[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 복소수

자 우리가 오늘 배울 내용은 복소수입니다 복소수인데 우리가 지난 시간까지 뭘 배웠죠 허술을 배웠어요 허술을 배웠는데 허수를 배우기 전에 우리가 배웠던 모든 수들을 실수라고 합니다

그래서 제가 실수를 a라고 한번 써 볼게요 실수로 표현할 수 있는 수를 a라고 쓰겠습니다 자 그럼 지난 시간에 허술을 배웠다고 했죠 그래서 허술을 쓸 거예요 자 그러면 허술을 표현하는 것 중에는 요렇게 표현할 수 있는게 있어요 어떤 실수 b와 허수단이 i를 곱해서 bi라고 쓰는 애들을 허수중에서도 우리는 뭐라고 말하냐면 순 호수라고 합니다 순 허수 자 그런데 허수 안에는 숨 허수만 있는게 아니에요 바로순허수가 아닌 말 그대로 순원수가 아닌 허술하고 표현되는 애들도 있습니다 얘네는 어떻게 생겼냐 실수a와 순화수 bi를 더한 a+bi라고 생긴 애들을 순허수가 아닌 허수라고 합니다 그러면 우리가 지금까지 배웠던이 실수와 허술을 모두 합해서 우리는 앞으로 복소수라고 할 거예요 복소수라고 할 거고 기본 표현 방식은 a+bi입니다 여기서 a와 b는 모두 실수고요 a가 담당하고 있는 역할은 실수 부분을 담당하고 있어서 우리는 실수 부분이라고 할 거고요 b가 없으면 허수가 사라지겠죠 그래서 b를 허수 부분이라고 합니다 그래서 각 명칭을 스위스 부분 허수 부분이라고 할 거예요 그러면이 복소수 a+bi가 실수 a가 되려면 어떤 조건이 필요한 거예요 허수 부분이 없어져야 되니까 b가 0인 거예요 그럼 순화수가 되려면요 실수 부분이 사라져야겠죠 그래서 a는 0이 돼요 자 그런데 만약 b가 0이면요 0이 돼 버리죠 그냥 0이 되버리니까 실수가 되어 버려요 그래서 우리는 b는 0이면 안 된다라는 조건을 하나 추가해줍니다 순허수가 아닌 허수가 되기 위해서는요 a노형이면 안 되고 b도 0이면 안 되겠죠

자 다음으로 넘어가 보도록 할게요 우리가 중학교 과정에서 이런 내용을 배운 적이 있어요 어떤 1+2√3이라는 무리수랑 x+y√3이랑 같대요 그러면 우리 이거를 어떻게 해석할 수 있어요 x는 1이고 y는 2다요 부분하고요 부분이 같아야 되고요 부분하고이 부분이 같아야 되기 때문에 요거여야 된다라고 했던 거를 기억하실 거예요 근데 여기엔 굉장히 중요한 조건이 하나가 붙어요 바로x y는 유리수라는 조건이 붙습니다 이런 조건이 붙어야만 유리수인 부분은 유리수인 부분끼리 같은 거고요 무리수인 부분은 무리수인 부분끼리 같아서 얘가 되는 겁니다 설령 2조건이 만약에 없다면요 우리는 요런 해도 가질 수 있는 거예요 x는 2루트 3이고 y는 루트 3분의 1도 지금요 식을 만족을 하죠 그래서 x y가 유리수라는 조건이 붙을 때만 얘가 성립하는 거였어요 자 그럼 우리가 오늘 배운 복소수에서도 마찬가지입니다 어떤 a+bi가 2+3i랑 같대요 그러면 우리는 만약 이런 조건도 불터 있다면 axy가 아니죠 a와 b가 a와 b가 실수라는 조건이 만약에 붙어 있다면 자연스럽게실수 부분을 실수 부분끼리 같아야 되고 허수 부분은 허수분끼리 같아야 된다 이런 결론을 낼 수가 있는 겁니다 마찬가지로요 어떤 a+bi가 0이랑 같다 그랬어요 근데 여기도 ab가 실수라 그랬네요 a b가 실수라 그랬으면 a는 0이고 b는 0이다라는 결론도 내야 되는 겁니다

