[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 다항식 - 곱셈 공식을 이용한 인수분해

자 오늘 학습할 내용은 곱셈공식을 이용한 인수분해입니다 우리가 인수분해를 중학교 3학년 과정에서 배운 적이 있어요 인수분을 배운 적이 있는데 학생들이 인수분해를 어려워하죠 어렵다는 것도 지금 듣고 있는 학생들도 알고 있을 겁니다

자 일단은 인수분해가 뭔지 인수분해 정의부터 알아볼 건데요 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것을 인수분해라고 해요 자 우리가 인수분해할 수 있는이 차식을 제가 예시로 하나 들어볼게요 x 제곱 마이너스 6x + 5라는이 자식이 있어요 얘를 인수분해하면 뭐가 돼요 x-1 x - 5가 됩니다 요렇게 어떤 다항식 x-1과 어떤 다항식 x-5의 곱으로 나타내는 것을 우리가 인수분해라고 하고요인수분해라는 말은 인수로 분해한다 인수로 쪼갠다는 말이 인수분해요 그래서이 x-1과 x-5를 뭐라 그러냐면 인수라 합니다 인수 x² - 6x + 5의 인수 x -5도 인수 얘네들을 인수라고 해요 물론 1차식만 인수가 되는 건 아닙니다 얼마든지 2차식도 인수가 될 수 있어요 단지 곱으로만 표현되면 우리는 얘네들을 인수라고 하는 거예요 자 그래서 인수분의 기본 공식들을 볼 건데요 지금 1번부터 10번까지 공식들이 나와 있고요 우리는이 공식들을 어떻게 떠올릴 건지 우리가 문제를 풀 때 어떤식이 주어질 거예요 그 식에서이 식을 인수분해하기 위해 쓰는 공식이 왜 3번 공식인지 왜 6번 공식을 여기서 써야 되는지 그런 거에 조금 초점을 맞춰서 제가 설명을 드릴 겁니다 3번 6번은 예시로 그냥 한번 6번을 찍은 거고요

한번 1번 부터 가보도록 하겠습니다 일단1번 공식을 보면요 ma+mb가 m의 a+b라고 이렇게 인수분해가 되는데요 쉽게 말하면 공통 인수를 묶는 거예요 공통 부분을 묶어주는 건데 요거를 이제 무심코 지나치기 쉽습니다 제가 간단하게 예제를 하나 드리면요 만약에 xy의 제곱 플러스 x^3 y라는식이 주어져 있으면요 공통 인수로 묶어야 인수분해가 되는 겁니다 자 x 하나 x 색이 있으니까 x 하나로 묶을 수 있고요 y가 지금 두 개 y가 하나 있어서 y는 하나를 공통으로 가집니다 안에는 y가 하나 남구요 여기는 x제곱이 남네요 이렇게 공통 인수를 묶어서 인수분해하는 공식이 있는데이 공통 인수를 묶지 않으면 우리가 인수분해가 안 되는 경우가 있어요 꼭 공통 인수로 묶고 인수분해 해야 되는 경우들이 있으니까 1번 공식을 잊지 말고 문제가 안 풀릴 때는 공통 인수로묶겠다는 생각 한번 하면 좋을 것 같네요 자 2번을 보면요 a² + 2ab + B 제곱은 a+b의 제곱이고 a 제곱 마이너스 2ab + B 제곱은 a - b^2이에요 저는 요거를 어떻게 설명드리냐면 지금 맨 앞에도 어떤 거의 제곱이고 맨 뒤에도 어떤 거의 제곱이에요 이런 경우 혹시 완전 제곱식을 통해서 인수분해를 하는 것이 아닐까라고 생각을 하는 겁니다

