[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 복소수의 연산

자 오늘 학습할 단어는 복소수의 연산인데요 우리가 어떻게 복소수를 계산하는지 배워 볼 겁니다. 일단은 복소수의 사칙연산인데 한번 교재 내용을 읽어 볼게요

복소수의 덧셈과 뺄셈은 포수단이 아이를 문자처럼 생각합니다. 어떤 문자처럼 생각하고 실수 부분은 실수 부분이 허수 부분은 허수부분끼리 계산을 해줘요. 포인트가 핵심입니다. 실수 부분은 실수 부분끼리 허수 부분은 허수 부분끼리 계산하는 게 우리가 기본적인 연산 방법이에요 자 그럼 덧셈하고 뺄셈을 한번 볼게요 a+bi와 c+di를 더하면요 실수 부분 a와 실수 부분 c를 더해주고 a + c가 되겠죠. 허수부분 bi와 허수부분 di를 더해서 b+d의 i라고 적어줍니다

자 뺄셈은요 a+bi-c+di인데 실수 부분 a에서 c를 빼주면 되고 bi - di니까 b-d의 i라고 적어주면 됩니다. 자 곱셈은 제가 한번 직접 전개를 해 볼 건데 a+bi의 a+bi의 c+di예요 c+di 그러면 전개를 쭉 해 볼게요 AC + BCI 플러스 ADI 플러스 BDI 제곱입니다. 그런데 우리가 서술을 정의할 때 I 제곱은 뭐라 그랬어요 -1이라고 했죠. 그래서 BDI 제곱이 뭐가 되는 거예요 - BB가 됩니다. 따라서 얘를 실수 부분끼리 묶어주면 ac-b이고요 아이가 있는 허수 부분끼리 묶어두면 ad+BC입니다 ad+BC의 I 이렇게 정리가 돼요. 요거를 공식처럼 외우는 건 아니고요 우리가 그때그때 전개해서 허수 부분은 허 수분끼리 묶어주고 세수 부분은 실수 부분끼리 묶어주시면 되고 하나 더 I 제곱은 -1로 계산한다는 점 요거만 바꿔 주시면 됩니다. 나눗셈 같은 경우는요 우리가 c+di 분의 a+bi를 예시로 들고 있는데 분모의 실수화라는 것을 해줍니다. 우리가 분모의 유리화와 비슷한데요 c+di 분의 a+bi의 분모 분자에다가 분모의 전례복 소수를 곱해줘요. c-di라는 c-di라는 켤레의 복소수를 곱해주면 분모는 c 제곱 플러스 b^2의 되고요 분자는 우리 곱셈에서 배운 방법대로 전개를 해주면 ac+BCI -ADI - BDI 제곱인데 I 제곱이 -1이죠. 얘가 -1이랑 여기에 있는 -bi 제곱이었던 게 플러스 bd가 됩니다. 그래서 실수 부분끼리 묶어주면 AC + bd고요 분모는 c^2 + d^2이죠. 분모도 쪼개줄 거예요 c 제곱 플러스 D 제곱 분의 허수 부분은 BC-a입니다. 요거에 I 요게 우리가 나눗셈해서 나노 샘했을 때 분모를 실수화하면 계산이 이렇게 된다는 걸 제가 보여 드렸습니다. 우리가 요거는 마찬가지로 공식처럼 외우는 건 아니고요 우리가 그때그때 분모의 실수화를 통해서 나눗셈을 계산해주면 됩니다

자 다음으로 넘어가세요. 우리가 사칙연산에 대한 성질인데요 우리가 결국 실수 부분끼리 그리고 허수 부분끼리 계산하기 때문에 실수를 연산할 때와 똑같이 교환법칙 결합법칙 분배법칙 모두 성립하게 됩니다. 그래서 제 도원 플러스 z2를 계산하나 Z2 플러스 z1을 계산하나 똑같고요 제트 원 곱하기 Z2 * z1도 똑같습니다. 결합법칙은 앞에서부터 z1+z2를 계산하나 뒤에 있는 Z2 플러스 z3를 먼저 계산하고 z1을 더해주나 똑같다는 내용이고 곱셈에서도 마찬가지로 z1 z2를 곱하고 z3를 곱하나 Z2 z3를 곱한 다음에 z1을 곱하나 똑같다는 내용입니다. 분배법칙도 우리가 성립하는데요 z1을 이렇게 분배를 해주면 요런 식이 나오겠죠. 뒤에서 분배해서도 문제없습니다 z1 Z3 플러스 Z2 Z3 자실 수와 마찬가지로 0으로 나누는 건 당연히 안 되겠죠 0이 분모일 수는 없습니다. 자 다음으로 넘어가세요. 우리 지금 개념 예제 볼 건데 2+i에 4-3i를 간단히 하라고 했네요. 한번 전개해서 계산을 해보겠습니다. 자 요거 지금 i를 문자라고 생각하면 하나둘 셋네 번 전개하는 거예요 그 순서대로 계산을 해주면 8 - 6i 플러스 4i - 3 i의 제곱이죠. 그러면 I 제곱이 뭐예요 I 제곱이 마이너스 1이니까 다른 거는 그대로고 부호만 바꿔주면 되겠네요 그러면 가장 중요한 건 실수 부분은 실수 부분끼리 그러면 8+3이니까 11이고요 허수 부분은 허수 부분끼리 계산하니까 저거는 -2i가 됩니다. 어렵지 않죠

