[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 이차방정식의 근과 계수의 관계

자 우리가 오늘 배울 내용은 2차 방정식의 근과 계수의 관계입니다 이제 근거 개수의 관계뿐만 아니라 상당히 많은 내용을 학습을 하게 되는데요 오늘 배울 내용이 정말 중요한게 많아요 우리 근덕예술관계 두수를 근으로 가면 2차방정식 그리고 복잡한 약간 루트나 복소수가 들어간 그런 근을 가지는 2차식을 인수분해하는 방법도 배우게 되고요 켤레근의 성질 실근의 부호까지 오늘 정말 중요한 내용이 많이 들어가 있으니까 꼭 집중해서 들으시기 바랍니다

자 그러면 요거 먼저 보도록 하겠습니다 이차방정식의 근과 개수의 관계고요 우리가 요거는 처음 배우는 내용은 아니에요 처음 배운 내용은 아니고 두 군의 합이 지금 어떻게 되어 있냐면 -a분의 b가 되어 있어요 자 그러면 우리가 근의 공식이란 것을 배웠어요근의 공식 x는 2A - B + 루트 여기는 d라고 쓸게요 그리고 다른 한글은 뭐예요 부호가 다른 거죠 -b-루트 b라고요 그러면 한 근이 2A - B + 루트 d고 다른 한 근이 2분의 - B - 루트 b죠 그럼 이거를 더할 거예요 얘를 알파라고 놓고 얘를 베타라고 놓고 우리가 알파플러스 베타를 여기서 계산을 해주면요 어차피 분모 2a는 똑같고 -b + 루트 D -b-루트 d인데 루트리 루트d가 사라져서 결국 남는 건 뭐예요 - a분의 b밖에 안 남죠 그래서 우리가이 공식을 알 수 있는 겁니다 자 근을 알면 방정식의 계수에 관한 관계를 알 수도 있고요 거꾸로 계수를 알면 두 근의 관계를 알 수 있는 겁니다요런 관계가 있는 거예요 그늘 알면 개수의 관계를 할 수 있고 계수를 알면 근의 관계를 할 수 있는 겁니다 자 두 근의 곱은요 따로 제가 유도를 하지는 않을 거고요 알파 베타의 곱이 a분의 c라는 거 알아두시고요 두 근의 차 알파 마이너스 베타는 절댓값 a분의 루트 b 제곱 마이너스 4ac죠 우리가 사실이 공식은 처음 보는 학생들이 많을 텐데 공식을 외울 필요는 없습니다 외울 필요는 없는데 두 근의 차를 굉장히 자주 물어봐요

자 개념 예제 풀어보겠습니다 우리가알파플러스 베타 알파 베타 가지고 장난을 정말 많이 치는데 지금 2차방정식 x제곱 마이너스 3x+4는 0의 두근을 알파벳 하라고 한대요 그러면 요거에 둑은 알파 플러스 베타의 값을 구하면요 두 근의 합이죠 그러면 1분의 -3인데 앞에 -를 붙입니다 요게 두 근의 합을 구하는 방법이에요 그래서 알파플러스 베타는 3이고 알파베타는 뭐예요 1분의 맨 끝에 있는 상수항 4적 그래서 삽니다 이거 가지고 1번하고 2번의 값을 구하는 겁니다 1번을 먼저 보시면요 알파 제곱 플러스 베타의 제곱은 곱셈공식의 변형에 의해서요 알파 플러스 베타의 제곱 마이너스 2알파 베타의 값과 같죠 그러면 알파 플러스 베타는 뭐예요 3이죠 3의 제곱 마이너스 2 곱하기 알파 4구요 9-8이니까 최종적으로 1이란 거 우리가 얻어낼 수 있습니다 이번에는베타 분의 알파 제곱 플러스 알파분의 베타 제곱인데요 얘를 알파 베타로 통분을 하게 되면요 알파 베타 분의 지금 앞에 있던 베타분의 알파제곱에다는 알파 알파를 곱해서 알파3 제곱 되고요 여기다는 베타 베타 곱해서 베타 3제곱 됩니다 그러면 지금 뭐를 계산해 볼 거냐면 알파의 3제곱 베타의 3제곱 더해서 계산해 볼 거예요 요거 인수분해하는 공식 있죠 알파플러스 베타의 알파제곱 마이너스 알파 베타 + 베타 제곱입니다 우리가 그래서 곱셈공식하고 인수분해 공식 정말 완벽하게 알고 있어야 됩니다 계속 나오고 있죠 알파플러스 베타는 3이고요 알파 제곱 플러스 베타 제곱은 우리 1번에서 구한 1입니다 알파베타는 4적 4를 빼요 그럼 몇이 나와요 -9가 나오네요 따라서 분자는 마이너스 9고 분모는 삽니다 그래서 -4분의 9라고 답을 써주면 되겠네요 자 이제 두 번째인데요 두 수를 근으로 갖는 방정식입니다 요거는요 우리가 지금 뭐를 하고자 하는 거냐면 그늘 알면 그 근을 가지는 2차 방정식을 쓸 수 있는 겁니다 근을 가지고 방정식을 만드는 거예요 우리가 지금까지는 방정식에서 근을 구했다면 지금은 근을 가지고 방정식을 만들겠다는 겁니다

