 제곱이 6x3 제곱이 되기 위해서는 바로 계수는 6이고 차수는 1차가 무 다르니까 x만 곱해주면 되겠네요 그러면 6x의 3제곱 -18x의 제곱 플러스 6x입니다 자 그러면 또 빼면요 17x의 제곱 마이너스 6x + 5가 되죠 자 그러면 이번엔x²이 17x제곱이 돼야 되니까 이번엔 플러스 17을 해주면 되겠어요 그러면 17x² - 3 곱하기 17이죠 3 곱하기 17 해주면 51 x + 17입니다 여기서 또 빼주면 얘가 지금 40 45x 45x-12예요 자 그러면 여기서 지금 더 나눌 수가 없죠 어떤 거를 곱해도 1차식이 되지는 않아요 2차식에다가 어떤 걸 곱해서 1차식이 되지 않으니까 나눗셈은 여기까지만 하는 것이고 여기에 있는 x의 제곱 플러스 6x+17이 뭐예요 얘가 몫이죠 얘가 몫이고 나머지는 몇이에요 45x -12를 나머지라고 합니다

나머지 자 여기까지 되셨나요 우리가 요렇게 푸는 방법이직접 나누기를 하는 방법이고요 우리가 그 다음 넘어가서 다음 식의 나눗셈의 성질이라 그래서 제가 아까 설명드렸던요 부분 있죠 이 부분을 자세하게 한번 설명을 해 드리도록 하겠습니다 자 어떤 다항식 a를 b로 나누었을 때의 몫을 추라고 나머지를 r이라고 하면요 이렇게 요런식이 성립하게 됩니다 a는 BQ 플러스 r 이게 왜 성립하냐면요 우리가 a라는 다항식을 b로 나눌 때 몫이 Q 라면 b랑 q를 곱해서 여기에 써주죠 그러면 a에서 bq를 뺀 a 마이너스 bq가 나머지 잖아요 그러면 우리가 여기서 pq를 이항해주면 a는 BQ + r이라는 식을 얻어낼 수 있습니다 자 그러면 제가 여기서 좀 차수를 좀 비교해 볼 건데요 자 a는 bq+r을 조금 크게 써서 이해를 좀 더 쉽게 가도록 하겠습니다

a는B2 + r인데요 자 a가 제가 n차 다항식이라고 할게요 요게 n차 다항식이에요 n차당식을 K 차 다항식으로 나누었다고 합시다 그러면 지금 b랑 q를 곱해서 n차가 나와야 되거든요 근데 K 차로 나눴어요 그러면 추는 몇 차여야 될까요 합해서 n차가 나와야 되니까 합해서 n차가 나와야 돼서 얘는 n-k 차 다항식인 겁니다 만약에 오차 다항식을 2차 당식으로 나눴으면 3차당식이 몫이여야 3차 당시 몫이어야 최고차항끼리 곱했을 때 오차가 나오잖아요 그래서 얘가 지금 3차가 돼야 됩니다 자 이때 또 나머지가 중요한데 케이타로 나눴어요 K 차로 나눴으면 나머지는 더 이상 못 나누는 걸 나머지라고 하잖아요 그러니까 K 차로 나눌 때 더 이상 못 나누는 건 몇 차까지 되는 거예요최대 k-1차인 겁니다 나머지가 최대 아무리 커 봐야 k-1차 여기서부터는 더 이상 못 나누니까요 그러면 제가 지금 2차 방식으로 나눴어요 그럼 나머지가 될 수 있는 건 몇 차예요 1차 또는 0차 상수항을 의미합니다 이런 애들이 나머지가 될 수 있는 거예요

자 그래서 제가이 a는 BQ 플러스 알꼴이 왜 중요하다 왜 중요하다고 말씀드리냐면이 개념 예제를 한번 볼게요 자 어떤 다항식 a를 x² + 2x - 1로 나눴으니 몫이 x +이고 나머지가 x+1이래요 그러면 a는 BQ + r에 의해서 a는 BQ + r에 의해서 나누는 건 x의 제곱 플러스 2x - 1이고 몫이 x+2고 나머지가 x + 1이죠 얘가 b 얘가 Q 얘가 R 이렇게 해서 우리가 그다항식 예의를 쉽게 구해 버릴 수가 있는 거예요 물론 몫을 몰라도 구할 수 있고요 나누는 수를 몰라도 나누는 수를 구할 수 있고 나머지를 몰라도 나머지를 구할 수 있는 겁니다 나머지를 다 알고 있다면요 자 요거 정말 중요한 시기니까 우리 앞에서 뒤에서 정말 많이 활용하게 돼요 잘 숙지하고 넘어가셨으면 좋겠고 우리 넘어가서 이번엔 조립제법을 배워보도록 할 건데요 조립제법은 아무 당시 다항식과 다항식이 나눗셈을 모든 거를 계산하지는 못하고요 다항식의 나눗셈 중에서 어떤 다항식을 1차 식으로 나눈 이 식만 계산을 할 수 있습니다 다항식 나누기 1차식만 우리가 조립제법을 활용해서 계산할 수가 있는 거예요

