[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 허수

자 우리가 오늘 학습할 내용은 허수입니다 허술을 처음 배우는 날이죠 그래서 허수가 뭔지 허수의 어떤 성질이 있는지 간단하게 학습을 할 겁니다 자 그러면 일단 허수가 뭔지 알아야겠습니다

우리가 지금까지 배웠던 수들은 모두 실수입니다 실수 범위에서는 x 제곱을 루트 3이라고 했을까 x제곱을 3이라고 했을 때 3이라고 했을 때 요거를 만족하는 x 값을 우리가 뭐라고 해요 플러스 마이너스 루트 3이라고 하죠 이렇게 두 개가 있는 거예요 그런데 가끔 제곱을 풀다 보면 안 풀리는 것들이 있습니다 예를 들어 어떤 것들이 있어요 x 제곱은 -4죠 x제곱은 -3 x 제곱은 -1처럼어떤 걸 제곱해서 음수가 되는 수는 풀지를 못합니다 왜냐하면 x제곱이라는 거는 똑같은 걸 두 번 곱했다는 의미인데 똑같은 걸 두 번 곱했다는 의미인데 곱해서 음수가 될 수가 있을까요 자 얘가 만약 양수면 얘도 양수입니다 양수와 양수를 곱해서 양수가 나오고요 설령 음수를 두 번 곱한다고 해도 음수 곱하기 음수는 양수기 때문에 우리가 제곱해서 음수가 되는 수는 존재하지가 않아요 존재하지 않는데 우리가 이거를 한번 숫자로 나타내보자 따로 나타내 보자 해서 도입을 하는게 바로 허수입니다 제곱해서 음수가 되는 수들을 우리가 허수라고 할 거예요 자 그러면 어떻게 표현을 해 줄 거냐면 x는 지금 플러스 마이너스 루트 -4죠 여기서 x는 플러스 마이너스 루트 -3입니다 여기서 x는 플러스 마이너스 루트-1이에요 그런데 우리가 이거를 좀 표시를 해주기 위해서 루트 마이너스 1이라는 것을 그러면요 얘는 플러스 마이너스 i 고요 얘는 플러스 마이너스 루트 3 곱하기 루트 - 1과 같으니까 + - 루트 3 i가 되고요 얘는 플러스 마이너스 루트 4 곱하기 루트 -1이니까 플러스 마이너스 2 아 2로 쓸 수 있는 겁니다 그래서 이렇게 i를 가지고 허수들을 표현하기 때문에이 i라는 애를 우리가 뭐라고 할 거냐면 허수 단위라고 할 거예요 버스 단위를 i라고 하는 겁니다 그리고 얘네들이 이제 허수들이 되는 거겠죠 자 요게 허수의 정의입니다 정의 실제로는 존재하지 않는 수예요 제곱해서 음수가 되는 수는 없으니까 그래서 이름이 허수인 겁니다

자 아이의 거듭제곱을 제가 설명드리기 이전에 일단 음수의 제곱근에 대해서 먼저 설명을 드릴게요 제가 방금까지 했던 내용과 상당히 겹치는 부분이고요 루트 마이너스 a는 루트 ai로 바꿀 수가 있죠 자 아까 이렇게 종이를 해놨습니다 이렇게 요거는 요거고요 요거는 요거라고 했습니다 모든 걸 아이를 이용해서 표현을 해 줄 거예요 -a의 제곱근이래요 요게 무슨 말이에요 어떤 숫자를 제곱해서 -a가 되는 수를 말하는 거잖아요 그럼 뭐예요 x는 플러스 마이너스 루트 - a 얘는 플러스 마이너스 루트 ai죠 자 그래서 어떤 -a 음수의 제곱근은 플러스 마이너스 루트 ai로 표현이 되는 겁니다

자 그러면 이번에 i의 성질을 알아볼 건데 i의 성질 중에 어떤게 있냐면요 이거듭제곱을 했을 때 되게 특이한 값을 보여주게 됩니다 i는 i고요 i를 만약에 제곱을 하면요 i를 두 번 곱한 거죠 i를 두 번 곱하면 어떻게 될까요 루트 마이너스 1 곱하기 루트 -1입니다 그러면 루트 - 1에 제곱이잖아요 그럼 얘가 뭐인 거예요 -1이 되는 거예요 i를 제곱했을 땐 -1이 됩니다 애초에 i의 정의 자체가 -1이 제곱해서 -1이 되는 수니까 i를 제곱하면 -1이 되는 거예요 그럼 i³은 어떻게 될까요 i 세제곱은 i 제곱에다가 i를 곱해준 거죠 근데 우리 I 제곱은 아까 방금 전에 -1이라고 계산을 했어요 그리고 여기 아이가 그대로 있네요 그럼 뭐예요 -i죠 i네 제곱은요 I 제곱의 제곱이죠 근데 I 제곱이 지금 -1이잖아요 그럼 -1을 제곱하면 1이 되겠네 한 번 더 해 봅시다 i 다섯 제곱은요I 4제곱 곱하기 i죠 그럼 어떻게 돼요 아이네 제곱 1이니까 i가 돼 버리는 겁니다 자 뭐가 지금 됐어요 i에서 출발을 했는데 -1이 되고 -i가 되고 1이 됐어요 그랬더니 다시 i로 돌아온 겁니다 아이를 거듭제곱하면 거듭제곱 할수록 i와 -1과 -i와 1이 반복이 되는 겁니다 그 다음은 뭐겠어요 - 그다음 -i 그다음 1 이렇게 4개가 세트로 묶여서 계속 반복되는 거예요