자 제가 예시를 들어볼게요 만약에 어떤 이차방정식의 근 x가 1하고 3을 가져요 그러면 근 1을 가질려면 어떤 인수를 가져야 되는 거예요 어떤 일차식을 가져야 되는 거죠 x-1을 가져야 되는 겁니다 1을 넣었을 때 0이 되는 그 1차식 x-1이죠 자 3을 가지는 3을근으로 가지는 인수는 x-3입니다 따라서 우리가 찾는 2차 방정식은요 x-1x-3은 0이라고 써주시면 되고요 여기서 끝내면 안 됩니다 제일 중요한게 뭐냐면 제일 빠뜨리기 쉬운 최고차 한계수를 우리가 지금 모르잖아요 최고차항 계수가 1이든 2든 3이든 제가 여기다가 a의 값에다가 어떤 것을 집어넣든 어차피이 방정식의 근은 1안이면 3인 거예요 그렇기 때문에 최고차원 계수를 따로 구해주거나 문제에서 주고요 우리가 항상이 a를 빠뜨리면 안 된다는 거 명심하시기 바랍니다 그러면 예를 조금 전개를 해주면요 우리가 최고차 한계수 a는 변하지 않고 그대로 있고요 안에 거를 전개했을 때 이렇게 전개할 수 있어요 x의 제곱 마이너스 1 플러스 3의 x + 1 곱하기 3입니다 자 그러면 우리가 여기에 해당하는게 지금 뭐예요 1+3이 여기가 합이죠 여기가 의미하는게 뭐예요 곱입니다

즉 합과 곱으로도 우리가 방정식을 쓸 수 있는 거예요 자 만약 어떤 문제를 풀 때 근이 주어졌어요 근이 주어졌는데 이차방정식을 구해야 돼요 그러면요 방식대로 하는 거고 합과 곱이 주어졌어요 합과 곱이 주어졌으면 밑에 있는 방식으로 2차 방정식을 구해주는 겁니다 자 제가 지금 일하고 3으로 방정식을 썼는데요 제가 그러면 그늘 알파랑 베타라고 해놓고서 다시 한번 써서 보여드릴게요 크게 변하지는 않습니다 a의 x - 알파와 x - 베타는 0이라는 방정식이 되거나 또는 a의 x의 제곱 마이너스 알파 플러스 베타의 x + 알파 베타입니다 자 이렇게 둘 중 하나를 상황에 따라 선택해서 활용해 주시는 겁니다 그러면 우리가 지금 개념 예제를 볼 건데요 두 수 2+루트 3하고 2-루트 3을 근으로 안 돼요 근데 사실 얘는 근이 주어져 있어서 그 근을 활용한 2차 방정식을 써주는게 편해 보일 수도 있지만 이거를 쓰는게 편해 보일 수도 있지만 이거 같은 경우는 요거를 써주는게 좋습니다

