[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 다항식 - 나머지정리와 그 활용

자 오늘 아침 8 내용은 나머지 정리와 그 활용입니다 우리가 나머지 정리가 뭔지 일단 배울 거구요 그 나머지 정리해서 파생된 인수정리란게 있어요 그래서 오늘 나머지 정리 먼저 배우고 인수정리리 이렇게 두 가지 학습하도록 하겠습니다

일단은 나머지 정리인데요 제가이 나머지 정리를 설명드리기에 앞서서 앞에서 조립제법이란 거를 배웠었죠 우리가 조립제법을 배웠어요 조립제법을 활용하면 우리가 어떤 걸 얻을 수 있었어요 바로 목과 나머지를 얻을 수 있었습니다 자 그런데 우리가 오늘 배울 나머지 정리라는 것은 나머지 정리는 나머지만 구할 수 있어요 근데 사실 나머지만 구할 수 있다는 표현보다는 우리가 궁금한게 나머지여서 나머지만 구하고 싶을 때 쓰는게나머지 정리예요 말씀드렸다시피 나머지 정리는 우리가 나머지만 궁금할 때 쓰는 거고요 조립제법을 언제 쓸 수 있었죠 조립제법 같은 경우는 우리가 항상 쓸 수 있는게 아니라 어떤 다항식을 몇 차식으로 나눌 때만 쓸 수 있어요 1차 식으로만 나눌 때 1차식으로 나눌 때만 쓸 수 있었습니다 그런데 나머지 정리도 마찬가지로 다항식을 1차식으로 나눌 때만 사용할 수 있어요

그러면 이제 나머지 정리가 뭔지 알아봐야겠죠 그래서 제가 예제를 좀 하나 가져왔어요 어떤 얘기냐면 fx라는 다항식이 있는데요 그 다항식이 x^3 - 6x 제곱 + 7x +1이라는 3차 다항식이 있습니다 제가 이걸 모르나눌 거냐면요 x-1로 나눠 볼 거예요 그러면 조립제법을 활용해서 우리가 원래는 목과 나머지를구할 수 있었었죠 얘를 이렇게 해서 1 1 - 5 - 5 2 2 3 하면 우리가 여기서 뭘 얻을 수 있었어요 목 바로 x의 제곱 마이너스 5x+2라는 목과 3이라는 나머지를 얻을 수 있었습니다 그러면 a는 BQ + 알꼴로 나타냈을 때 우리가이 다항식을 어떻게 쓸 수 있는 거예요 fx는 목 x 제곱 - 5X + 2고 나누는 수 나누는 식이죠 x-1 그리고 맨 마지막에 나머지 3 요거를 우리가 fx를 표현을 이렇게 할 수가 있어요 자 그러면 이렇게 전개된 식은 우리가 항등식이에요 항등식 항등식입니다

항등식이라는 말은 무슨 말이에요 x값의어떤 값을 집어넣어도 항상 성립을 한다는 얘기입니다 그러면 여기에 있는 x 값의 아무거나 집어넣어도 되는데 만약에 여기에 나누는 나누는 식과 나누는 식과 몫을 없애버리는 즉 나누는 식을 0으로 만드는 x값 1을 대입하면 어떻게 돼요 좌변에는 f1만 남구요 우변에는 3만 남습니다 f1은 3이라고요 그럼 이게 뭐예요 우리가 사면 뭐였어요 얘가 지금 나머지입니다 나머지 feb 나머지와 같은 거예요 이게 지금 나머지 정리예요요 나머지만 구하는 방법을 나머지 정리라고 합니다 조금 단순하게 다시 한번 정리를 해드릴게요 우리가 지금 얘의 시를 갖고 조립제법도 섞어 써서 아마이가 아직 가지 않았을 겁니다 만약에 어떤 fx라는 다항식을 x-3으로 나눴어요 그때 몫을 qx라고 할 거고요 나머지를 구할건데 그 나머지가 알이에요 구하고 싶은 건 뭐예요 나머지 그러면 x에다 뭘 대입하면 된다고요 나누는 10x-3을 0으로 만드는 x값 3을 4번 우변에 대입을 한다고요 그러면 좌변은 f3이고 우변은 r입니다 그러면 우리가 궁금한 나머지가 바로 f3인 거잖아요 바로 나오죠 나머지가 자이 문장을이 내용을 문장으로 정리하면 요렇게 쓸 수 있습니다 다항식 fx를 1차식 x-a로 나누었을 때에 나머지를 r이라고 하면 r이라고 하면 그 나머지는 뭐랑 같은 거예요 나누는 식 x-a를 0으로 만드는 x값 a를 어디에 대입해요 나누어지는 식 여기다가 a를 대입합니다 그럼 그게 뭐랑 같아지는 거예요 나머지와 같아지는 겁니다 우리가 x-a가 아니라 ax+b의 경우도 마찬가지구요ax+b를 0으로 만드는 x값을 어디에 대입하는 거예요 f에 fx의 대입을 하면 그게 바로 나머지와 같다 요게 나머지 성립니다 자 그러면 우리가 지금 조립자법을 쓰지 않아도 바로 나머지를 구할 수 있는 거예요