그래서 우리는 이거를 어떻게 표현을 할 수 있냐면 아이의 4인 플러스 1 제곱이 i라고 했어요 4인 + 1이란 건 뭐예요 4로 나눴을 때 나머지가 1인 숫자를 말하는 거죠 그래서 즉 1제곱 5제곱 9제곱 13제곱 이런 애들을 말하는 겁니다 그런 애들이 바로 i와 값이 같은 거죠 만약에 나머지가 2예요 나머지가 2면 어떻게 됐어요 -1이 되죠 3이 남으면-i가 되고요 4가 남으면 1이 되죠 사관 없는 건 4로 나누어 떨어지기도 하는 거죠 그래서 어려운 값들이 반복이 되어 반복이 되고 요런 성질도 하나 볼 수 있어요 숫자가 지금 I -1 -i 1 이렇게 네 개가 반복이 되는데 요거 4개를 더하면요 4개를 더하면 어떻게 돼요 0이 되죠 그래서 만약에문제에서 i의 101제곱까지 더하라 그랬어요 그럼 뭐가 되는 거예요 그냥 0에다가 i의 백일제곱을 더한 거랑 같은 거예요 근데 아이의 백일 제곱은 뭐랑 같아요 4로 나눴을 때 나머지가 1이니까 아 2일 제곱하고 같은 겁니다 그냥 아이만 남게 되는 것이죠 이런 반복적인 성질을 가지고 있습니다 자 여기가 아이의 거듭제곱까지의 설명이고요

우리가 이제 음수의 제곱근의 성질을 학습할 건데 자 만약에 루트 -3과 루트 -5를 곱하라 그랬어요 그럼 얘는 우리가 원래 배웠던 듯이 마이너스 3 곱하기 마이너스 5니까 루트 15라고 쓰면 될까요 요게 안 됩니다 왜냐하면 우리가 이렇게 루트와 루트의 곱을 요렇게 합칠 수 있는 건요 루트 안에 있는 수가 양수일 때만 성립하는 겁니다 근데 우리가 지금 루트 안에 음수가들어가 있잖아요 그래서 우리가 이거를 계산할 때는요 어떻게 계산을 해 줘야 되냐면 루트 마이너스 3은 루트 3 i로 바꿔주고요 루트 마이너스 5는 루트 5i로 바꿔줍니다 그럼 어떻게 되는 거예요 루트 15i의 제곱이 되는 거예요 i^2은 뭐였죠 -1이었죠 그거에 관한 내용이 현재 어디에 적혀 있는 거냐면 요거에서 지금 설명하고 있는 겁니다 a랑 b가 모두 음수면 a랑 b가 모두 음수면 루트 2 곱하기 루트 b를 했을 때 - 루트 ab다라고 설명하고 있는 부분이에요 자 두 번째 볼게요 a가 양수고 b가 음수면 요렇게 된답니다

