[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 이차함수의 그래프

자 우리가 오늘 학습할 내용은 2차 함수의 그래프입니다 그래서 2차 함수의 기본적인 그래프를 그려볼 거구요 2차 함수 식에서 각 항의 계수들이 어떤 역할을 하는지 그 역할에 따라서 그래프는 어떻게 변하는지에 대해 학습을 할 거예요 자 그래서 가장 먼저 뭐를 할 거냐면요 우리는 y는 ax²이라는 함수를 그려 볼 거예요 2차 함수식에서 2차 항만 있는 함수식을 그려보겠다 이겁니다 근데 저는 그 중에서도 a가 1일 때인 y는 x 제곱의 그래프를 그려 볼 거예요 자 x²의 그래프를 그릴 건데요 이렇게 x축이 있고 y축이 이렇게 있습니다 그럼요 x에다가 0을 대입했을 때 나오는 y 값은 몇이에요 0이죠 x에다가 1을 대입하면y는 1이고요 x가 -1이면 y는 마찬가지로 1입니다 자 그럼 제가 일단이 세 점을 찍어 볼게요 0이니까 여기를 지나겠죠 그리고 1도 지나니까 여기도 지나요 자 이번엔 -1을 지납니다 그러면 여기쯤 지날 거예요 자 여기가 지금 -1이고 여기가 1이고 여기가 지금 1이죠 그럼 이번엔 x에다 2하고 -1을 대입해 볼게요 x에다가 2를 대입하면요 y는 4구요 마찬가지로 -2를 대입해도 y는 4가 나옵니다 여기 지금 왜 그러냐면 x 제곱이기 때문에 x가 양수건 음수건 상관없이 제곱을 하면 양수만 나오잖아요 그래서 부호가 다른 x값을 집어넣었을 때 y 값이 계속 동일하게 나오는 겁니다

자 그러면이 점들도 찍어 볼게요 2 4면은이 정도 찍히겠네요 -2정도 찍히겠죠 자 3을 넣으면 어떻게 될까요 x에다가 3을 언급하고 x에다 - 3을 넣는 값하고 y 값이 같아요 바로 구로 같죠 자 그럼 y 값은 더 위에 찍히겠네요요 정도에 찍힐 겁니다 얘는요 정도의 찍힐 거예요 그러면요 점들을이었을 때 그래프가 어떻게 생겼냐면 이렇게 생긴 거예요 우리가 이렇게 생긴 모양을 이제 앞으로 뭐라고 부를 거냐면요 포물선이라고 부를 겁니다 호물선이라고 부를 것이고이 그래프의 특징을 몇 개 잡아보겠습니다 자 첫 번째 특성은요 이렇게 함수가 내려오다가 올라가죠 그때이 변화가 생기는 지점이 지점을 뭐라 그러냐면 우리는 꼭지점이라고 할 거예요 꼭짓점이라고 할 거고요 그거 좌표를 0이라고 할 수 있겠죠 자 그리고 지금이 함수가 요거에 대해 대칭입니다 바로이 y축에 대해서요y축에 대해서 대칭인 걸 눈으로 볼 수 있고요 이렇게 대칭이 되는 y축을 뭐라 그러냐면 시계방정식이라고 합니다 추계방정식이라고 하고요 우리가 식으로는 어떻게 쓰냐면 y축은 x는 0이라고 쓸 수 있죠 y축 위에 있는 점들은 모두 x좌표가 0이니까요 그래서 축의 방정식은 x는 0이라고 쓸 겁니다 자 그러면 만약에 a 값이 더 커져요 우리가 지금 a에다 1을 대입했는데 이번에다가 이번엔 a에다가 2를 대입했을 때 나오는 y는 2x²의 그래프를 그려 볼게요 자 그러면 똑같은 x 값을 넣었을 때 두 배가 되니까 예를 들어 x가 1을 넣으면 y 값은 2가 되죠 얘도 2가 될 거예요 얘는 몇이에요 8이 됩니다 X3 - 2를 넣어도 8이 돼요 자 그럼 그래프의 y 값이 두 배로 커진 모습을 확인할 수 있나요 지금 요렇게 모두 2배가 됐습니다 그러면 그래프가 어떻게 그려지냐 제가 빨간색으로 그리면 요렇게 생긴 겁니다 즉 a 값이 크면 클수록 y축의 가까워지는 거예요 왜냐 x를 넣었을 때 더 빨리 커지니까 더 빨리 커지니까 y축의 가까워지는 겁니다 자 그 말이 무슨 말이냐요 말입니다 a의 값이 클수록 y축에 가까워진다 그랬어요 근데 지금 여기에 절댓값이 붙어 있죠 절댓값이 붙어 있는데 우리가 지금 확인했던 건 a가 양수일 때만 넣어 본 거예요 자 a가 음수일 때는 그래프가 어떻게 그려지냐면요 만약에 우리가 y는 지금 -x²의 그래프를 그린다면요 위에서 그렸던 이 y는 x 제곱의 그래프와 딱 반대 방향으로 그려집니다 왜냐 부호만 바뀌었으니까 y 값의 부호만 바뀌었기 때문에 아래로 그래프가 그려지는 것을 우리가 확인을할 수 있습니다 그럼 -2x²은 어떻게 그려지겠어요 이렇게 그려집니다 얘는 a가 -2일 때고요 얘는 a가 -1이 됩니다 그러면 절댓값 a의 값이 커지면 커질수록 절댓값 a의 값이 커지면 커질수록 y축에 가까워지는 모습 확인할 수 있죠