자 제가 예제를 하나 드려볼게요 만약에 4x의 제곱 마이너스 12xy + 9y 제곱이라는 2차식이 있습니다 이차식이 있는데 지금 4x가 4x가 아니라 4x제곱이죠 4x제곱이 2x의 제곱이고요 9y제곱이 지금 3y의 제곱이에요 그러면 어얘도 뭔가의 제곱이고 얘도 뭔가의 제곱이니까 완전 제곱식이지 않을까 해서 한번 써보는 겁니다 EX 3y의 제곱 지금 가운데 있는 x y의 계수가 음수니까 여기 -를 씁니다 그러면 얘를 다시 전개를 했을 때이 계수가 맞는지만 체크를 해주면 되잖아요 2 곱하기 2x * 3y 곱한 거에 - 붙인 거 계산해주면 - 12xy니까 어 얘를 인수분해하면이 완전 제곱식이 올바르게 인수분해를 한 거구나라는 거를 확인을 할 수 있는 거예요 힌트를 어디서 얻는다고요 4x²은 2x^2이고 9y²은 3y의 제곱이고 우리가 여기서 힌트를 얻어서 인수분해 공식을 완전 제곱식을 사용할 수 있는 겁니다

자 3번을 보겠습니다 3번은 어떻게 돼 있냐 제곱에서 제곱을 뺀 경우에 우리는 합과 차의 곱이라 그래서합차 공식이라고 많이 부르고요 얘도 마찬가지로 간단한 예시 하나 들면요 36x제곱 -81이라고 써 있으면 36x제곱은 뭐의 제곱이에요 6x의 제곱이죠 81은 9의 제곱입니다 따라서 인수분해를 하면 6x + 9 6x-9로 인수분해할 수 있고요 우리가 6x+9에서 공통 인수 3으로 묶이죠 3의 2X + 3으로요 제도 마찬가지로 6x-9도 3의 2x - 3으로 묶입니다 그래서 결론적으로 우리는 9의 2x + 3ex - 3이라고 쓰면 인수분해가 끝난 것이죠 4번 보면요 우리가 x² + a+b의 x + a인데 여기에 있는 a+b가합이고요 ab가 곱입니다이 조합을 찾아 줘야 돼요

예를 들어 x의 제곱 마이너스 4x + 3을 인수분해 하라고 하면요 더해서 -4가 나오고 곱해서 3이 나오는 어떤 숫자의 조합을 찾아내야 됩니다 어떤 숫자와 어떤 숫자죠 -1과 -3을 곱하면 3이구요 더하면 -3입니다 따라서 x-1 x-3으로 인수분을 해줄 수 있겠네요 자 5번은요 우리가 여기 조금 복잡하게 생겼는데 acx 제곱 플러스 ad+bc의 x + bd는 ax+b cx+d로 인수분해가 됩니다 요거는요 우리가 지금 예시를 하나 들 건데요 2x제곱 마이너스 5X -3이라는 예시를 하나 풀어보겠습니다지금 EX 제곱은 1과 2구요 -3은 1과 - 3의 곱으로 제가 한번 조합을 해 볼 거예요 그래서 2와 -3을 곱하면 -6이고 1과 1을 곱하면 1이에요 두 개를 더하면 -5죠 그러면 2-5랑 여기 x의 계수인 마이너스 5가 일치하니까 우리가 원하는 숫자 조합을 찾은 거예요 그런데 딱 지어줄 때는 요렇게 거꾸로 딱 지어주죠 2랑 1이랑 2랑 마이 1이랑 마이너스 3이랑 딱 지어준 순서쌍 대로 인수분해를 해주면 x-3 ex+1로 인수분해가 됩니다 자 그러면 요런 생각을 할 수 있어요 왜 거꾸로 딱 찍냐 자 그거는 우리가 문자 그대로 acx 제곱 플러스 ad + bc의 x + bd라는 식을 인수분해하면 지금 ax+b의 cx+b라는 식으로 인수분해가 되는거를 알고 있는데 숫자를 직접 조합해 보면 됩니다 a와 c^2 b와 d의 ad+bc를 만들어내기 위해서는 우리가 곱셈은 이렇게 해야 되고 곱셈은 이렇게 해야 돼요 그랬을 때 AB bc가 나와서 더하면 ad+bc랑 x의 계수와 일치하죠 그런데 인수분해된 결과를 보면 지금 ax + b예요 그러면 식을 어떻게 만들어 주는 거예요 곱해준 애들끼리 식을 만들어 주는게 아니라 얘랑 얘로 식을 만들고 얘랑 얘로 식을 만들어 주는 거예요 그래서 우리가 조합을 할 때 1차식을 써줄 때 곱셈한 숫자들끼리 적어주는게 아니라 거꾸로 적어 준다는 점 주의하시길 바랍니다