제가 이해하기 쉽게 숫자로 해볼게요 루트 - 3분의 루트 5예요 자 지금 1번하고 2번이 다른 점이 뭐냐면 1번은 둘 다 음수였는데요 2번에서는 분모만 함수에요 자 그래서 제가 루트 -3만 분모의 음수를 넣어준 겁니다 그럼요 제가 요거를 요렇게 빼 줘야 된다 그랬죠 그러면 루트 3분의 5는 그대로 있고요 지금 i분의 1이 있습니다 자 얘는 어떻게 주냐 우리가 분모의 실수하라 그래서 분모분자의 i를 곱해줍니다 유리화랑 조금 비슷하죠 그러면 루트 3분의 5 곱하기 분모는 I 제곱이란 -1이고요 여기는 i네요 그럼 어떻게 되는 거예요 - 루트 3분의 5i가 되는 겁니다 그런데 i는 뭐예요 - 루트 3분의 5i죠 마이너스 루트 - 3분의 오죠 요렇게 i를 다시 루트 안으로 집어넣으면 이렇게 되는 겁니다 그러면 우리가 요거를 봤을 때 얘가 뭐랑 같은 거예요 - 하나 넣고 그냥 루트 - 3분의 5가 되는 겁니다 요거를 그냥 합쳐주고 마이너스 하나달아준 거랑 같아지는 거예요 그래서 요런 성질이 있다 그러면 이제 궁금한게 하나 생길 거예요 둘 다 음수면 어떡하냐 분모도 음수고 분자도 음수면 어떻게 되냐 왜 여기는 분자가 양수인 거예요라고 물어보는 학생이 분명히 있을 거예요 자 한번 분자분모 다 음수라고 해볼게요 루트 - 3분의 루트 - 5면요 분모는 루트 3i죠 분자는 루트 5화입니다 그럼 이때 어떻게 되는 거예요 아이랑 아이가 약분됩니다 그러면 그냥 뭐랑 같은 거예요 루트 3분의 5랑 같아지는 거죠 그럼 이런 경우엔 그냥 루트 마이너스 3의 루트 -5가 있는데 루트를 합쳐서 루트 - 3분의 -5라고 해도 어차피 같은 결론이 나온다는 겁니다 그래서 우리는 분모가 음수고 분자가 양수인 경우만 따로 메모를 해준 거예요 여기까지 되셨나요

자 3번 4번 보겠습니다 3번에서 노트8 루트비가 - 루트의1이면 둘 다 음수이거나 a가 음수이거나 b가 음수라 그랬어요 아까 우리가 요거면 요거인걸 보여줬죠 근데 그 역도 성립한다는 겁니다 거꾸로 가도 성립한다는 내용이고요 거꾸로 갈 때 a가 0이면 어차피 얘도 0이고 얘도 0이죠 b도 마찬가지예요 그래서 요것만 있는 아니라 얘도 있고 얘도 있다 여기 4번도 마찬가지입니다 루트 미분의 루트에 있는 - 루트 b분의 a면 분다는 양수고 음모는 음수고 그거이거나 a는 0이고 b는 0이 아니다라고 되어 있네요 여기 b는 0이 아닌 이유 뭐겠어요 분모니까요 우리가 또 분모의 영을 넣을 순 없으니까 그래서 이렇게 조건이 되는 거예요 자 그러면 개념 예제 풀어보도록 하겠습니다 여기 보시면 지금 루트 x-2가 루트 - y-1이랑 곱했더니 -가 앞으로 튀어나왔어요 그러면 이건 아까 어떤 거라 그랬어요 x-2도 음수여야 되고y-2도 음수여야 이렇게 바뀐다 그랬어요 그러면 여기서 x는 2보다 작다는 거 알아낼 수 있고 y도 2보다 작다는 거 알아낼 수 있습니다 이번엔 여기 보겠습니다 이번에는 분수네요 분모에는 루트 y +2가 있고 분자에는 루트 x+2가 있네요 그러면 이럴 때는 조건이 어떻게 된다 그랬어요 분모 y + 2는 음수고 분자 x+2는 양수라 그랬습니다 분자가 양수인 거 주의해야 돼요 그러면 y는 -2보다 작고요 x는 -2보다 큽니다 그러면 이렇게 되어 있을 때 우리가 이걸 한번 비교해 봅시다 x가 2보다 작고 x가 -2보다는 커야 돼요 그러면 우리서 우리가 여기서 알 수 있는 x값의 범인 어디부터 어디까지예요 -2부터 2까지인 겁니다 자 y 값도 마찬가지로 2보다 작은데 -2보다 더 작아야 돼요 공통 범위는 뭐예요 -2보다 작아야 되는게 공통범위입니다 그러면 y는 -2보다 작다라고 써주면 되겠죠 자 그러면요 지금 절댓값이 이렇게 있는데요 얘는 루트의 제곱이네요 우린 루트랑 제곱을 풀 때는 지워줄 수 있는데 절대값이 남아야 되죠 루트는 항상 양수로 풀려야 되니까요 그러면 우리가 지금 절대값 x-4 + 절대값 y +2 절댓값 y + 1을 계산해 주면 되고요 절대값 x-4는이 범위에서 음수죠이 범위에서 음수입니다 y +2도 음수네요 y + 1도 음수입니다 따라서 모두 마이너스 9를 달고 나오기 때문에 - x - 4 - Y + 2 - y + 1입니다 따라서 -x + 4 - Y - 2 - y -1이고요 정리해주면 -x - 2y + 1입니다

우리가 오늘 허술을 처음 배워 봤는데요 허수에 관한 개념을 가지고 다음 시간에 복소수에 관해서 또 개념을 나가기 때문에 꼭 복습하시고 내용 숙지 하시기 바랍니다 감사합니다 [음악]