개념 예제 한번 풀어볼게요 자 다음 18x 세제곱 -4x² + 5라는 3차 다항식이 있는데이 당식을 이제 x-1 ex+1 4x-1로 나눴을 때의 나머지를 구하래요 그러면 제가 조금 편의상 요거를 fx라고 놓고 문제를 풀게요 그러면 제가 1번식을 a는 bq+r 꼴로 나타내면요 fx는 x-1로 나누었을 때 몫이 qx고 나머지가 r이라고 합시다 그러면 우리가 x의 멀대입하는 거예요 나누는 식을 0으로 만드는 x값 2를 대입하는 겁니다x에다 1을 대입하면 어떻게 돼요 x-1이 0이 되어서 x-1 qx가 통째로 0이 됩니다 그러면 좌변에 남은 거는 뭐예요 좌변은 f1만 남았고요 우변에는 알만 남았죠 그러면 우리는이 나머지 r이 궁금한 거고 fe를 계산해주면 된다는 소리입니다 8 곱하기 1의 3제곱 마이너스 4 곱하기 1의 제곱 플러스 5를 해주면 되고요 계산을 해주면 9라고 나옵니다 따라서 나머지 r은 9예요 그러면 혹시이 부분을 이제 제가 지워도 이해가 될까요 한번 제가 애인의 BQ 플러스 알고를 사용하지 않고 입원하고 3번 문제를 풀어보겠습니다

자 2번을 풀 건데요 2X + 1을 0으로 만드는 x가 뭐예요 - 2분의 1 이거를 어디에 집어넣어요 f에 집어넣습니다 f-1/2이라고 이게 뭐랑 같다고요이게 자체가 그냥 나머지 r과 같은 거예요 그래서 엘프 마이너스 1/2을 계산해주면 8 * - 2분의 1의 3제곱 - 4 곱하기 - 1/2의 제곱 플러스 5까지 계산해 주면 되고요 요거를 계산했을 때 마이너스 1 - 1 + 5로 계산을 해주면 되니까 답은 3이 되네요 마지막 3번도 똑같은 방식으로 계산을 해주겠습니다 지금 x에다 뭘 집어넣어야 돼요 4x-1을 0으로 만드는 x값 4분의 1을 집어넣습니다 그러면 나머지 r은 f/4과 같고요 f4를 계산해주면 8 곱하기 4분의 1의 3제곱 마이너스 4 곱하기 4분의 1의 제곱 플러스 5가 되고요 요거를 계산했을 때 64분의 8- 16분의 4 + 5구요 8분의 1 - 4분의 1 + 5니까 8로 통분을 해주면 8분의 1 - 2 + 42 되구요 답은 8분의 39라고 해주면 되겠네요 자 이렇게 해서 우리가 나머지 정리를 좀 학습을 해봤습니다 그러면이 나머지 정리가 조금 뭐 어떤 건지 조금 이해가 갔을 거예요 나머지는 그냥 f에다가 어떤 값을 대입하는데 그 어떤 값이 뭐인 거예요 나누는 식을 0으로 만드는 x값 0으로 만드는 x값 0으로 만드는 x값 얘네들을 f에 대입을 해주는 겁니다 자 그러면 다음으로 넘어가 볼게요 이번에는 다항식 fx를 x-2로 나누었을 때 나머지는 3이래요 그러면 우리가 여기서 뭘 준 거예요 여기 fx를 x-2로 나누었을 때려요 그럼 그때 나머지는 뭐랑 같아요 x-1을0으로 만드는 x값 2를 f에다 대입하는 거랑 같은 거예요 그게 뭐랑 같다고요 나머지 3이래 됐죠

