[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 이차방정식

자 이젠 이차방정식에 대해 배워 볼 건데요 우리가 이차방정식을 처음 배우는 건 아니죠 처음 배우는 건 아닌데 우리가 지금 복소수를 배우면서이 2차방정식이 원래 근 2개와 근 1개와 근을 안 갖는다고 했던 것을 조금 바꾸게 됩니다 그래서 그거를 배우기 전에 2차 방정식 간단하게 복습을 하고 넘어가서 어떻게 바뀌는지 학습하는 과정으로 가겠습니다

자 첫 번째로요 일단 2차 방정식이 뭔지 지금 설명을 하고 있는데요 ax 제곱 플러스 bx + c는 0 꼴로 표현한 걸 우리가 뭐라 그래요 로고를 2차 방정식이라고 하는 것이죠 그런데 2차 방정식이기 위해서는 차수 가장 높은게 뭐여야 돼요 가장 높은게 2차항이어야 돼요 그래서 a는 0이 아니어야 된다는 조건 필요하고요 만약에 어떤 문제나책의 개념 설명되어 있는 부분에서 2차 방정식 요거 요거 요거라고 했으면 얘가 무슨 뜻이냐 얘는 기본적으로 최고차 한 개수가 최고창에 차수가 2차라는 의미를 내포하고 있기 때문에 a가 0이면 안 됩니다 a가 0이면 안 되고 근데 만약 방정식이라 그랬어요 그냥 방정식이다 그러면 얘는 이차방정식일 수도 있고 1차 방정식일 수도 있고 그렇기 때문에 a가 0일 때와 0이 아닐 때로 나누어서 풀어줘야 됩니다 자 요거 문제에서 함정으로 이렇게내는 경우가 종종 있어요 요거 그냥 쉽게 넘어가시면 안 됩니다 꼭 그냥 방정식이 2차 방정식이라고 했는지 방정식이라고 했는지 체크를 하고 넘어가셔야 돼요

자 넘어가서요 우리가 2차 방정식을 푸는 방법에는 여러가지가 있어요 우리가 가장 먼저 배운 방법은 인수분해를 통한 방법이죠 예를 들어 요런식이 있다고 해봅시다 예를 들어 x의 제곱 마이너스 6x+5는 0이라는 이차방정식이 있었어요 그럼 인수분해를 주죠 5는 뭐와 뭐의 곱이에요 -1과 -5의 곱이고 합하면 -6이 나오잖아요 그럼 얘가 인수분해가 지금 뭐로 되는 거예요 x - 1의 x-5는 0이라고 인수분해가 됩니다 그러면 우리는 요거와 요거를 곱했을 때 0이 되기 위해서는 얘가 0이거나 얘가 0이거나 둘 중 하나는 영이어야 되잖아요 그러면 얘가 0일 때를 만족하는 x값 1과 얘가 0일 때를 만족하는 x값 5가 해가 되는 겁니다 둘 중 하나 이것 또는 이거라고 하면 되겠죠 두 번째 방법은 완전 제곱식에 의한 방법인데요 요거 이제 까먹은 학생들이 좀 많을 것 같아요 우리가 요거는 자주 안 쓰기 때문에 그래서 이것도 한번 예제로 한번 풀어보겠습니다 제가 예제를 뭐로가 좋을 거냐면요 x의 제곱 마이너스 파렉스 플러스 6은 0이라는이 2차 방정식을 푼다고해봅시다 그럼 얘를 지금 인수분해 하려 그래도 인수분해가 안 돼요