자 왜 그런지 한번 볼게요 지금 근이 하나는이 플러스 루트 3이고 하나는 2-루트 3이에요 그런데 둘 다 루트가 들어가 있죠 그래서 요거를 그대로 쓰기보다는 어떻게 쓰는게식이 좀 더 깔끔해지냐면이 플러스 루트 3과 2-루트 3의 합을 구하면요 합이 몇이에요 4예요 고분 몇일까요 곱은 2+루트 3과 2 - 루트 3의 곱은 2의 제곱 마이너스 루트 3의 제곱이어서 3이죠 그래서 1이 됩니다 합과 곱의 숫자가 훨씬 깔끔한 거예요 그래서 이거 가지고 방정식을 써주면 최고차 한 계속 까먹으면 안 되고요 x의 제곱 마이너스합 x + 곱 이렇게 방정식을 써 주는 거고요 여기는 지금 문제에서 x 제곱의 계수가 1이라고 했으니까 그냥 1을 대입해줘서 최종적으로 우리가 구하는 2차 방정식은 x 제곱 마이너스 4x + 1 = 0이라고 써 주시면 됩니다

자 다음으로 넘어가겠습니다 2차식의 인수분해인데요 우리가 2단원을 왜 배우는 거냐면 우리가 지금까지 인수분해 공식을 쓰면요 대부분 어떤 경우냐면 정수나 유리수 그늘 가지는 그런 2차식들을 인수분해할 수 있었습니다 근데 우리가 배운 수 중에는요 무리수도 있고요 지금 복소수도 새로 배웠어요 허수죠 허수 자 요런 것들을 배웠기 때문에 인수분해가 이럴 때는 안 돼요 안 되는데 우리가 그래서 어떻게 해줄 거냐면 자 예시를 들어 드리겠습니다 x의 제곱 마이너스 2x - 1은 0이라는 이차방정식이 있어요인수분해 안 돼요 안 되는데 우리가 인수분해 안 되면 근을 어떻게 구해요 근의 공식을 써서 구하죠 EA 분의 - b + - 루트 b 제곱 마이너스 4ac고요이 플러스 마이너스 2루트 2와 같아서 약분까지 해주면 1 플러스 마이너스 루트 2입니다 자 그러면 그늘 구했죠 그럼 우린 거꾸로 그늘 구해서 2차 방정식의 인수분해된 꼴을 찾는 겁니다 얘를 인수로 가져야 됩니다 자 1 - 루트 2를 인수로 가지는 아 죄송합니다 1 - 루트 1을 근으로 가지는 인수는 뭐예요 x-1 - 루트 2인 겁니다 자 그래서 이거 가지고 방정식을 써주면요 하나는 x-1 + 루트 2고요 다른 하나는 x-1 - 루트입니다 그러면 항상 빠뜨리면 안 되는 거 뭐 있죠 최고창 계속 빠뜨리면 안 되는 거예요 요거 몹시 중요합니다 항상 빠뜨리면 안 돼요 자 이 부분 다시 정리하자면 우리가 여기에서 어떤 걸 배운 거예요 근을 가지고 인수분해 하는 방법을 배운 겁니다 필요에 따라서 그늘 가지고 인수분해를 해야 되는 경우가 생깁니다 그럴 때 활용하는 방법이이 방법이에요 어떤 그늘 가지면 그 그늘 인수로 가지는 식을 찾아서 이렇게 된 것을 2차 방정식의 인수로 적어주면 우리가 인수분해가 완료된 겁니다 자 여기까지 되셨나요 자 넘어가겠습니다