자 그럼 다음으로 넘어가서요 우리가 개념 예제 한번 풀어 볼게요 지금 등식 x+xi 플러스 y-y는 2 + 4이라고 돼 있네요 그리고 실수 x y래요 그럼 우리는 실수 부분은 실수 부분끼리 같고 허수 부분은 허수 부분끼리 같다고 놓을 겁니다 그러면 실수 부분인 x랑 y끼리 묶어주고 허수 부분인 xi 와 - y는 i로 묶어 줄 거예요 플러스 허수 부분은 허수 부분끼리 먹는 거죠 여기는 x-y입니다 얘가 지금 뭐랑 같다 그랬어요 이 플러스 4i랑 같다 그랬죠 그럼 어떻게 되는 거예요 x+y는 2고 x-y는 4인 겁니다 두 개 연립을 해주면 되겠죠 얘를 1번이라 그러고 2번이라 하면 1번 10과 2번식을 더하면 2x는 6이라고 나오고요 x는 3입니다 따라서 y 값도 대입해서 계산해주면 y가 -1이라는 결론도 얻을 수 있겠네요 자 실수 부분은 실수 부분끼리 비교하는 거고 허수 부분은 허수 부분끼리 비교하는 겁니다 실수 부분끼리 묶어줘야겠고요 허수 부분끼리 묶어주면식이 각각 나오는 거예요

자 다음으로 넘어가세요 우리가 이번엔 철래 복소수인데요 순례 복소수가 뭐냐 우리 어떤 복소수 a+bi에 대하여 허수 부분에 부호를 바꾼 허수부분의 부호를 바꾼 복소수를 켤레 복소수라고 해요 그러면어떤 복소수 a+bi가 있는데 허수 부분이 bi죠 그럼 부호로 바꾸면 뭐가 되는 거예요 a-bi가 되는 겁니다 그래서 우린이 켤레 복소수의 기호로 어떤 걸 쓰냐면 바로 위에 작대기를 하나 갔습니다 여기 보시면 딱 뜨기를 하나 그어 놨죠 이 작대기를 뭐라고 읽냐 마라고 있습니다 바 이렇게 마라고 있고요 a+bi는 a - bi다라고 하시면 되는 거예요 만약에 어떤 복소수 z의 복소수 z의 켤레 복소수를 구하라 그랬으면 Z 바라고 읽으면 되겠죠 자 근데 어떤 복소수 우리 2번 볼게요 어떤 복소수 z를 a+bi라고 할게요 그랬을 때이 복소수 z가 실수래요 실수라는 말은 무슨 말이에요 허수 부분이 없다는 소리죠 즉 b가 0이라는 소리입니다 그러면 그냥 z는 뭐가 되는 거예요 a가 되는 거죠 그럼 Z 반은 뭐예요허수 부분에 볼을 바꿔야 되는데 저 허수 부분이 없잖아요 그러면 그냥 a예요 a 그러면 결론이 뭐예요 어 z가 실수면 z나 Z 바나 똑같네네 이런 결론은 낼 수 있는 겁니다

자 이번엔 제트가 순 허수라 그랬어요 제때가 순허수면요 실수 부분이 없는 거죠 실수 부분이 없는 거니까 어떤 결론이 되는 거예요 a가 0인 거죠 a가 0 a가 0이니까 우리 z는 그냥 bi입니다 z는 bi구요 Z 반은 뭐예요 부호를 바꾼 거죠 허수 부분에 부호를 바꾼 건데 실수 부분이 없으니까 그냥 -bi가 되는 거예요 그럼 이때 무슨 관계가 되는 거예요 제트는 - Z 바다 부를 마이너스로 붙여주기만 하면 된다 이런 결론 낼 수 있는 겁니다 자 마지막으로 허수의 대소입니다 우리가 허수라는 거는 애초에 존재하지 않는 수예요 존재하지 않는 수기 때문에 수직선 위에 표현을 할 수가 없고요 수직선위에 표현할 수 없기 때문에 실수와 허수간의 관계에서 대소비교할 수 없고요 허수아 허스끼리도 대조관계를 비교할 수 없습니다 즉 허수는 어떤 대소관계를 갖지 않는 수인 거예요

자 그래서 우리 오늘 여기까지 해서 허수에이어서 복소수까지 학습을 했고요 우리가 복소수 내용이 지금 뒤에도 계속 이어지고 있어요 다음 시간에 복소수의 연산을 할 텐데 복소수의 연산 단원을 또 이해하려면 당연히 복소수에 대해서도 잘 알아야겠죠 자 오늘 수업은 여기까지 마치도록 하겠습니다 감사합니다