자 그러면 어떤 방법이 있냐면이 x제곱 마이너스 8x 가지고 완전 제곱식을 만들어 주는 거예요 완전 제곱식을 만들어 주는 건데 x의 제곱 마이너스 8x고요 뒤에 있는 플러스 6을 넘기면 -6이 되죠 그러면 x² - 8x를 완전 제곱식으로 만들기 위한 상수항이 뭔가를 생각해 줘야 돼요 자 완전 제곱식이라는 건요 제가 여기다 쓸 건데 x+a의 제곱처럼 제곱 꼴로 표현되는 걸 완전 제곱식이라고 하거든요 예를 전개했을 때 x² + 2A x + a의 제곱이죠 그러면 x의 계수인 2a가 상수항 a 제곱을 만들어야 되는 거예요 어떻게 계산할까요 반으로 나누고 그러면 a가 되죠 제곱을 해줍니다 그랬을 때 a²이 되는 거예요 그래서 우리는 2ax 가지고x² + 2ax 가지고 완전 제곱식을 만드는 상수항을 찾기 위해 반의 제곱을 해 줄 거예요 자 -8의 반은 뭐예요 -4죠 제곱하면 뭐예요 + 16입니다 16을 여기만 더하면 될까요 우변에도 똑같이 더해줘야 되는 거예요 이렇게요 그러면 좌변은 지금 뭐의 제곱이 되는 거예요 x - 4의 제곱이 되고요 우변은 10만 남습니다 그러면 어떤 걸 제곱에서 10이 됐어요 제곱해서 10 되는 건 뭐예요 플러스 마이너스 루트 12죠 그게 뭐랑 같아요 x-4랑 같아 따라서 x는 4 + - 루트 10이 되겠죠 자 이게 완전 제곱식을 활용해서 푸는 방법이고요 우리가 완전 제곱식을 자주 사용하지 않는 이유가 뭐냐면 근의 공식이라는이 편한 공식을 활용해서 계산을 하면 인수분해를 하지 않아도 완전 제곱식 방법을 쓰지 않아도 그는항상 구할 수 있는 방법이 있어서 특히 인수분해는 우리가 그래도 편하게 느껴지는데 완전 제곱식으로 하는 거는 익숙해지지 않아요 처음에 처음에 배울 때 익숙해지지 않기 때문에이 근의 공식을 활용하게 되다 보니 완전 제곱식을 잊은 겁니다

자 근의 공식 한번 보고 갑시다 x는 2a-b + - 루트 b² - 4ac인데요 요거 외우고 가셔야 됩니다 근의 혹시 당연히 외우셔야죠 자 그리고 우리가 하나가 더 있어요 짝수 공식이라고 하는게 있는데이 x에 계속이 b라는게 만약 짝수면 이거를 입이 프라임이라고 생각해서 요거를 이렇게 바꿔준 공식도 있습니다 둘 다 외우시면 여기 계산하기가 훨씬 편해요 왜냐면 우리가 근의 공식을 쓸 때 x 제곱에게 수가 1인 경우가 꽤 많잖아요 많은데 이 짝수 공식을 쓰게 되면 지금 분모가 1이 되는 경우가 많아져서 공식을 외우면 꽤나 계산하기 편성 편합니다 공식도 없고 외우시길바랍니다