자 요렇게 지금 문자가 많아서 우리 눈에 복잡해 보이는데요 뒤로 넘어가서 개념 예제를 풀면서 제가 방법을 설명드리도록 하겠습니다 요게 왜 조립제법이 성립하는지를 설명드리기 보다는 조리채법의활용도에 집중해서 어떻게 조립제법을 쓰는지요 방법을 알려드리도록 할게요 자 조립제법을 이용해서 지금 요거 나누기 요거를 계산하라 그랬는데요 가장 먼저 뭐를 해주냐면 우리가 지금이 나누어지는 수에 재수들을 나열합니다 계수들을 나열할 건데 계수들을 요렇게 1 - 2 5 - 9 -3 순서대로 나열을 해줘요 자 그 다음에 나열을 해주는게 첫 번째 단계에요 그 다음에는이 x-1을 0으로 만드는 x값 몇이죠 2죠 요거를 여기다가 써줍니다 요게 두 번째 단계에요 자 그 다음에 어떻게 하냐 내려올 때는 더 하고요 요렇게 방향으로 곱해 줄 건데요 자 1은 지금 밑에 더할게 없어요 더할게 없어서 그냥 일이 그대로 내려옵니다 그다음 2와 1을 곱해주는 거예요 그럼 2죠 이번엔 -2와 2를더하고요 2하고 0을 곱하면 0이죠 그 다음에 5와 0을 더해요 그 다음에 2와 5를 또 곱합니다 그러면 10이죠 10을 여기다 써주고 이번엔 또 더해요 1이죠 또 2y를 곱합니다 2죠 또 더해요 그러면 -1이 됩니다 -1이 되는데 지금 우리가 어떤 계산법에 의해서 1051-1이라는 숫자를 얻게 됐는데이 끝에 있는 마이너스 1은 이 끝에 있는 -1이라는 숫자는 뭐냐 나머지입니다 나머지가 -1인 거예요 자 우리가 앞에서 배웠듯이 1차식으로 나누면 나머지는 상수항 밖에 안 나오겠죠 최대 상수항이니까 오직 상수항만 나머지가 될 수 있는데 그 나머지가 여기서는 -1인 겁니다 그러면 24절은 뭐냐 바로 몫의 계수입니다 몫의 계수들이에요 그래서 여기서 몫을 qx라고 하면요 주 x는 끝에서부터상수항입니다 1 플러스 5는 1차항이고 0은 x²의 계수인데 지금 0이니까 없죠 그리고 요번에 X3 제곱의 계수라 x^3입니다 그래서 몫이 x^3 플러스 5x+1이 되는 거예요 우리가 여기에 조립제법을 하는 방법이고요 우리가 다항식 나누기 1차식을 정말 빠르고 편하게 나눗셈을 할 수 있어서 정말 활용도가 높습니다 우리 뒤에서 나머지 정리나 인수 정리 단원에서도 계속 쓰는 조립 주법이니까 꼭 조립제법 하는 방법을 익히셔야 합니다

자 제가 예제 몇 문제 더 풀고 마치도록 할 건데요 첫 번째 예제는 ex의 3제곱 - 3x + 5 나누기 x-3이에요 그러면 첫 번째 단계는 뭐예요 첫 번째 단계는 계수를 나열해 주는 거죠 그러면 계수가 지금 2고 2차항이 없죠 2차항이 없으면 넘어가는게 아니라 0을 써 줘야 돼요 0을 써주고 그 다음 -35입니다 그 다음 뭘 해주죠 x-3을 0으로 만드는 x 값을 여기다가 써주는게 두 번째 단계예요 그다음 어떻게 해요 더하고 곱하고를 반복합니다 자 더 할 건데 2랑 더할게 없죠 그냥 내려오는 거예요 그다음 3이랑 곱해주고 더해주고 3이랑 곱해주고 더해주고 3이랑 곱해주고 더해주고 그러면 끝에 있는이 50의 역할이 뭐라 그랬어요이 50의 역할이 나머지라 그랬죠 그리고 여기에 있는 2와 6과 15가 바로 목 qx의 계수라 그랬어요 따라서 요거를 나눗셈에 나오는 목 qx는 2x^2 + 6x + 15고요 나머지 r은 50입니다 자 하나 더 해볼게요 x의 3제곱 마이너스 6x 제곱 +8x-3의 볼게요 뭐로 나눌 거냐면 x-1로 나눌 건데요 계속 먼저 나열해 주고 자 조금 더 간격을 벌리겠습니다 x-1을 0으로 만드는 x가 뭐예요 1이죠 그 다음에 더해주고 곱해주고 더해주고 곱해주고 더해주고 곱해주고 그럼 나머지가 뭐예요 0이죠 그러면 여기서 몫은 뭐예요 x의 제곱 마이너스 5X + 3이죠 나머지는 뭐예요 0입니다 자 나머지가 0인 경우를 우리가 보통 뭐라고 표현해요 나누어 떨어진다고 표현합니다 이렇게 나머지가 0이면 나누어 떨어지는구나 하시면 돼요 그리고 우리가 a는 pq 플러스 알콜로 표현도 한번 해 볼 수 있겠죠 x² - 5X + 3의 나누는 수가 x - 1이고 나머지가 없으니까 그냥 요렇게 조립제법이 끝나는 겁니다 자 여기까지 해서 우리가 오늘 두 가지 배워 봤는데요 다항식과 다항식을 나누는 직접 나누기 방법 두 번째는다항식을 1차식으로 나눌 때만 쓸 수 있는 조립제법 요렇게 두 가지 학습했습니다 자 오늘 조립제법 내용이 정말 중요해요 우리 뒤에서 계속 나올 내용이니까 꼭 복습 꼼꼼하게 하시고 문제도 많이 풀어보셨으면 좋겠습니다 감사합니다