자 이번엔 나눗셈입니다. 이 플러스 아이분의 3 + 4인데요 우리가 이렇게 분모의 아이가 즉 허수가 들어 있을 때는 어떤 일을 해준다 그랬어요. 분모의 실수화를 해준다 그랬어요. 분모의 실수화를 하기 위해서 뭐가 필요하다 그랬죠. 분모의 켤레 복소수를 분모 분자에 곱해준다 그랬어요 그럼 곱해봅시다. 여기다가 켤레 복소수 뭐를 곱해줘야 해요 2 - i를 곱해줘야 하죠 그럼 분자에도 2 - i를 곱해줘야 합니다 그럼 분모는요 2+i에 2-i는 2의 제곱인 4에다가 -i의 제곱이고요 분자는 3+4i 곱하기 2 - i입니다. 자 분모는 어떻게 돼요. I 제곱이 지금 -1이죠. 근데 4 - i니까 4 + 1이라 5가 되는 겁니다. 분자는요 쭉 전개를 해주면 6 - 3i + 8i - 4 I 제곱이고요 2 - 4 I 제곱이 I 제곱에다 -1을 대입하면 + 4가 됩니다. 그러면 또 여기서 어떻게 해요 실수 부분은 실수 부분끼리 허수 부분은 허수 부분끼리 계산을 해주면 됩니다. 그러면 분모는 5가 그대로 가고요 분자임은 10 플러스 y가 되네요. 오 그러면 약분이 되네요 2+i로 약분을 해주면 되겠죠. 나눗셈도 계산이 조금 더 길 뿐이지 어렵지 않습니다

자 우리 마지막으로 전래복소수의 성질에 대해 배울 건데요 전래 복소수의 성질이 지금 뭐냐 면이 z라는 복소수에 대해서 z의 켤레 복소수를 우리가 Z 바라고 하잖아요. 이거를 덧셈과 뺄셈 곱셈 나눗셈에 적용을 시켰을 때 어떻게 되냐 보자 이겁니다 자 처음 다시 켤레를 구합니다. 그러면 어떻게 되겠어요 원래 a+bi였는데요 Z 발을 구한 면이 a+bi가 a-bi로 바뀌죠. 근데 거기다 발을 한 번 더 씌웠어요. 켤레를 한 번 더 구한 거죠. 그러면 허수 부분에 부호가 한번 또 바뀌는 겁니다. 그럼 어떻게 돼요. a+bi가 돼요 그럼 어떻게 된 거예요 원래 자리로 돌아왔죠. 그래서 바에 많은 처음 복소수 z랑 같다는 게 1번입니다. 자 2번 볼게요 z + z 바를 더하면 실수가 된대요 요거 왜 그래요 허수 부분에 부호만 바뀐 거죠. 전래 복소수는 그러면 a+bi고 요거의 켤레 복소수는 a - bi니까 두 개를 더하면 요게 사라지고 실수 중에서도 정확히 2a가 되겠네요. 여기까지 됐나요 자 그럼 뒤엣것도 한번 볼게요 z와 z1의 곱은 실수라 그랬어요 그러면 얘는 지금 a+bi고 a - bi로 곱한 거죠. 그럼 얘는 뭐예요 합차 공식이잖아요 앞에 거 제곱해주고 뒤에 더 제곱해줍니다. 그러면 a의 제곱 마이너스 b²의 i 제곱이란 마이너스 1이 되죠 그러면 여기 플러스 때에서 뭐만 남는 거예요 a 제곱 플러스 B 제곱이 됩니다. 자 그럼 저는 여기서 요거를 조금 언급을 드리고 싶어요. a+bi라는 복소수와 이거의 켤레 복소수인 a - bi를 곱했을 때는 얘가 전개가 어떻게 되냐면 a² + B 제곱이 되잖아요 실수 부분의 제곱과 허수 부분 제곱의 합이에요 근데 요게 우리가 복소수 단원을 풀면서 정말 많이 나옵니다. 왜 많이 나올까요? 우리 지금 분수의 나눗셈 분모의 실수화를 해줄 때도요 공식이 들어가고요 여기에도 지금 들어왔죠. 요게 지금 요렇게 바뀌었어요. 여기에서도 나오고 계산해서 정말 흔하게 등장을 해줘요. 그래서 허수 부분에 부호가 바뀐즉슨 원래 복소수와 전래 복소수를 곱한 건 제곱과 제곱의 합이라고 요거는 그냥 조금 즉각적으로 계산을 해주셨으면 좋겠습니다

