[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 이차방정식의 판별식

자 오늘의 판별식인데요 우리가 판별식이 뭔지부터 보도록 하겠습니다 어떤 2차 방정식 ax² + bx+ c는 0의 그늘 구하는 공식을 우리가 배웠어요 x는 2A - B + - 루트 b² - 4이라고 할 수 있죠 그런데 여기 루트 안에 있는 b² -4ac에 값에 따라서 비제곱 마이너스 사이 c가 어떤 값을 가지냐에 따라서 근의 종류가 바뀌게 돼요 만약에 양수를 가지면요 실근 두 개를 갖고요 0이면요 중근을 갖는다고 합니다 그런데 만약에 음수예요 그러면 루트 안에가 음수죠 루트 안에 음수 들어간 걸 뭐라 하기로 했어요 허수 그러면 우리가 허수인 근이라 그래서 허근이라고 합니다 허근이라고 하고요 얘도 마찬가지로 혹은 두 개를 가져요 왜 두 개를 갔냐 여기 앞에 플러스 마이너스가 살아 있어서 사라지지 않아서 우리는 혹은 두 개 갖는다고 합니다 그래서 우리는이 비제곱 마이너스 4ac에 값에 따라서 근의 종류가 바뀌고 b제곱 마이너스 4ac 가지고 근의 종류를 판별할 수 있다 그래서 판별식이라고 해요 판별식 얘를 판별식이라고 합니다 판별식이라고 하고 영어 디스크리미넌트에 첫 글자 d를 따서 d는 b² - 4이시라고 쓰게 됩니다

자 그러면이 판별식의 부호에 따라서 근이 어떻게 되는지 분류를 해 볼 건데요 x를 지금 근의 공식을 통해서 구하면 - b 플러스 마이너스 루트 여기가 b² - 4ac란 저는 d라고 쓸 거예요 그랬을 때 분모는 2a죠 자 이렇게 생긴 걸 우리가근의 공식이라고 하는데이 판별식의 부호가 만약에 양수면요 양수면 지금 루트 안에가 양수라서 실근이에요 실제로 존재할 수 있는 근이니까 실근이라고 하고요 양수게 되면 지금이 플러스 마이너스가 살아있죠 + 인근 1개랑 - 인근 한 개에서 총 두 개가 되는 겁니다 그래서 판별식이 0보다 크면 서로 다른 두 개의 실근을 갖는다고 하는 거예요 서로 다른 두 실근이에요 자 그런데 만약에 판별식이 0이면 판별식이 0이면 플러스 마이너스가 어떻게 돼요 사라지죠 왜 사라져요 얘가 0이니까 요게 없어지거든요 그러면 근이 몇 개가 되는 거예요 원래는 한계 갖는다 그랬어요 원래 한계가 있는데 우리는 이거의 표현을 조금 바꿀 겁니다 자 왜 바꾸냐면 서로 다른 두 실과는 2차 방정식을 제가 예시로 x-1하고 x-3이라 그럴게요 그런데 중근은 어떻게 생겼어요 그냥 요렇게 x-2가 0이라는 이것만 있는게 아니죠 위에 뭐가 있어요 제곱이 있어요 제곱을 풀었으면 어떻게 돼요 x-2와 x-2의 곱이죠 사실은 근이 두 개예요 근이 두 개는 두 개인데 근이 두 개는 두 개인데 그 두 개가 우연히 겹치는 거예요 겹쳐서 우리는 근이 하나처럼 보이니까 사실 지금까진 하나라고 했던 거고 앞으로 뭐라 할 거냐 근을 두 개가 뛴 두 개 갖는데 근이 겹쳐서 중근이야라고 할 겁니다 그래서 서로 같은 두 실근이라고 써 있죠 같은 말입니다 중근의 의미가 서로 같은 두 실근이라는 의미에요

자 그러면요 이번엔 마지막으로 판별식이 0보다 작으면요 지금 루트를 다시 한번 써 볼게요 -b+ - 루트 d를 2a로 나 근의 공식이라고 하는데판별식이 음수면 루트 안의 음수가 들어가요 루트한 음수가 들어간 걸 우리가 뭐라 그래요 허수라 그러죠 그럼 허수인 근을 뭐라 그랬어요 허근이라 그랬죠 그래서 우리는 판별식이 영웅보다 작으면 서로 다른 두 허근을 갖는다고 앞으로 표현을 할 겁니다 아까와 마찬가지로 지금 루트가 허수로 살아 있어요 살아있으면이 앞에 있는 부호도 살아있게 되는 것이죠 그러면 플러스 루트 하나 마이너스 루트 하나에서 혹은 두 개 갖는 겁니다 자 여기까지 되셨나요 그러면 우리가 개념예제 풀어보도록 하겠습니다

1번은요 근을 판별하라 그랬어요 근의 종류와 개수를 구하라는 의미예요 그러면 판별식을 써 줘야 되고요 판별식을 써주면 4의 제곱 마이너스 4 곱하기 앞에 거 곱하기 뒤에 거 요렇게 해주면 됩니다 그럼 플러스 플러스로 바뀌어서 20으로 계산되네요 그럼 이런 경우에 우리 그는 어떻게 돼요 실근 서로 다른서로 다른 실근 2개 가져요라고 하면 되겠네요

