[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 다항식 - 항등식

자 우리가 오늘 학습할 단원은 항등식입니다 우리가 이제 항등식이 나머지 정리 안에서 지금 가장 먼저 시작하는 단원인데 항등식에 대한 개념을 명확하게 그리고 정확하게 알고 있어야 나머지 정리에 관한 내용이 확실하게 이해가 되기 때문에 개념을 확실하게 알고 가는 것이 정말 중요합니다 그래서 개념을 제가 설명을 드릴테니까 꼭 꼼꼼하게 공부하셨으면 좋겠습니다 일단 첫 번째는 항등식과 방정식을 구분지을 건데요 우리가 평소에 요런 식을 많이 봤을 겁니다 ax+b는 0이라 그러면 너무나도 자연스럽게 x는 -a분의 b라고 하죠 근데 항상 이런게 아닙니다 이거는 우리가 방정식에서 방정식은 어떤 특정 x값에 대해서만 성립하니까 그특정 x 값이 -a분의 b인 거고 방정식일 때만 이렇게 해가 딱 한 개 나오는 거예요 물론 이차방정식이면 두 개 나오겠죠 자 하지만 방정식이 아니라 만약에 항등식이라 그랬어요 항등식의 정의를 한번 보겠습니다 항등식의 정의가 뭐냐면 문자를 포함한 등식에서 문자에 어 여기가 아니네요네 항등식은 뭐냐면요 문자를 포함한 등식에서 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식이에요 자 이게 무슨 말이냐면 우리가 방정식이라 하면 x에다가이 마이너스 a분의 b를 대입했을 때만 성립하는게 방정식이에요 하지만 항등식이라는 것은 어떤 값을 대입해도 x의 어떤 값을 대입해도 1을 대입해도 되고 3을 대입해도 되고 5를 대입해도 되고 이럴 때 항상 성립하는 등이식을 우리가 항등식이라고 하는 겁니다

자 그러면 우리가 x에다가 만약 0을 넣어 볼까요 항등식은 x에다 뭘 넣어도 된다그랬으니까 x에다 0 넣으면 a는 없어지고 b는 0이라는 결론을 얻을 수 있습니다 자 그러면 만약에 x에다가 2를 대입하면요 a b가 0인 거죠 그러면 아까 b가 0이었으니까 여기서는 a가 0이라는 결론을 얻을 수 있네요 자 그러면 항등식일 때는 뭐가 성립하는 거예요 a도 0이고 b도 0이어서 얘네들이 0이면 0이고 0이면 x값의 뭘 넣어도 어차피 0이 나오니까 이럴 때 항등식이 되는 겁니다 자 a가 0이고 b가 0 1 조건이 바로 이게 항등식인 겁니다 자 이게 항등식과 방정식에 관한 내용이고요 우리가 문제를 풀 때 항등식이라고 안 합니다 얘는 항등식이에요라고 문제에서 안 하고 이런 표현들을 써줘요

자 하나씩 한번 읽어 볼게요 자 첫 번째는요 x의 값의 관계없이 항상 성립하는 등식 자x값의 관계없다 그랬으니까 x값의 뭘 넣어도 되는 거죠 아무거나 다 지워 넣어도 된다는 소리에요 그게 항등식인 거죠 두 번째 보겠습니다 모든 액수에 대하여 성립하는 등신 당연하죠 항등식은 뭘로도 된다 그랬는데 모든 x라 그랬으니까 아무거나 넣어도 상관이 없는 겁니다 자 세 번째는요 임의의 x에 대하여 성립하는 등식이래요 2번하고 비슷한 표현이죠 모든 x나 임의의 x나 x에다가 아무거나 넣어도 상관없다는 소리입니다 마지막으로 어떤 x의 값에 대하여도 항상 성립하는 등식 자 이렇게 4가지 표현이 모두 똑같은 표현이고요 똑같은 표현이고 우리가이 4가지를 봤을 때는 아 문제에서 말하고 있는 거는 얘가 항등식이라는 뜻이구나라고 받아들이시면 되겠습니다

