[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 다항식 - 복잡한 식의 여러 가지 인수분해

자 오늘 학습할 내용은 복잡한 시기에 여러가지 인수분해입니다 우리가 지난 시간에 인수분해 공식을 활용한 인수분해를 배웠었는데 오늘은 그거보다 조금 복잡한 식을 인수분해하는 방법을 배울 거예요 우리가 크게 4가지 유형에 대해 인수분해하는 방법을 배울 거고요 공통부분이 있는 시계 인수분해 보기 차식에 인수분해 여러 개의 문자를 포함한 시계 인수분해 인수술 정리를 이용한 인수분해 이렇게 4가지 유형의 대해 배워보도록 할게요 가장 먼저 공통 부분이 있는 시기에 인수분해인데요 말 그대로 시계의 공통 부분이 있을 때 사용하는 방법입니다 어떻게 하는지 교재를 한번 읽어보도록 할게요

공통 부분을 일단 x로 치환을 하고요 주어진 다항식을 x에 관해서 나타냅니다 그 다음에 그 x에 관한식을 다시 인수분해하는 거예요 x의 원래 식을 대입한 후 다시 인수분해한다고 적혀 있는데요 일단은 우리가 여기는 지금 대문자 x로 치환을 한다고 했는데 꼭 대문자 x가 아니어도 상관은 없습니다 그리고 마지막에 x의 원래의 식을 대입한 후에 다시 인수분해 한다 그랬는데 요게 항상 다시 인수분해되는 거는 아니고요 우리가 대입을 한 후에 인수분해가 되는지 안 되는지 확인을 한다고 생각하시면 될 것 같습니다

자 그러면 직접 한번 해 볼 건데요 개념 예제를 부도로 하겠습니다 1번은 지금 다음 식을 인수분해하라고 하였는데 우리가 공통 부분이 눈에 보이죠 x+2라는식이 지금 공통 부분으로 되어 있습니다 그러면 우리는 1번을 풀 때 x + 2를 치환을 하는 거예요 제가 이거를 대문자 x라고 치환하지 않고 t라고 지원을 하겠습니다 x가 겹쳐서 혼동이 우려가 있기 때문에c라고 치환을 하도록 할게요 그래서 주어진 다항식을 시에 관해서 표현을 해주는 거예요 d^2 -3t -4로요 그러면 지금 t에 관한 2차식이 됐는데 얘가 지금 인수분해가 되죠 인수분해가 뭐라고 돼요 d-4 t + 1 그다음 t자리에 우리가 치환했던 x+1을 다시 되돌려 놓는 겁니다 x+2-4 x + 2 + 1 그러면 x - 2x + 3이 됩니다 자 2번 한번 보도록 할게요 지금 2번을 보면요 공통 부분이 없어요 우리 눈에 공통 부분이 없습니다 그렇게 돼 있고 1차식이 지금 4개가 연결이 돼 있고 4개가 곱해져 있고 뒤에 마이너스 3이 있는데 우리가 이거를 인수분해를 해야 돼서 싹 다 전개를 한번 해줘야 됩니다이마이너스 3이란 것 때문에 인수분해가 제대로 된게 아니에요 싹 다 전개를 해 줘야 되는데 우리가 요런 요런 곱셈 공식을 알고 있어요 x+a의 x+b를 전개하면 x² + a+b의 x+ab 자 우리가 여기에 있는 1차식 4개를 그냥 전개해서도 되지만 그냥 전개하는 것보다는 우리는 x 제곱 플러스 a+b의 x를 똑같이 만들어 줄 거예요 어떻게 만들어 주냐면 a와 b를 더해서 1차항의 계수가 되죠 그래서 여기 써 있는 -1하고 -2하고 - 3하고 -4 중에 두 개 두 개씩 연결해서 합의가 또록 만들어 줄 거예요 그러면 어떻게 짝 지어 줘야 되죠 얘랑 얘랑 짝짓고 얘랑 얘랑 딱 지어주면 -2와 마이너스 3을 더해도 마이너스5고요 -1과 -4를 더해도 -5입니다 그래서 가운데 있는 부일 차식을 전개해주면 x 제곱 마이너스 5x+6이고요 맨 앞과 맨 뒤에 있는 식을 전개해주면 x 제곱 - 5X + 4입니다 뒤에 마이너스 3이 있고요 우리가 x제곱 마이너스 5x가 지금 공통으로 들어가 있어요 여기에 여기에 이렇게 공통 부분을 만들어서 우리는 공통 부분을 집안으로 마찬가지로 합니다 얘는 k라고 할게요 그러면 k+4 -3입니다 전개해주면 j의 제곱 플러스 10k + 24 -3이고요 j의 제곱 플러스 10k+ 21이에요 그래서 얘를 인수분해해주면 지금 21이 7 곱하기 3이고 7과 3을 더하면 12이기 때문에 요렇게 인수분해 주면 되겠네요 게이 플러스 7 k+3 자 그다음 우리가 k를 다시 원래 문자로 되돌려놔야죠 그래서 x 제곱 마이너스 5x를 대입을 다시 하면요 x 제곱 마이너스 5X + 7 x² - 5X + 3입니다 자 그러면 각각 2차식이라 인수분해가 또 될 수도 있는데 지금 여기 2차식들은 인수분해가 안 되는 이차식들이어서 여기까지 인수분해 주시면 됩니다 자 넘어갈게요 이번엔 보기 차식의 인수분해입니다 자 보기 차식이 뭔지 일단 알려 드려야 돼요 알려야 될 것 같은데 보기 차식이 뭐냐면 차수가 짝수인 항과 상수항으로만 이루어진 다항식이라고 적혀 있어요근데 우리가 풀 보기 차식은 이렇게 4차항 2차 상수항으로만 이루어진 식을 인수분해하는 방법을 배울 거예요