자 2번도 봅시다 마찬가지로 판별식 써 줄 거예요 판별식 d는 -6에 제곱 마이너스 4 곱하기 앞에 거 곱하기 뒤에 거 그러면 36-36이라 0이 되네요 판별식이 0인건 뭐라 그랬어요 그냥 딱 한마디로 표현하면 됩니다 중근 가져요 서로 다른 주식은이 아니라 서로 같은 부실근인데 서로 같은 두 실근은 중근이라고 표현하는 겁니다 자 마지막으로 3번 볼게요

3번은요 판별식 d를 써주면 3의 제곱 마이너스 4 곱하기 2 곱하기 7입니다 그러면 9 - 56이니까 계산하면 -47이죠 그럼 지금 판별식이 음수가 나왔어요 이런 경우에는 어떻게 된다고요 서로 다른 무슨 근 가져요 두허근 같습니다 판별식이 음수면 루트의 음수가 들어가니까 두 개의 허근을 갖는 거예요 자 그러면 넘어가서요 이번엔 요런 예제 한번 풀어보도록 하겠습니다 2차 방정식이 지금 중근을 갖는다 그랬어요 중금 갖는다는 말은 무슨 말을 무슨 말이랑 똑같은 거예요 판별식 d가 0이란 것과 똑같은 거예요 그러면 우리는 판별식 d를 계산을 해보면 k+2의 제곱 마이너스 4 곱하기 앞에 것 뒤에 거 얘가 0인 거예요 그럼 정리 한번 해 볼게요 k의 제곱 플러스 4K + 4 뒤에 것은 4 9 36이죠 얘가 0이고요 k의 제곱 4K - 32는 0이라서 얘가 인수분해되죠 k-4의 k+8로요 따라서 K 값은 뭐가 나와요 4일 수도 있고 -8일 수도 있고 요렇게 k값 구해주시면 됩니다

자 이번엔 이차식이 완전제곱식이 되기 위한 조건인데요 저는이 부분을 조금 강도를 드리고 싶어요 왜냐하면 지금 이렇게 보면 두 줄이 이렇게 딸랑 써 있으니까 학생들이 정말 놓치기가 쉬워요 상당히 중요한데도 학생들이 그냥 짧으니까 넘겨 버리는 경우가 많은지 물어봤을 때 정말 모르는 경우가 너무 많습니다 그래서 저는 이 부분을 좀 강조를 드리고 싶고요 자 한번 교재 읽어 봅시다 2차시 ax² + bx+c가 완전 제곱식이라 그랬어요 그러니까 얘가 뭔지는 모르겠는데 a 검은색으로 쓸게요 ax의 제곱 플러스 bx + c가 완전 제곱식이니까 최고차항지수는 a니까 a가 요렇게 있고 뭔가에 제곱이 되는 거예요 완전 제곱식이니까 저렇게 되는 건데 이거 1 조건이 뭐냐 2차 방정식으로 생각을 했을 때 얘에다가 2차 방정식으로 생각했을 때 그냥 판별식 d가 어떻게 되는 거예요 0이랑 같아지는 거예요 왜냐 이차방정식이라는 거는 결국 여기다가 0을 달아주는 거죠 그러면 지금 근이 어떻게 되는 거예요 중근 갖는 거죠 중근 중근 갖는 겁니다 중근을 가지니까 판별식 기가 뭐인 거예요 0인 거죠 완전 제곱식이다란 말은 중근이라는 말하고 완전히 똑같은 겁니다 자 그래서 저는 요렇게 정리를 드리고 싶어요 완전 제곱식이다라는 표현은 중근 갖는다는 말하고 똑같은 표현이고요 얘는 판별식 d가 0이라는 식과도 똑같습니다 그래서요 세 개의 개념을 하나로 봐주시는게 좋을 것 같아요

자 그러면 넘어가서 우리 개념 예제 한번 풀어보도록 하겠습니다 자2차식 요거 요거 요거가 x에 대한 완전 제곱식이 되도록 한대요 그러니까 원래 42차식에서의 2차식에서의 판별식은 없어요 그런데 우리가 판별식을 쓰기 위해서 방정식이라고 잠깐 그냥 고려를 해주는 겁니다 잠깐 0이라고 해볼까 그러면 판별식 d를 한번 써보면 얘가 만약에 완전 제곱식이 되려면 중근을 가지니까 판별식이 0이겠구나라는 과정을 거치는 거죠 그럼요 판별식 d를 써볼게요 2k의 제곱이죠 2k의 제곱 마이너스 4 곱하기 앞에 거 1이고요 뒤에 거 k+2입니다 자 그러면 4k의 제곱 마이너스 4K -8이 0이 되는 거고요 4로 나눠주면 k 제곱 마이너스 k-2는 0입니다 인수분해되네요 k-2에 k+1로 인수분해 되니까 최종적으로 우리가 k [음악] -1이거나 이렇게 근까지 구할 수 있습니다

자 여기까지가 우리 오늘배울 2차방정식의 판별식에 관한 내용이고요 이렇게 우리가 근이 이렇게 세 가지로 분류된다는 점요 점 한번 짚고 넘어가셨으면 좋겠고 다시 한번 강조드리지만 완전 제곱식이 되기 위한 조건으로 완전제곱식이라는 표현과 중근이라는 표현과 판별식이 0이라는 표현은 완전히 일치하는 겁니다 자 여기까지 하겠습니다 감사합니다