자 그리고 우리가 추가적으로 하나만 더 설명드리면 a가 양수일 때는 이쪽에 그려진 포물선이라 그랬죠 아래로 볼록하다고 표현합니다 그리고 a가 음수면 위로 볼록이라고 표현을 해 줘요 자 이게 우리 2차 함수 기본형의 간단한 성질들이고요 넘어가서요 우리가 표준형을 학습할 겁니다 자 우리가 원래 y는 ax² 그래프를 이렇게 그릴 수 있습니다 y축을 그리고 x축을 이렇게 그리고요 잠수 그래프를 이렇게 그릴 수 있겠죠 자 얘가 지금 y는 x제곱입니다 근데 얘를 어떻게 옮길 거냐면x축으로 p만큼 이동을 시킬 거고요 y 축으로 q만큼 평행 이동을 시킬 겁니다 그러면 여기에 있는 점이 이쪽으로 p만큼 가고 이쪽으로 q만큼 오겠죠 그러면 여기가 이제 꼭짓점으로 하는 2차 함수 그래프가 세로 그려지는 겁니다 그러면 이제 우리가 원래 그렸던이 y는 x제곱이라는 그래프에서 x축으로 p만큼 옮기고 y축으로 q만큼 옮긴이 파란색 2차 함수 그래프의 식을 구하고 싶은 거예요 자 식을 구하고 싶은 건데 원래 y는 x² 위에 그래프 위에 임의의 점을 x 콤마 y라고 합시다 x 콤마 y라고 하면 얘도 지금 x축으로 p만큼 가고 y축으로 q만큼 가겠죠 그래서 새로운 점 추가됐다고 합시다 그 q의 좌표를요 제가x 프라임 콤마 y 프라임이라고 할 거예요 그럼 x와 x 프라임 사이의 관계가 어떻게 되냐면 x 프라임은요 원래 x에 있던 점을 x축으로 p만큼 옮겼으니까 이렇게 쓸 수 있겠죠 여기가 지금 p니까 x 점에서 p만큼 옮기면 여기 x 프라임이 되는 거잖아요 마찬가지로 y축의 방향으로 q마크 옮겼기 때문에 와이프라임은 와이 플러스 추가됩니다 자 그러면 우리가 지금 궁금한 건 뭐냐면이 X 프라임과 Y 프라임 사이에 관계식이 알고 싶은 거예요 그런데 지금 알고 있는 건 뭐 밖에 없어요 x와 y 사이의 관계만 알고 있는 거예요 그게 뭐예요 y는 x 제곱이라는 관계죠 그래서 우리는이 식을 활용해서 X 프라임과 Y 프라임에 관한 식으로 바꿔 줄 겁니다 어떻게 바꿔 줄 거냐면요 x는 x 프라임 마이너스 p죠 y는 y 프라임 - q입니다 그래서 얘네를 여기다가 대입을 해줘요데이블에 주면 시계 어떻게 되는 거예요 와이파이 마이너스 q는 x 프라임 마이너스 p의 제곱이 되는 겁니다 그런데 우리가 함수를 표현할 때는 y는 꼴로 표현을 해주죠 그래서 마이너스 q를 이항시켜주면 와이프라임은 x 프라임 마이너스 p의 제곱 플러스 주가 되는 겁니다 따라서 우리가 궁금했던이 평행 이동시킨 후에 함수식은 요렇게 되는 거예요 자 근데 우리가 지금 y는 ax²까지 옮겼어요 아 y는 x²까지 옮겼어요 x 제곱 가지고 옮겼는데 여기 만약 x 제곱이 아니라 ax 제곱이라면 여기 앞에 지금 a가 계속 달리겠죠 ax 제곱 a a 그래서 우리는이 형태 바로이 y는 a의 x 마이너스 p의 제곱 플러스 q를 2차 함수의 표준형이라고 합니다 왜냐 우리 눈에 꼭짓점이 보이거든요 자 꼭짓점이 지금몇 콤마 몇에서 0이었던 꼭짓점이 p만큼 가고 q만큼 가서 p 콤마 q로 가는 겁니다 그럼 p 콤마 q로 갔으니까 꼭짓점이 이거거든요 그러면 우리 욕을 딱 보고서 아 요거를 0으로 만드는 x값 p가 꼭짓점의 x좌표이고 뒤에 달러 있는 +q가 꼭짓점의 Y 좌표 축구나 요거를 우리가 한눈에 볼 수 있다는 말입니다