자 6번 같은 경우는요 6번 같은 경우는 제곱 더하기 제곱 + 제곱 + 2ab + 2bc+ec 요거를 인수분해하면 a+b+c의 제곱이 되고요 요것도 마찬가지로 제곱과 제곱과 제곱여기서 힌트를 얻는 겁니다 자 7번 공식 볼 건데요 지금 A3 제곱 플러스 3a 제곱 B + 3ab²+b3 제곱은 a+b의 3제곱으로 인수분해가 됩니다 자 요거는 부호만 바뀐 거예요 부호만 바뀌어서 a - b의 3제곱으로 인수분해가 되고요 위에와 마찬가지로 힌트는 요렇게 세제곱 세제곱 세제곱 마이너스 세제곱 요거에서 힌트를 얻어서 우리가이 공식을 사용합니다 개념 예제에서 우리가 문제는 풀어볼 거고요 8번하고 조금 비슷하게 생겼어요 문자가 두 개고 둘 다 3차항이 들어가 있어서 헷갈릴 수 있는데 두 개 다 우리가 인수분해 단어뿐만 아니라 다른 단원에서도 많이 사용되는 인수분의 공식이라 꼭 암기를 하시기 바랍니다 7번하고 8번 명확하게 암기하시길 바라겠고 8번 공식도 우리가 뒤에서 개념 예제를 통해 한번 적용을 시켜 볼 거예요 3제곱 더하기 3 제곱 3제곱 더하기 3 제곱 3제곱 빼기3제곱 요거를 인수분해하는 방법입니다 자 9번 공식은요 우리가 엄청 많아요 요소들이 3제곱 더하기 3 제곱 더하기 3제곱 그리고 -3abc는 a+b+c의 a² + b² + c제곱 - AB - BC 마이너스 C 이고요 얘는 우리가 변형하는 것도 우리가 곱셈공식의 변형 단원에서 배웠습니다 요거를 어떻게 변형하는 거예요 2분의 1 곱하기 a - b^2 + b - c^2 + c - a²으로 변형하는 거 학습을 했습니다이 부분이 이해가 가지 않는 학생은 곱셈공식의 변형 단원을 다시 한번 수강하시길 바랍니다 자 마지막으로 10번 공식이고요 지금 a^2 + a^2 b² + b의 제곱은 a² + AB + b 제곱 곱하기 a² - AB + B 제곱이에요 우리가 당연히 외워야 되는 공식이고요이 10 가지 공식 꼭 꼼꼼하게 구분지어서 암기 하시길 바랍니다

자 넘어가서 개념 예제 한번 풀어보도록하겠습니다 1번을 보면요 지금 ex의 3제곱 x 제곱 y xy제곱 y3²인데 부호는 플러스 마이너스 플러스 마이너스에요 그러면 우리가 공식 중에 어떤 공식을 쓸 거냐이 공식을 쓸 겁니다 이 공식을 쓸 건데 제가 그러면이 공식을 한번 여기다가 적어 볼게요 x의 3제곱 마이너스 3x 제곱 y + 3xy의 제곱 마이너스 y의 3제곱이죠 요게 어떻게 인수분해되는 거예요 x-y의 3제곱으로 인수분해가 되는 겁니다 자 그러면 지금 1번 식을 봤을 때 2x 3제곱이 뭐의 세제곱이죠 그게 지금 머릿속에 그려지지 않습니다 계수가 2이기 때문에 어떤 것이 3제곱이 될 수가 없는 거예요 16i 3제곱도 마찬가지죠 세제곱해서 16이 되는 숫자는 없어요그러면 우리가 여기서 보면 얘도 있고 얘도 있는데 모두 2를 포함하고 있죠 계수들이 그러면 우리가 여기서 공식을이 공식을 쓰기 전에 1번 공식을 사용해서 공통 인수를 묶어 내야 되는 겁니다 제가 그래서 1번 공식의 중요성을 아까 조금 강조 드린 겁니다