근데 우리가 보기 차식을 인수분해하는 방법은 두 가지 케이스가 있어요 첫 번째 케이스가 뭐냐면 우리가 x 제곱은 이렇게 대문자 x 새로운 문자로 치환을 했을 때 인수분해가 되는 애들이 있어요 치환을 하면 인수분해가 되는 애들이 있습니다 그러면 그대로 인수분해 해주면 돼요 그런데 두 번째 방법이 안 될 때라고 적혀 있죠 인수분해가 안 될 때 인수분해가 안 될 때는요 4차항과 상수항을 기준으로 우리는 완전 제곱식을 만들 거예요 완전 제곱식을 만들어서 주어진 시계의 형태가 이렇게 제곱 마이너스 제곱의공식으로 우리가 인수분해할 수 있는 형태가 되도록 만들어 줄 거예요 자 그러면 한번 직접 해 보도록 할게요 개념예 제한만 일본 보면요 우리가 일단은 x 제곱을 새로운 문자로 지원을 합니다 기부치환을 할게요 그러면 b^2 - [음악] 5t + 4로 변형이 되죠 요게 지금 x⁴이라는 거는 x 제곱의 제곱이니까 p의 제곱으로 이렇게 바꿀 수가 있습니다 그래서 d^2 - OT + 4구요 얘를 인수분해했을 때 d-1 b-4로 인수분해가 됩니다 그러면 b가 지금 x 제곱이니까 다시 원래대로 돌려 놓고요 x 제곱 마이너스 1 x 제곱 마이너스 4 x² - 1하고 x 제곱 마이너스 4가 각각 인수분해되죠 그러면 인수분해해 주면 됩니다x+1 x-1 x + 2x - 2 이렇게 인수분해가 돼요