자 쭉 넘어가서요 이번에 3번 볼게요 제트 바와 제트 원이 같으면 z1은 실수라 그랬네요. 자 z1의 켤레 복수 수는 AMS bi예요 근데 얘랑 a+bi랑 같대요 그러면 뭐예요 얘가 어차피 이항하면 없어지고 BEI는 0이니까 b가 0이라는 결론 얻어낼 수 있죠. 그럼 b가 0이면 뭐예요 z1 한 거 자체가 그냥 a니까 bi가 사라지니까 실수가 되는 겁니다. 자 마찬가지로 4번도 한번 해보면요 지금 z1은 z1 반은 마이너스 z1이라 그랬네요 그러면 켤레 복소수는 a - bi고 - z1은 -a-bi죠 그러면 요렇게 요렇게 사라지고 2a는 0이니까 a가 0이네요 그럼 z는 그냥 bi라는 주나 수가 되는 거죠. 그런데 요게 될 수도 있고요 그냥 b가 0이어서 z는 0이라는 실수가 될 수도 있는 겁니다. 이렇게 두 가지 두 가지가 되겠죠 b가 0일 땐 z가 0 b가 0이 아닐 때 bi라는 순허수 이렇게 보시면 되겠습니다. 자 5번하고 6번이 조금 중요한데요 제트 원 플러스 z2의 켤레 복소수는요 각각의 켤레 복수 술을 더한 것과도 같습니다

자 예시를 한번 들어볼게요 z1을 제가 2+i라고 할 거고요 z2를요 5+2i라고 할게요 그러면 z1 + z2는요 7+3i죠 근데 만약 여기다가 켤레 복 수술을 구하기 위해 발을 씌웠어요 그러면 어떻게 되는 거예요 7 - 3i죠 그러면 얘가 한번 같은지 봅시다. z1은요 z1 반은 2 -i죠 Z2 반은 5-2i죠 그럼 두 개를 더해요 그러면 z1 바 플러스 Z2 반은 7 - 3i가 되네요 그럼 어떻게 됐어요 똑같죠. 얘랑 자 이게 왜 성립하냐면 우리가 애초에 계산할 때 실수 부분은 실수 부분끼리 계산하고요 허수 부분은 허수 부분끼리 계산합니다 그렇기 때문에 얘를 합쳐서 켤레를 구하나 각각의 켤레를 구해서 합을 하나 어차피 허수 부분에 부호가 바뀌는 건 똑같기 때문에 허수 부분에 부호만 바뀌는 것도 같기 때문에 상관이 없는 겁니다. 자 근데 우리가 요거를요 공식을 쓸 때 요렇게 된 게 이렇게 갈 수 있고요 떨어져 있던 게 다시 원래대로 붙을 수도 있는 겁니다. 양방향으로 활용을 해 주셔야 해요 자 차도 마찬가지고요 차도 한번 본인이 직접 노트에 쓰면서 되는지 한번 봐주시면 좋겠습니다

자 곱까지 하고 마칠 건데요 z1과 Z2 고베의 켤레네요 그러면 우리 z1 곱하기 z2는 a+bi 곱하기 C + di고요 요거를 전개를 해주면 아까 봤듯이 ac-bd + ad+BC의 i란 거 활용할 수 있습니다. 자 요거 켤레를 구하면요 발에 씌우면 요거에 부호만 바뀌죠. 그러면 어떻게 되는 거예요 ac-BB - AD + BC의 i입니다. 자 z1 반응요 z1 반은 a - bi고 Z2 반은 c-di니까 z1 바 곱하기 Z2 반은 a - bi 곱하기 c-di죠 이것도 전개해주면요 ac-b는 변함없고요 허수 부분은 - AD + BCI 나오는 거 확인할 수 있습니다. 자 그러면 오늘 여기까지 해서 복소수의 연산 법칙까지 마무리했고요 켤레 복소수의 성질도 학습하였습니다.

복습 꼭 철저히 하시고요 오늘 강의 여기까지 하도록 하겠습니다. 감사합니다