자 개념 예제 풀어보도록 하겠습니다 자 다음 2차식을 복소수 범위에서 인수분해하라 그랬어요 자 이게 무슨 말이냐면 우리가 지금까지 인수분해했던 건 정수랑유리수 범위까지만 인수분해를 했었어요 그런데 지금은 무리수와 허수까지 인수분해를 하라는 소리입니다 자 그럼 볼게요 x제곱 마이너스 4x+1을 우리가 배운 인수분의 공식대로 인수분해를 하려면 안 됩니다이 수분해가 안 돼요 지금 그래서 우리는 어떻게 하냐 방정식이라고 생각하고 근을 구해 버립니다 방정식이라 생각하고 그늘 구하면요 2a-b +, - 루트 b² - 4ac를 계산하면 8이 되고요 얘를 간단하게 정리하면이 플러스 마이너스 루트 2가 됩니다 근이 2+로이 플러스 마이너스 루트 2인 거예요 그러면 근 하나가 2+루트 2고 근 하나가 2-루트 2인데 자이 플러스 루트 2를 근으로 같게 하는 인수는 뭐예요 요거죠 얘는 2-루트 2를 근으로 갖게 하는 인수는요겁니다 근데 우린 지금 2차 19 하는 거죠 2차식 구하는 거니까 두 개를 그냥 곱해 버리면 됩니다 이렇게요 최고차 한 개에서 뺨 빼먹으면 안 됩니다 얘가 1인 거예요 그래서 지워도 되는 겁니다 요거를 조금 전개를 해주면요 x-2 - 루트 2 x - 2 + 루트 2로 전개됩니다

자 그러면 이번에 x² + 2x + 7을 인수분해 할 건데요 얘도 마찬가지로 지금 정수나 유리수로 인수분해가 안 돼요 그러면 2차 방정식이라고 생각을 하고 근을 구하면 2A - B + - 루트 b 제곱 마이너스 42c 해주면 -24입니다 음수 나왔네요 그럼 어떻게 해줘요 루트 24i라고 써주죠 그러면 -2 플러스 마이너스 2루트 6i고요 분모 2를 모두 약분해주면 -1플러스 마이너스 루트 6i입니다 자 그럼이 상태에서요 1 - 1 플러스 마이너스 루트 6i를 근으로 갖게 하는 인수를 찾을 거예요 -1 + 루트 6i -1 - 루트 6i를 근으로 갖기 위해서는 하나는 x - 요렇게 요렇게고요 다른 하나는 x- 이렇게 이렇게 합니다 이차식 구하는 거니까 그냥 곱해버리면 돼요 만약에 얘를 영어로 썼으면 방정식이고요 근을 요거를 갖고 요구를 가지니까 올바르게 인수분해된 거 맞죠 하지만 우리는 2차식을 인수분해하는 거기 때문에 요거를 0을 쓰지 않고요 이렇게 써주면 됩니다 x+1 - 루트 6i 여기는 x+1 플러스 루트 6i라고 인수분해해 주시면 끝납니다

자 다음으로 넘어가도록 하겠습니다 이번엔 2차 방정식의 켤레근의 성질인데요 요게 조금 중요할 수 있습니다 우리가어떤 2차 방정식 ax² + BX + c는 0에서 근을 근의 공식을 통해 구할 수가 있죠 x는 2A -b + - 루트 b^2 - 4ac로요 자 그런데 어떤 방정식의 근 x가 하나는 -1 + 루트 3이라고 해 봅시다 그러면요 만약에 이때 abc가 유리수라면 여기 있는 계수들이 모두 유리수라면 근의 공식을 썼을 때이 2a와 마이너스 b가 유리수인 거죠 그러면 얘네들이 어떤 루트를 만들어낼 수 있나요 유리수는 루트를 만들어 내지 못합니다 루트를 만들어내지 못하기 때문에 여기에 해당하는이 루트 비대군 마이너스 4ac가이 루트 3에 해당하는 거예요 그러면 여기서 중요한 포인트가 하나 나옵니다 뭐냐면이 앞에 플러스 마이너스가 붙어 있죠 루트 앞에 플러스 마이너스가 붙는겁니다 그러면 한 근이 -1 + 루트 3이라면 다른 한 근은 -1 - 루트 3을근으로 갚는 겁니다 무리수 부분에 부만 바꾼 그늘 가지게 되는 것이죠 자 그러면요 진짜 여기서 중요한 포인트는 요거예요 abc가 유리수일 때만 성립하는 거예요