자 실근과 허근인데요 자 우리가 원래 근을 세 종류로 나누죠 판별식에 따라서 자 판별식은 b² - 4ac라고 하는 것인데 우리가 앞에서 근의 공식에서 봤을 때 여기 지금 루트 안에 내공 - 4ac가 있잖아요 그러면 루트 안에이 b² - 4ac가 양수면 앞에 있는이 플러스 마이너스가 살아 있어서 근이 두 개가 되는 것이고요이 판별식 비제곱 마이너 사이 c가 0이면 플러스 마이너스가 사라지죠 플러스 마이너스가 사라져서 근이 2a-b라는 거 하나만 나오는 겁니다 그러면 우리가 지금까지는이 루트 안에 b² - 4의식은 음수면 루트 안에 음수가 어떻게 들어가 하고서 그는 없어라고 했어요 그는 없다고 했는데 우리가 지금 루트 안에 음수가 되는 걸 열심히 배웠잖아요 복소수와 허수파트에서요 자 그러면 그거를 이제 뭐라고 하는지 봅시다 비제곱 마이너스 4의 c가 양수일 때와 b² -4ac가 0일 때와 b제곱 마이너스 4ac가 음수일 때 세 가지로 나누어서 우리가 알아볼 거고요 판별식이 0보다 크면요 우리가 원래는 뭐라 그랬냐면 근 두 개가 져요라고 했었고 얘는 근 한계 가져요라고 했었고 얘는 근을 안 가져요라고 했었어요 그런데 이제 뭐라고 할 거냐면요 근이 두 개가 아니라 정확히 실근 실근 두 개를 갖는다고 할 거예요 실근이 무슨 말이냐 실수인 근이에요 실수로 이루어진 그늘 말하는 거고요 근의 한계라 그러면 얘는 중근이라 그럴 거예요 사실 근이 두 개인데 근이 두 개인데 우연히 근 두 개가 똑같은 거예요 그걸 중근이라고 하는 겁니다 중첩의 의미를 담고 있는 중이에요 중근 갖는다고 할 거고 근이 영계가 아니라 이제는 허근이라고 할 겁니다 혹은 두 개 갖는다고 할 거예요 자 허근은 뭐겠어요 그러면 허수인근이죠 허수인 근 두 개를 갖는다고 할 거예요 자 예를 들어서 x 제곱이 - 5입니다 그럼 우리는 여태까지 제곱해서 음수를 만들 수 없으니까 어 저거는 근이 없어요 라고 했습니다

하지만 이제는 뭐라고 할 거냐 x는 플러스 마이너스 루트 5i라는 혹은 두 개 가져요 라고 할 거예요 알겠나요 자 그러면 제가 뒤에 가서 이제 개념 예제 풀어 볼 건데 2차 방정식을 풀려고 했네요 1번 먼저 풀어볼게요 x의 제곱 플러스 6x-4는 0인데요 인수분해가 안 되죠 인수분해 안 될 때는 어떻게요 근의 공식 쓰죠 짝수공식 쓸 수 있지만 일단은 그냥 근의 공식으로 풀게요 2분의 -b + - 루트b² - 4 a 씁니다 그러면 예를 계산을 해주면요 2분의 -6 플러스 마이너스 루트 루트 하니 계산이 어떻게 돼요 36 플러스 16이니까 바로 50입니다 52는 요렇게 되죠 2루트 13으로 바뀝니다 따라서 계산해주면 -3 + - 루트 13이 근이 되겠네요 그럼 우리는 이거를 뭐라 그러는 거예요 실근 2개 가집니다로 볼 수 있는 거예요 루트도 실수니까요

자 그럼 2번도 풀어볼게요 x의 제곱 플러스 2x + 5는 0인데요 여기서도 마찬가지로 근의 공식을 써주면 2A - B + - 루트 b² - 4a 씁니다 그러면 -2 플러스 마이너스 루트 뭐가 돼요 -16이 되네요그러면 -16을 우리가 어떻게 표현할 수 있어요 -2 플러스 마이너스 루트 16i가 되잖아요 그러면 루트 16은 -2 + - 4i고요 약분해주면 -1 플러스 마이너스 2i입니다 요런 i가 들어간 허수인 근을 갖는다 그래서 우리는 이거를 바로 허근 두 개 가져요라고 하면 되는 거예요 자 오늘 내용은 여기까지고요 우리가 지금 추가된 내용은 사실 2차 방정식에서 원래 근의 개수를 말하던 걸 단지 실근 2개 중근가져요 허근두개 가져요 요걸로 바뀐 겁니다

자 오늘 2차 방정식 복습 잘 하셨기를 바라며 2차 방정식 내용을 좀 까먹고 있다면 다음 내용도 2차 방정식이라서 조금 어려울 수 있어요 어렵게 느껴질 수 있기 때문에 2차 방정식을 많이 까먹은 학생들은 2차 방정식도 복습을 하고 오셨으면 좋겠습니다 감사합니다