자 다음 문장도 봅시다 x-3으로 나누었을 때는 7이래요 그럼 여기서 뭘 주는 거예요 나머지 r은 fx-3을 0으로 만드는 x값 3과 같고요 나머지는 7입니다 자 구하는 건 뭐냐면 fx를 x-2x-3으로 나눴을 때 나머지를 구하래요 그러면 요건 지금 1차식으로 나누는게 아니에요 2차식으로 나누는 거니까 제가 a는 b2+r이라는 항등식을 좀 써주겠습니다 x-2 x-3으로 나눈 거고 몫은 qx고요 지금 몇 차식으로 나눴어요 2차식으로 나눴죠 2차식으로 나눴습니다 그땐 나머지는 몇 차예요 최대 1차 그래서 우리는ax+b라고 나머지를 써 줄 거예요 자 그랬을 때 우리는이 나머지를 구하기 위해서 어떤 값을 대입하냐면요 나머지 정리랑 비슷합니다이 몫을 모르니까 몫을 모르니까 x-1을 0으로 만드는 x값 얘를 0으로 만드는 x값 2를 대입하거나 얘를 0으로 만드는 x값 3을 대입합니다 그러면 x에다가 2를 넣었을 때 좌변은 f이고요 x-2가 0이 돼서 x-x-3 qx가 다 날라가죠 그러면 남은 건 2A + b입니다 자 x에다가 3을 넣으면요 좌변은 f3이고 마찬가지로 x-3이 0이 되어서 여기 있는 x-2 x-3 qx가 0이 돼요 남은 건 3a+b입니다 그러면 우리가 아까 문제 조건이 의해서 f2는 뭐랑 같아요3과 같아요 f3은 뭐와 같아요 f3은 7과 같아요 그러면 우리가 요거를 2A + b는 3과 3a+b는 7을 연립을 해 줄 수가 있죠 연립을 해주면 10가식을 뺐을 때 -a는 -4니까 a는 4라고 계산이 되고요 다시 대입해서 B 값도 계산해주면 -5라고 나옵니다 우리가 찾는 나머지 rx는 나머지는 ax+b니까 여기다 a값 b값 대입을 해주면 4x - 5라고 나머지를 얻어낼 수 있습니다 자 그러면 우리가 여기 나머지 정리 여기까지 해서 마칠 거구요 다음으로 넘어가서 인수 정리 한번 배워보겠습니다

자 인수 정리는 나머지 정리 중에서 특수한 경우에요 특수한 경우인데 일단은이 인수가 뭔지 좀 알아야 돼요 우리가어떤 다항식 x의 제곱 마이너스 6x + 5가 있어요 얘를 인수분해할 수 있죠 인수분해하면 x-1 x-5가 됩니다 인수분해한다는게 인수로 분해한다 이런 의미를 담고 있거든요 그래서 우리가 x² - 6x+5를 x-1과 x-5의 곱으로 나타낼 수 있는데 여기에 써 있는 얘도 인수고 x-1도 인수고 x-5도 인수인 겁니다 뭐에 인수인 거예요 x 제곱 마이너스 6x+5의 인수인 거예요 자 x-1은 x 제곱 마이너스 6x + 5의 인수다 이렇게 표현이 되는 겁니다 그러면 나머지 정리 중에서 인수 정리는 조금 특별한 경우라고 있는데 어떤 경우냐면 fa는x - a로 나눈 나머지와 같다 그랬어요 나머지 r과 같다 그랬어요 그럼 만약에 이 나머지 r이 fa와 같은데 0이에요 그러면 우리가 다항식이 어떻게 표현되냐면 fx는 x - a로 나누었을 때 몫이 qx고 나머지가 원래 아닌데 지금 그 나머지가 0이라면 요렇게식이 표현이 되죠 그러면 우리는이 식을 보고 x - a는 fx의 인수다라고 표현할 수 있어요 왜죠 뒤에 지금 나머지가 없으니까 x-a와 qx의 곱으로만 fx를 표현할 수 있으니까 x-a를 우리가 fx의 인수다라고 표현을 할 수 있는 거예요 거꾸로 fx가 1차식 x-a로 나누어 떨어지면당연히 나머지도 0이겠죠 나머지가 0이니까 그 나머지가 fa와 같고 나머지가 fa와 같고 그 값이 0이어야 되는 겁니다