자 그러면요 우리가 이제 항등식의 성질을 볼 건데요 아까 풀었던 것과 똑같이 ax+b가 0이면 a 도형이고 b도 0이라 그랬어요 그렇죠 아까 실제로 대입해서 확인을 했습니다 자 2번 볼게요ax+b랑 cx+d가 x에 대한 항등식이라고 했네요 x에다 뭘 넣어도 상관이 없다는 뜻은요 결국 좌변우변이 완전히 똑같아져야 돼요 그러니까 우리가 좌변우변이 똑같아져야 하니까 a가 0이고 b가 0이어서 무조건 0이 되게 만들어 준 거잖아요 그래서 2번에선 어떤게 성립하는 거냐면 a 값하고 c값하고 같은 겁니다 좌변의 x 계수와 우변의 x계수가 같아야 되고요 좌변의 상수항 b와 우변의 상수항 d가 같아져야 되는 겁니다 그래서 a는 C 그리고 b는 d라는 조건이 나오는 거예요 1차식에서만 성립하는게 아니고요 우리가 2차식 3차식에서도 성립합니다 여기 예시는 2차식까지만 나왔어요 보시면 ax² + bx + c는 0이라 그랬고 abc는 0이래요 자 마찬가지로 좌변에도식이 있고 우변에도식이 있으면요 a랑 d랑 같아야 되고 b랑이랑 같아야 되고c랑 f랑 같아져야 되는 거죠 자 여기 항등식의 성질입니다 자 마지막으로 마찬가지로 x도 있고 i도 있으면요 근데 x y에 대한 항등식이라고 했으면 0이고 0이고 0이어야 됩니다 여기까지 됐나요 자 요거 내용은 우리가 지금까지 설명드린 내용과 똑같은 내용이고요 자 개념 예제 한번 보겠습니다 어렵지 않아요 x에 대한 항등식일 때 abc의 값을 구하는 문제예요 그러면 얘가 지금 x에 관한 이차식인데요 좌변은 지금시기 이렇게 있는데 우변의식이 0이네요 그러면 좌변에서 x값 말고 다른 계수들이 0을 모두 만족을 시켜 줘야 되는 겁니다 그러면 a+3이 0이어야 되겠죠 그러면 a는 뭐예요 a는 -3입니다 자 여기 뒤에 있는 2-b도 얘도 x의 계수니까 0이 돼야겠죠 그럼 b는 뭐예요 b는입니다 자 마지막으로 c-o가 0이어야 되니까요c값도 우리가 알 수 있는 거죠 c는 5입니다 자 2번 보시면요 요거는 요렇게 돼 있고 요렇게 돼 있네요 그러면 그냥 눈으로 확인하고 a는 뭐예요 마이너스 4 b는 뭐예요 2 c는 뭐예요 3 이렇게 하면 됩니다 우리가 이렇게 문제는 쉬워요 쉬운데 항등식이란 것을 정확하게 어떤 개념인지 알고 있는게 이번 단원에서의 제일 중요한 포인트입니다 자 넘어가겠습니다