자 1번 같은 경우는 우리가 치환을 했더니 자연스럽게 인수분해가 완료가 됐어요 근데 2번 한번 보도록 하겠습니다 자 2번도 마찬가지로 우리가 치환을 하고 시작을 할 거예요 x제곱을 j라고 시환을 하면요 k의 제곱 마이너스 7k +9예요 자 얘가 지금 인수분해가 되나요 여기서 더 이상 인수분해가 되지 않습니다 그래서 우리는 여기서 어떻게 해주냐 2차항과 상수항 즉 원래 사창이고 원래 상수항이었던 애들 가지고 우리는 완전 제곱식을 만들어 줄 거예요 그래서 식을 요렇게 변형을 할 겁니다 k의 제곱 플러스 9를 그냥 냅두고요 k² + 9가완전 제곱식이 되기 위한 1차항을 더해 줄 거예요 그 1차항은 뭐죠 바로 6t입니다 uk를 반으로 나누면 3키고요 3k에서이 계수 3의 제곱을 하면 9가 되죠 우리가 완전 제곱식이라는 것은 오른쪽 위에다 쓰겠습니다 x+a의 제곱을 했을 때 x² + 2ax+a^2이면 2ax를 반으로 나누고 계수 a를 제곱을 해주면 뒤에 상수항 A 제곱이 나오는 요런 식을 우리가 완전 제곱식이라고 해요 그래서 우리는 9를 거꾸로 돌리는 거예요 루트를 씌워서 3을 만들고요 2배에서 6을 하는 겁니다 자 그러면 우리가 6t2를 그냥 더해 줬으니까 다시 빼 줘야 돼요 다시 빼주고 원래 있던 -7k를 뒤에다가 달아 줄 거예요그러면 이렇게 되겠죠 이렇게 됩니다 자 그러면 앞부분은 k+3의 제곱이고 -6k - 7k는 -13k죠 자 그런데 문제가 있어요 우리가 k를 다시 x 제곱으로 돌렸을 때 x² + 3이 제곱 마이너스 14 X 제곱인데요 13x제곱이 x 제곱 마이너스 3+ x x 제곱 마이너스 3 -x 각각 내림차순으로 좀 정리를 해주면 x² + x - 3 x 제곱 - x - 3입니다 그러면 이렇게 썼을 때 지금 각각 2차식이 또 인수분해될 수도 있어요 인수분해 될 수도 있는데이 문제 같은 경우는 인수분해가 안 되고 여기서 인수분해가 끝난 겁니다

자 보기 차식 두 번째 유형이 조금 어려워요 두 번째 유형이 조금 어려운데 우리가 완전 제곱식을 어떻게 만들 수 있을지 고민을 하면서 어떤 항을 더해야 되는지 또는 어떤 항을 빼야 되는지 요거를 조금 고민하면서 연습을 해보시면 금방 할 수 있을 겁니다 자 넘어가도록 하겠습니다 자 이번엔 여러 개의 문자를 포함한 시계 인수분해요 자 여러 기 문자를 포함한 복잡한 식의 경우에는 다음과 같은 방법으로 인수분해 한다 그랬어요 자 여기 중요합니다 차수가 가장 낮은 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리하는 거예요차수가 가장 낮은 가장 낮은 한 문자에 대해서 내림차순으로 정리를 합니다 뭐 차수가 모두 같으면 그냥 어느 한 문자에 대해서만 내림차순으로 정리하면 되고요 자 그 다음에 우리 눈에 공통 인수가 보이면요 공통 인수가 보이면 공통 인수 묶어서 인수분해 하면 되고요 상수항이 길어요 그럼 상수항 가지고 상수한 끼리만 인수분해 따로 해주면 됩니다 2번에 적힌 내용은 공통 인수 무건 내고 상수항 인수분해 하는게 아니에요 우리가 차수가 가장 낮은 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리를 했을 때 공통 인수가 있으면 공통 인수 묶어내는 거고 상수항이 길면 상수항대로 인수분해 하는 거고 두 개가 그냥 각각 존재하면 그때그때 해주면 됩니다