자 이 내용이 인수 정리고요 우리가 개념 예제 풀어보도록 하겠습니다 자 다음 시계 fx는 x² + ax+2가 x - 2로 나누어 떨어진다 그랬고요 상수 a값 구하는 문제입니다 그러면 우리가 인수 정리에 의하면 어떻게 되는 거예요 x-2로 나누어 떨어진다고 했으니까 나머지 f2와 같고요 나머지 r은 f2와 같고 그게 0인 겁니다 따라서 f2를 계산을 해주면 4 + 2A + 2가 0이고요 2A + 6은 0이어서 우리가 a값을 -3으로 계산을 할 수가 있어요

자 마지막으로 우리가 개념 예제 하나 더 보겠습니다이 다항식 fax^3+ ax^2 + bx+8이 x-2 x-4로 나누어 떨어진대요 그러면 우리가 요거를 요렇게 쓸 수 있죠 x^3 ax의 제곱 bx + 8 x-2 x - 4로 나눈 거니까 몫을 qx라고 할 거고요 나머지가 있어요 없어요 없습니다 나누어 떨어지거든요 그러면 우리가 여기서 a 값 B 값을 어떻게 구하냐 여기로 봤을 때 x-2로 나눴을 때 요만큼을 그냥 몫이라고 생각을 하는 겁니다 그러면 인수 정리에 의해서 예를 0으로 만드는 x값 2를 여기다가 여기다가 대입을 했을 때 그 값이 뭐인 거예요 0인 거예요 그렇게 인수 정리로 봐도 좋구요 단순하게 생각해서 x-2 x-4를 0으로 하는 만드는 x값들 2를 대입할 수도 있고요 4를 대입할 수도 있어요 그러면 1을 대입하든 4를 대입하든 x-2가 0이 되거나 x - 4가 0이 되는데 그러면 우변이 통째로 0이 돼 버립니다 그래서 2 또는 4를 대입한 값을 이용해서 우리가 a값 B 값을 구해줄 수도 있습니다 저는 두 번째 방법을 택할게요 x에다가 2를 대입하면요 좌변은 8 + 4a + 2b +8이고요 우변은 뭐예요 0입니다 그래서 4a+2b + 16은 0이라는식이 나오고요 만약에 x에다가 4를 대입해주면 64 + 16a + 4B + 8은 0이에요 그래서 16a + 4B + 72는 0이고요 얘랑 어떤 거를 연립하는 거예요 자a + 2b + 16으로 연립을 합니다 위에 있는 16a+4b + 72를 2로 나눠주면 8a + 2b + 36은 0이고요 여기 있는요 다리 +2b+36은 0이라는 식에서 4a+2b+16은 0이라는 식을 빼주면 4a + 20은 0이고요 우리가 a 값을 - 5라고 계산을 할 수가 있습니다 다시 대입해서 B 값도 구해주면요 여기다가 a를 대입하면 -40이고 -40+36을 계산해서 써주면 eb-4는 0이어서 b는 2라고도 계산이 되네요

자 여기까지 해서 우리가 나머지 정리와 인수정리 그리고 예제까지 풀어 봤습니다 우리가 나머지 정리와 인수성리 문제들은 조금 난이도가 있는 문제들이 많이 나옵니다 그래서 우리가 개념은 당연히 철저하게 복습을 하시길 꼭 당부드립니다 오늘 강의는 여기까지고요 고생하셨습니다감사합니다