미정계수법인데요 우리가 지금 문제를 풀 때 어떻게 풀었냐면 그냥 여기 있는 ax 제곱의 계수가 a고 여기 있는 - 4x제곱의 계수가 -4니까 그냥 요쪽 계수랑 이쪽 계수랑 같아야 돼서 a는 -4야라고 했어요 이거를 우리가 조금 고급지게 뭐라고 표현하냐면 계속 비교법이라고 합니다 자 그냥 눈으로 보고 어 왼쪽 오른쪽 같아야 되니까 항등식에서는 왼쪽 오른쪽이 같아야 되니까 그냥 얘랑 얘랑 같다라고 하는게 계수 비교법이고요 두 번째 방법은수치대입법인데요 이렇게 한번 해보겠습니다 만약에 ax+b가 3이라 그랬어요 근데 얘가 항등식이래요 항등식이라 그랬으면 우리가 계수비교법으로 a값 B 값을 찾을 수도 있지만 수치대입법을 활용해서 x 값에 뭘 넣어도 상관없으니까 0을 집어넣어서 b가 3이라는 결론 내고요 x에다가 1 넣으면 a+b가 3이니까 얘가 3이어서 a가 0이라는 결론 얻어낼 수 있죠 자 요렇게 숫자를 직접 대입해서 계산을해서 수치 대입법이 아니라 계수 비교법이면 요렇게 왼쪽 계속 오른쪽 계속 비교를 해줘야 됩니다 비교를 해 줘야 되는데 그거보다는 그냥 x에다가 2를 넣어 봐요 x에다 2를 넣으면 어떤 일이 생기냐면 얘네들이 다 0이 돼 버리는 겁니다 그럼 우변에는 뭐만 남아요 통해서a는 0이고 b가 -1이라는 결론을 얻어낼 수 있습니다 자 요런 문제 같은 경우는 확실히 계수 비교법이 더 불편하죠 계산을 더 많이 해야 되니까 이런 경우에 수치대입법을 써주는게 좋습니다 그래서 두 방법 모두요 이제 계수 비교법하고 수치 대입법하고 두 방법 모두 알고 계셔야 됩니다 여기까지 되셨나요 네 그러면 넘어가도록 하겠습니다

자 이번엔 다음 시계 나눗셈과 항등식인데요 우리가 지난 시간에 배운 것 중 요런 거를 배웠었어요 a를 a라는 다항식을 b라는 다항식으로 나눴을 때 몫이 q고 나머지가 r이라면 우리가 이거 가지고 식을 하나 쓸 수 있다 그식이 무슨 식이냐면 a는 BQ + r이라는 식을 쓸 수 있다고 배웠어요 제가 이걸로 강조를 좀 많이 드렸었는데 자 얘가 왜 강도를 제가 했냐면 얘가 바로 항등식입니다 항등식x에다가 뭘 집어넣어도 성립하는 항등식인 거예요 자 왜 그런지 한번 간단하게 설명을 드려 볼게요 예를 들어 X3 제곱 마이너스 3x의 제곱 플러스 5X + 1이라는 식을 x-1로 나눴어요 이걸로 나누면 조립제법을 사용해서 우리가 목과 나머지를 구할 수 있죠 그러면 이렇게 계산이 될 겁니다 그러면 지금 x-1로 나눴을 때 몫이 얘네고요 얘가 지금 나머지예요 나머지 그러면 얘를 a는 BQ + r꼴로 나타냈을 때 x의 3제곱 마이너스 3x^2 + 5X + 1은요 x - 1로 나눴을 때의 몫은 뭐예요 x의 제곱 마이너스 2x + 3이고요 나머지는 3입니다 자 얘가 왜 항등식이냐면요 요거 자체가 지금 이거를 전개를 했을 때전개를 해서 4까지 동료한 계산을 해줬을 때 동면끼리 계산을 해주면이 좌변과 우변이 완전히 똑같은식이 나오게 되는 겁니다 그래서 얘는 x에다 뭘 집어넣어도 성립하는 항등식인 거예요 항등식 여기까지 되셨나요 자 차수에 관한 내용도 한번 더 복습시켜 드리겠습니다 자 우리가 지금 이거 지금 3차인데 만약에 n차당 시기예요 n차당식인데 키 차당식으로 나눴으면 몫은 목숨 몇 차이가 나와야 돼요 합해서 n차가 나와야 되니까 즉 곱해서 n차가 나와야 되니까 n - k 차 다항식이 몫입니다 그럼 나머지가 될 수 있는 수는 뭐라 그랬어요 K 차로 나눴을 때 K 차보다 차수가 낮은 거 k-1 4인 겁니다 최대 k-1차라고 하면 되겠네요 자 여기까지 되셨나요