자 제가 요런 예시를 하나 들어볼게요 어떤 2차 방정식이 있는데요 그 2차 방정식이 x제곱 마이너스 2루트 2x + 1은 0입니다 재수가 지금 계수가 무리수인 거예요 그러면 근의 공식을 써주면요 2A -b + - 루트 b 제곱 마이너스 4ac라서요 간단히 정리해주면 루트 2 플러스 마이너스 1이 됩니다 자 플러스 마이너스가 어디 붙어 있어요 유리수에 붙어 있죠 1회부터 있어요 그에 반면 루트 앞에는 지금 플러스 마이너스가 없습니다 요렇게계수가 무리수일 때는 요게 지금 성립하지 않는다는 거 한 근이 p+q√1일 때 달아난근이 p-q√m이려면 바로 abc가 유리수여야 된다는 사실 요게 정말 중요합니다 자 밑에 내용도 비슷합니다 abc가 실수일 때 실수일 때 p+q와이면 p-qi가 다른 한 근이라는 거예요 이게 왜 그러겠어요 똑같은 논리를 적용하는 거죠 근의 공식을 똑같이 썼는데 지금 i라는 거를 만들어 낼 수 있는 건이 루트에서 음수가 나오는 방법 밖에 없어요 그런데 abc가 실수면 2-b와 2a에서 i를 만들어 내지 못한다는 것이죠 그렇기 때문에 한 근이 p+qy면 다른 한 근이 p-qi인 겁니다 자 그러면 관련된 개념 예제 하나 풀어볼게요 ax에고 플러스 bx + ca는 0이 한 근이 2+루트 오래요 그럼 문제 맨 뒤에 봐요 무슨 말이 써 있어요 abc는 유리수이다그러면 한 근이 2+루트 5이면 다른 한 근은 뭐라는 소리예요 2-루트 5라는 소리죠 자 그러면 두 근의 곱을 구하라고 했으니까 그냥 2 + 루트 5와 2 - 루트로 곱하라는 소리고요 앞차 공식에 의해서 요렇게 계산됩니다 자 어렵지 않을 거예요 우리는 요거는이 밑에 있는이 조건만 항상 있는지 없는지 신경 써주시면 됩니다

자 넘어갈게요 이번엔 x² + ax+b는 0의 한 근이 플러스 사마이래요 그럼 다른 한 근이 뭐예요 2-3i죠 자 실수 AB 값 구하라 그랬네요 자 어떻게 구하냐면요 두 근의 합은 -a와 같죠 근과 계수의 관계를 적용시켜준 겁니다 x제곱의 계수분해 x의 계수에다가 - 부호를 붙인게 두 근의 합이니까요 그럼 두 근의 합 어떻게 돼요 4네요 2+3y + 2 -3i곱은 어떻게 될까요 곱은 비고요 2+3i 곱하기 2 - 3i 계산해주면요 답은 13이 나옵니다 따라서 a는 -4 b는 13 요렇게 계산해 주시면 됩니다 자 넘어가서요 우리 이제 2차 방정식의 실근에 부호인데요 요게 이제 조금 오늘 배웠던 내용 중에는 제일 헷갈리지 않나 싶습니다 학생들이 느끼기에 제일 헷갈리는 부분이에요 자 모든 계수가 실수인 2차방정식 ax² + bx+ c는 0이 두실근을 ab라고 하겠대요 이렇게 돼 있는데 알파벳 하네요 주식은 알파베타라고 할 때 판별식을 d라 하면 자 두 근이 모두 양수일 조건은요 우량상 3개를 따져주는 겁니다 판별식 다저줄 거고요 합 따져 줄 거고 곱 따져 줄 거예요 그러면 지금 판별식이 0 이상이고 알파 플러스 베타가 양수고 알파 베타가 양수라 그랬네요 하나씩따져볼게요 두 분이 모두 양수라 그랬으니까 일단 실근이 존재해야 돼요 우리가 허그는 대소비교를 할 수 없기 때문에 어떤 양수나 음수가 존재하지 않아요 그래서 두 근이 모두 양수라는 것은 일단 실근이 존재한다는 소리고 판별식이 0보다 크거나 같아야 됩니다 자 투구니 양수에요 양수와 양수를 더해요 그러면 양수죠 그래서 알파 플러스 베타의 양수고요 양수 곱하면 양수에요 그래서 알파 베타도 양수입니다