자 한번 직접 해 보도록 할게요 자 다음 식을 인수분해 하라고 했고요 지금 일반식을 보면 x² + XY - 4x-2y + 4예요 우리가 배운 어떤 공식으로인수분해가 되지 않을 것 같아요 그래서 문자를 한번 쫙 봤더니 x는 이차항이 제일 높고요 y는 1차항이 제일 높습니다 그래서 우리는 y에 관해서 내림차순으로 정리를 하는 거예요 무슨 무슨 y 그리고 y가 안 들어가는 애들 이렇게 내림차순으로 정리를 해주면요 x y - 2y니까 x - 2의 y 그리고 x 제곱 - 4x+4 자 그랬더니 상수항 부분이 어떻게 돼 있어요 장수왕이 지금 우리가 인수분해할 수 있는 애예요 그러면 해주면 됩니다 x-2의 y + x - 2의 제곱 자 그럼 이제 어떻게 됐어요 우리가 x-2가 이번엔 공통으로 들어가 있죠 그래서 x-2로 묶어냅니다 여기는 앞에서는 y만 남고뒤에서는 x-2만 남습니다 그래서 우리가 요거를 조금 깔끔하게 x-2 X + Y - 2라고 쓰면 인수분해가 완료된 거예요 그러니까 우리가 이거를 낮은 차수에 문자로 내린 차선 정리하기만 하면 인수분해 할 수 있는 것들이 보여요 그래서 낮은 차수의 문자로 내림차순 정리하는게 제일 중요합니다 자 이번도 한번 해 볼게요 x랑 y라는 문자가 들어있고요 x도 2차 y도 2차죠 차수가 같네요 차수가 같으니까 우리는 아무 문자나 하나 고를 거예요 저는 x 제곱을 할 거고요 x²의 x에 관해서 내림차순으로 정리를 해주면요 가운데 있는 1차항은 3y + 1 상수항은 2y의 제곱 마이너스 2입니다 그러면 2y² -1을 좀 인수분해해 볼게요 x 제곱 플러스 3y + 1의x + 2로 묶었을 때 y 제곱 마이너스 1이고 x² + 3y + 1의 X + 2에 Y + 1 y - 1입니다 그러면 우리가 어떤 인수분의 공식을 활용할 거냐면 x² + a+b의 x+ab가 x+a의 x+b로 인수분해되는이 공식을 활용을 해 줄 거고요 여기가 합 여기가 곱이죠 그래서 지금 2의 y + 1의 y-1인데요 2를 여기다가 집어넣을 거예요 y + 1에 그러면이 y + 2고요 y - 1은 그대로 있습니다 그럼 이렇게 곱으로 표현됐는데 두 개를 더하면 어떻게 돼요 3y + 1이 되죠 이런 경우 우리는 요 공식을 활용해서 인수분해를 할 수가 있습니다 자 그래서하나는 x+2y + 2고요 하나는 x+y-1입니다 이렇게 하면 인수분해가 완료됐죠 다시 한번 강조드리지만 우리가 어떻게 한다고요 낮은 차수 문자로 낮은 차수 문자로 내림차순 정리합니다 내림차순 정리하면 우리 눈에 인수분할 수 있는 것들이 보여요 여기는 인수분해 할 수 있고요 여기도 인수분해할 수 있고 전체적으로 봤을 때도 여기 지금 이렇게 인수분이 되고요 그래서 우리가 낮은 차수의 문자로 내림차순 정리한다 요것만 조금 기억을 해 두시고 연습을 해보시기 바랍니다