자 그러면 우리가 이게 지금 항등식이란 거를 우리가 지금 배웠는데 이거를 적용해서다음 예제를 한번 풀어 보도록 하겠습니다 이게 항등식이라는 걸 적용해서 예제를 보면요 자 예제를 보면 x^3 플러스 ax² + bx - 5를 요걸로 나눠서 나머지가 이게 되는 a값 B 값 구하래요 자 그럼 봅시다 a는 BQ + r4를 사용할 거예요 자 그럼 나누어지는 수가 뭐예요 지금 x의 3 제곱 a의 x의 제곱 플러스 bx -5죠 뭘로 나눴대요 x의 제곱 마이너스 x + 3으로 나눴대요 그럼 몫이 있겠죠 지금 여기 몫이 있을 거예요 몫이 있을 거고 나머지가 ex+1입니다 자 이렇게 됐을 때 우리 과연 몫은 그럼 몇 차일까요 얘가 3차인데요 2차로 나누었습니다 자 그럼 최고차항끼리 곱해서 3차가 나와야 되는 거예요 2차로 나눴는데 최고창끼리곱해서 3차가 나와야 되니까 얘 몫은 지금 몇 차인 거예요 얘가 지금 1차가 돼야 되는 겁니다 자 1차면 우리가 문자를 어떻게 잡아줄 수 있어요 원래는 PX + q로 잡아줄 수 있습니다 그런데 여기서 또 쉬운게 하나 있어요 x 제곱이죠 최고가 여기 있는 px입니다 지금 여기 3차 x³이죠 3차항을 만드는 건 얘랑 얘를 곱하는 경우밖에 없어요 그래서 얘랑 얘를 곱해는 PX 3제곱이 x^3이 나와야 되니까 p 값이 뭐여야만 하는 거예요 1이어야 말하는 겁니다 그래서 px+q가 아니라 x+q를 가지고 a값 B 값 찾아 줄 겁니다 자 그러면요 상태에서요 우리 전개해 줄게요 자 그럼 전개를 해주면요 x^3 플러스 마이너스죠 여기에 지금 마이너스네요자 그러면 x^3 - x의 제곱 플러스 3x고요 q를 곱해주면 qx^2 -q x + 3 q입니다 뒤에 나머지 2x + 1까지 써주면 되겠죠 그럼 얘를 동류항끼리 계산을 해주면요 x^3에 Q - 1의 x 제곱 플러스 5 - q의 x + 3q + 1이고요 이제 우리가 지금 x^3 플러스 ax^2 + bx - 5랑 계수 비교법 써줄 겁니다 항등식이라 그랬으니까 왼쪽에 있는 계수들하고 오른쪽에 있는 계수들하고 똑같아야 돼요 그러면 상수항 먼저 볼게요 상수항이 여기는 지금 -5죠 여기는 3q + 1이네요 그러면 뭐랑 뭐랑 같은 거예요 -5랑 3q + 1이랑 같은 거예요 여기서 우리가 q값 계산할 수 있습니다 그러면 주가 계산하면얘가 지금 몇이에요 -3이죠 얘가 몇이에요 7이죠 자 그러면 2차항 비교하면요 여기 있는 ax²이고 여기는 -3x²입니다 그러면 우리가 a값 -3이라고 계산할 수 있고요 이번에 b값 b값이고 여기는 7x고 그러면 뭐랑 뭐랑 같아요 b랑 7이랑 같네요 이렇게 계산해 주시면 됩니다

자 오늘 배운 내용 다시 한번 요약 드리면 항등식에 대한 개념을 배웠어요 x에 대해 뭘 넣어도 성립하는 걸 우리가 항등식이라고 하고요 항등식 중에서 우리가 특히 어떤 거를 어떤 거에 대해 학습을 했냐면 a는 BQ 플러스알도 항등식이다 그래서 여기 다가 x의 뭘 넣어도 상관없다 그거에 대해서 학습을 하였습니다 자 오늘 앙드레싱 개념 꼭 꼼꼼하게 숙지하시고 오늘 강의는 여기까지입니다 감사합니다