자 두 번째 케이스는요 두 근이 모두 음수일 조건인데 판별식이 0보다 크거나 같은 거 위와 마찬가지로 동일하구요 알파플러스 베타가 음수죠 음수 함수 무조건 음수입니다 하지만 음수와 음수를 곱하면 양수기 때문에 알파 베타는 양수가 나와줘야 돼요 자 마지막으로 두 근이 서로 다른 부호일 조건인데요 얘는 위에 있는 것들을 위해 조금 단순하네요 왜 그러냐면 자 두 근이 서로 다른 부호예요 그럼 알파플러스베타가 음수인데 알파 베타가 알파 베타가 음수인데 우리 알파베타는 어떻게 계산할 수 있어요 a분의 c로 계산할 수 있습니다 얘가 음수니까 a와 c의 곱의 부호도 음수인 겁니다 여기까지 됐어요 자 그러면 여기서 판별식을 썼을 때 b^2 - 4시라고 쓰는데요 어차피 B 제곱은 양수고요 a c가 음수인데 -4ac는 -4 곱하기 마이너스니까 +가 돼요 그러면 결국 플러스와 플러스를 더한 꼴이기 때문에 판별식은 항상 양수가 나올 수밖에 없습니다 그래서 굳이 고려하지 않아도 되는 거예요

자 그럼 두 근의 합은 왜 고려 안 할까요 자 알파와 베타의 부호가 지금 다르기 때문에 두 근의 합이 양수인지 음수인지 0인지를 판별을 할 수가 없는 겁니다 그래서 요거를 케이스를 지금 3개로 나눠서 밑에 써 준 거예요 부근에 절댓값이 같다면요 즉 하나가 2면 다른 하나는 마이너스이고 하나가 오면다른 하나 마이너스 옵니다 이렇게 절대값이 같으면 알파플러스 베타는 0이라는 조건이 추가되고요 양근의 절대값이 크대요 양근이 오고 은근히 마이너스 2면 두 근을 합했을 때 양수죠 절댓값 큰놈의 부호를 따라가는 겁니다 그래서 두 근의 합은 양수고요 은근해질 때 값이 더 크면 알파 플러스 베타는 음수네요 자 요게 실근해보호입니다 개념일지 한번 풀어보도록 하겠습니다 2차 방정식 x제곱 마이너스 4x + k+2=0의 두 근이 모두 양수가 되도록 하는 실수 K 값의 범위를 구하는 거예요 제가 3개 따지면 된다 그랬어요 알파플러스 베타 따져 줄 거고요 알파 베타 따져 줄 거고 판별식 D 따져 줄 겁니다 각각 계산을 해보면요 알파플러스 베타는 4네요 그러면 두 근이 양수면 알파플러스 베타가 양수여야 되는데 이미 양수니까 고려하지 않아도 되겠네요 두 번째 알파 베타는 k+2입니다얘가 뭐여야 돼요 0보다 커야 되죠 0보다 크려면 우리가 K 값의 범위는 -2보다 크다가 나옵니다 자 이번엔 판별식 d를 계산할 건데 d는 16-4에 k+2고요 얘가 0보다 크거나 같으면 됩니다 그러면 계산을 했을 때 16 - 4K - 8이고 8 - 4k가 0보다 크거나 같고요 그러면 8이 4K 이상이니까 우리가 K 값의 범위는 22야다 이렇게 계산할 수 있습니다 그러면 여기에 써 있는 기가 -2보다 크다 와 k가 -2보다 크다와 2보다 작거나 같다의 공통 범위를 구해주면 -2보다는 크고 2보다는 작거나 같다요 범위가 나오게 되네요

자 우리가 여기까지 해서요 우리 오늘 2차방정식의근과 계수의 관계 학습을 모두 마쳤구요 우리가 앞으로도 많이 쓰이는 내용이니 꼭 꼼꼼하게 복습하시길 바랍니다 감사합니다