자 마지막으로요 인수 정리를 활용한 인수분해입니다 자 인수 정리를 활용한 인수분해인데요 우리가 3차 이상의 다항식 3차 이상의 다항식 fx를 어떻게 인수분해하냐면 인수정리와 조립제법을 이용해서 다음과 같은 방법으로 인수분해한다고적혀 있어요 자 우리가 fx라는 다항식을 x-2로 나눴다고 해봅시다 그러면 x-2가 있고 몫이 qx가 있을 거고 나머지가 r이라고 있을 거예요 이렇게 쓰면 인수분해가 안 된 건데 만약에 나머지가 0이에요 만약에 나머지가 0이면 우리는 fx를 x-2에 주 x라고 쓸 수 있죠 자 이런 경우 우리가 x-2와 qx의 곱으로 표현됐기 때문에 인수분해가 된 겁니다 x-2라는 인수를 가지는 다항식으로 인수분해가 된 거예요 그래서 우리는 어떤 걸 찾을 거냐 나머지를 0으로 만드는이 x-2 우리가 이제 일반적으로는 x-2가 아니라 문자 x-a에서 a 값을 찾는게 되겠죠어떤 조립제법에다가 조립조법의 a를 넣었을 때 나머지가 0이 되는 바로이 a값들을 찾아 줄 거예요 그게 바로 x-a라는 인수로 바뀔 수 있으니까 자 그러면요 우리가 막연하게 여기 a의 아무거나 대입을 하는게 아니에요 입으라는게 아니고이 a의 후보들이 있어요 후보들 그 후보들이 뭐냐 fx에 최고차항 계수의 양의 약수분해 fx의 상수항의 양의 약수에 + -9 달아준게 a의 후보들입니다 얘네들이 다 되는 건 아니에요 근데이 중에는 있습니다이 중에만 있어요 그래서 우리는요 값들 중 뭘 찾는다고요 나머지가 0이 되는 나머지가 0이 되는 a 값을 찾아주는 거예요 자 그러면 제가 예제를 하나 한번 풀어보고 뒤에 문제를 풀어보도록 할게요 자 fx가 X3 제곱-6x제곱 + 2X + 3이라는 다항식이 있어요 그러면 우리가 조립제법을 통해서 1 - 6 + 2 + 3이구요 여기다가 어떤 숫자를 집어넣을 거예요 어떤 숫자를 집어넣을 거고 자 요거의 후보들이 있다 그랬어요 이거의 후보들은 뭐예요 최고차항 계수 1의 약수 1밖에 없죠 장수왕 3의 약수 1하고 3입니다 그러면 1분의 1 1분의 3 밖에 안 되네요 거기에 플러스 마이너스 플러스 마이너스입니다 그 중에 저는 1이라는 숫자를 한번 넣어 보도록 할게요 그러면 1 1 - 5 -5 -3 - 3 0이죠 자 그럼 나머지가 0이 됐으니까 우리는이 다항식을fx라는 다항식을 어떻게 쓸 수 있는 거예요 x-1의 몫 x² - 5x-3이라고 쓸 수 있는 겁니다 그럼 인수분해가 완료됐죠 우리는 이렇게 인수 정리 그리고 조립제법을 활용해서 인수분해를 할 수가 있습니다

자 마지막으로 개념 예제 프로 보도록 하겠습니다 다음 시 지금 x에 관한 3차 다항식을 인수분해 하라고 했고요 우리가 조립제법을 통해서 인수분해를 할 거예요 자 그 다음에 뭘 찾는다고요 나머지가 0이 되는 a 값을 찾을 거예요 여기에 대입하는 a 값을 찾아 줄 거예요 자 근데 요거의 후보들이 있다 그랬어요 후보들 자 최고차항 계수 2의 약수 뭐예요 1하고 2 상수항 2의 약수 1하고 2 그러면 후보들은 1분의 1분의 2분의 2분의 1 요렇게 있습니다그런데 2분의 2하고 1분의 1하고 똑같죠 얘랑 얘랑 똑같아서 얘는 하나 지우겠습니다 지우고요 세 숫자의 플러스 마이너스를 달아주면 얘네들이 후보들이에요 자 저는 어떤 숫자를 대입할 거냐면요 2를 대입하겠습니다 2 3 3 -2 - 자 그러면 우리가 여기까지 다항식을 쓰면요 x-1에 2x 제곱 플러스 3x-2인데요 만약에 여기서 조립제법을 또 갈 수 있으면 가면 됩니다 자 -1을 대입하면요 2의 마이너스 4의 마이너스 1의 2다 0이 되죠 우리가 요거는 요거는 지금 몫을 요렇게 쪼개준 거죠 x+2의 2x - 1이라고 우리가 지금 몫을 가지고 조립제법을 써준 거기 때문에 나머지는 0이고몫은 2x -1 그리고 얘는 x + 2 그래서 몫이 이렇게 바뀌는 겁니다 그래서 전체적으로 우리가 원래 3차 다항식이 어떻게 인수분해되는 거예요 x - 1에 x + 2의 2x - 1로 인수분해가 되는 겁니다

자 여기까지 해서요 우리가네 가지 유형에 대해서 인수분해하는 방법을 배워 봤구요 우리가 인수분해 단어는 학생들이 많이 어려워 하니까 문제를 많이 풀면서 복습을 꼭 꼼꼼하게 해보시길 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지고요 고생하셨습니다 감사합니다 [음악]