자 x^3 - 6x 제곱 y + 12xy의 제곱 마이너스 8y의 3제곱이죠 2로 묶으면 요렇게 되는 겁니다 그러면 우리가 이제 x^3은 x의 3제곱이고 8y의 3제곱은 2y의 3제곱이죠 그러면 [음악]3 곱하기 x * 2y의 제곱이죠 그러면 12xy 제곱이 되잖아요 그러면 여기도 맞네요 아 여기 지금 재고비 하나 빠졌네요 그러면 여기서 맞죠 지금 자 이렇게 맞으니까 우린 요거는 올바르게 인수분해를 한 겁니다 이렇게 우리가 어느 정도 추측을 하고 어떤 공식을 써야 되는지 추측을 해서 얘가 맞는지 점검하는 과정까지 겹치면 인수분해가 완료되는 겁니다 자 2번을 볼게요 2번은요 어떤 공식을 써야 되냐면 지금 일단 눈에 보이죠 27x3 제곱도 세제곱이고 8y의 세제곱도 세제곱이니까 어떤 공식을 써야 돼요 바로 8번 공식을 써야 됩니다요 공식을 써 줄 거고요 제가 아직은 공식을 뭐 네온 학생들을 위해서 공식을 한번 쓰고 시작을 할게요 x의 3 제곱 플러스 y의 3제곱은 x+y의 x 제곱 마이너스 x y +y²이라는 공식을 쓸 거예요 그러면 27x3 제곱은요 뭐에 세제곱이에요 아까 맨 처음에 말씀드린 요거를 우리는 3x의 세제곱으로 봐야 된다 그리고 뒤에 있는 8와이 3제곱은 뭐의 3제곱인 거예요 그러면 4x27x 세제곱하고 8y 3제곱을 인수분해할 때는 3x와 ey를 가지고 인수분해를 해주는 겁니다 x 다리는 3x를 넣고요 y자리인 2y를 넣는 거죠 얘는 9x² - 6xy + 4y 제곱까지 하면 완료됩니다 자 마지막으로 3번 볼 건데요 3번은 지금 어떤식이 전개돼 있어요 제곱 제곱 제곱이 있죠 그러면 어떤 공식을 써야 될까요 최곱 제곱 제곱 들어가 있는 식은 6번식입니다 이렇게 돼 있죠 그러면공식을 써 드리면 a² + b 제곱 더하기 c제곱 - 2ab EBC eca를 인수분해 하면 a+b+c의 제곱이 된다는 겁니다

자 그러면 4x² + y² + z제곱 플러스 4xy - 2yz - 4z x를 인수분해 할 건데요 보시면 4x²은 뭐의 제곱이에요 2x²이에요 얘는 그냥 y의 제곱이고요 얘는 그냥 z의 제곱입니다 그러면 얘를 인수분해 하는데 2x + y + z의 제곱이라고 그냥 인수분해 맞추면 될까요 안 됩니다 지금 여기 부호가 마이너스가 들어와 있어요이 말은 무슨 말이냐 얘네 사이사이에 있는 부호가 플러스가 아니라-y거나 - Z 일 수도 있다는 겁니다 그러면 어떤게 마이너스야라고 생각을 해 봤을 때 어떻게 그거를 찾아내느냐 지금 -가 들어간 항은 yz하고 zx죠 얘네 둘이가 지금 마이너스인데 두 개 공통로 들어가 있는게 뭐예요 z가 공통으로 들어가 있죠 그러면 z의 마이너스를 달아주고 y의 플러스를 달아주면 문제없이 인수분해가 되는 겁니다 왜냐 마이너스 z가 들어갔으니까 여기 있는 자리에 마이너스 z가 들어가서 원래 플러스인데 요렇게 된 거니까 올바르게 인수분해가 된 거죠 4x에 - Z 자 여기까지 되셨나요

자 여기까지가 인수분해 공식을 활용한 우리가 방법을 배워 봤고요 공식이 정말 많아요 공식이 지금 10개나 돼서 외우기 좀 힘드실 텐데 하지만 공식은 계속 쓰이니까 고등학교 1학년뿐만 아니라 2학년 3학년에 가도 공식이 쓰이니까꼭 꼼꼼하게 외우시길 바라겠고요 공부해서 숙지하시길 바라겠습니다 감사합니다 [음악]