자 하나 더 짚고 넘어갈게요 추계방정식은요 원래 여기였죠 y축이었어요 원래 녹색으로 할게요 원래 y축이었습니다 근데 지금 그게 어디로 갔어요 x축으로 피만큼 같습니다 이렇게 되죠 자 근데 y 축으로 평행 이동시킨다고 추계방정식이 변할까요 안 변합니다 그래서 추계방정식은 원래 x는 0이었는데 x 축으로 평행 이동시킨 양만큼만더해줘서 x는 b라는 축의 방정식이 돼 되는 겁니다 자 그럼 이제 넘어가겠습니다 이제 일반형이라는 건요 우리가 문제를 풀 때 문제에서 이렇게 주면 참 좋아요 얼마나 좋아요 꼭짓점을 바로 알 수 있거든요 자 요거 예시로 한번 들어볼게요 y는 문제에서 x-2의 제곱 플러스 5라 그랬어요 그러면 요거에 꼭짓점이 몇 콤마 몇이에요 x-2를 0으로 만드는 x값 2와 뒤에 딸려 있는 5를 꼭짓점의 y 좌표로 한다고 했어요 아 꼭지점 2 5구나 함께 간단하게 구할 수가 있거든요 그런데 일반형으로 주면 문제에서 일반형으로 이렇게 줘버리면 우리 상당히 곤란합니다 꼭짓점이 한눈에 안 보이거든요 그래서 지금 교재에 나와 있는 식은 ax² + bx + c를 표준형으로 바꿔주는 과정이 나와 있는 거예요 자 그런데이 과정을 우리가 여기서 여기로넘어가는이 과정을 식으로 외우는 것보다는 과정이 어떻게 되는지 하는 방법을 알아야 됩니다

우리가 완전 제곱식을 만드는 경우가 앞으로 정말 많이 생기기 때문에 이 방법을 한 번 알려드리도록 할게요 자 예시로 제가 뭐를 드릴 거냐면요 y는 2x 제곱 플러스 2x - 3이라는 2차 함수식을 들릴 겁니다 자 얘에서 꼭짓점을 찾기 위해 우리는 완전 제곱식으로 바꿔주고 표준형으로 바꿔줘야 되는 거예요 자 그럼 가장 먼저 뭐를 하느냐 x 제곱의 계수로 묶습니다 어떤 거를요 x 제곱과 x의 항만요이 장과 1차항만 먹는 거예요 그럼 여기 어떻게 되죠 플러스 x가 되죠 괄호 닫고 dm-3 그대로 달아줘요 자 얘를 만져지고 법칙으로 만들기 위해 우리가 어떤 상수항이 필요한지가 지금 궁금한 거예요 그러면 원래x+a라는 식을 전개를 하면 x의 제곱 플러스 2a의 x+a의 제곱이죠 자 1차항의 계수와 상수항이 계수가 무슨 관계예요 반으로 나누고 제곱을 하는 그런 구조를 갖게 됩니다 그러면이 a가 어디로 가는 거예요 여기로 가는 거죠 얘랑 얘랑 같아지는 거예요 그래서 우리는이 x의 계수 지금 몇이에요 1이죠 반으로 나눕니다 그러면 1/2이죠 이번엔 제곱을 할 거예요 그럼 몇이 되는 거예요 4분의 1이 되죠 4분의 1을 더해줍니다 4분의 1이 필요한 거거든 근데 맘대로 더해주면 안 되죠 우리 4분의 1을 그냥 식에다가 더해주면 다른식이 돼 버리기 때문에 다시 원래대로 돌리기 위해 4분의 1을 빼주는 겁니다 그 다음에요 여기에 있는이 마이너스 4분의 1을 바깥으로 빼 줄 거예요 근데 그냥 빼주냐 안 되죠앞에 있는 일을 곱해줘야 됩니다 그러면식이 어떻게 되냐 지금 이에 x의 제곱 플러스 x + 4분의 1이고요 원래 -3 있었고 - 4분의 1에다가 2를 곱해서 나오는 거예요 그러면 2의 요게 지금 뭐의 제곱이 되는 거예요 그러면 얘가 바로 X + 1/2 의 제곱이 되는 겁니다 2분의 1의 제곱이 되고 뒤에는 얘가 지금 -3 - 2분의 1이니까 - 2분의 7이 되는 것이죠 그러면 원래 이렇게 써 있었던 2차 함수식에서 우리는 이렇게 바꾸는데 성공을 했어요 그럼 우리 눈으로 꼭짓점이 지금 보이나요 꼭짓점 어떻게 찾아요 x+1/2의 제곱에서 요거를 0으로 만드는 x값 - 2분의 1이 꼭짓점의 x좌표고요 g에 딸려 있는 -2분의 7이 꼭짓점에 y 좌표입니다 따라서 꼭짓점이 좌표는 -2분의 1 - 2분의 7이 되는 것이죠 여기까지 되셨나요 이 꼭짓점 찾기 위해 완전 제곱식 만들어 주는 거죠 정말 중요합니다 꼭 알아두셔야 돼요

자 그러면 다시 교재로 돌아와서 지금 교재에 보면 요런 식들이 있어요 꼭지점에 좌표가 주어져 있고 시계방정식이 주어져 있는데 외운다기 보다는요 방법을 알아야 된다고 말씀을 드렸어요 그런데 요거는 하나 외웠으면 좋겠습니다 바로 이 꼭짓점의 x좌표이 꼭짓점의 x좌표가 꽤나 자주 쓰입니다 추계방정식도 똑같아요 꼭짓점의 x좌표에서 두 개 방정식이 되는 거라 같은 값을 보이는 겁니다이 꼭짓점의 x좌표 -2a라는 사실은 요거는 외우셨으면 좋겠습니다 외우고 가는 걸로 할게요 자 이번엔 이차함수의 19학기인데요 우리가 문제를 풀다 보면 이차함수의식을 모르는데 그거를 문자로 잡고 구해야 되는 경우가 굉장히 많습니다 그런데 각 상황에 따라서 문자를 다르게 잡아 줘야 돼요 자 제가 1번하고 2번은 비슷한 걸로 볼 거고요 1번은 꼭지점에 좌표가 주어지는 경우고 2번은 주계방정식이 주어지는 경우에요 추계방정식도 어쨌든 꼭짓점에 x 좌표죠 그렇기 때문에 우리는 두 경우에 대해서 요렇게 꼭짓점이 딱 한눈에 보이는 형태로 와인인 a의 x-b의 제곱 + q꼴로 놓게 됩니다 자 x축과의 두 교점이 주어질 때는요 예를 들어 알파랑 베타예요 그럼 요거는 어떤 방정식 ax² + bx + c의 근이죠 ax 제곱 플러스 bx + c는 0의 근인데 요거의 근이니까 우리는 어떻게 놓을 수 있어요 a의 x - 알파의 x - 베타는 0이라고 나옵니다 요거에 근이 알파랑 베타민요 우리가 함수에서 x과의 교점은y 값이 0일 되니까 어떤 y는 a의 x - 알파 x 마이너스 베타에다가 0을 넣었을 때 x값이 알파 베타가 나오는 거예요 그래서이 경우에도 마찬가지로 문자를 요렇게 두 근이 눈에 딱 보이는 형태로 이렇게 잡아 주게 되는 거예요

자 마지막으로요 그래프의 세점이 주어지는데이 색이 점이 어떤 꼭짓점이나 x축과의 교점이나 이런 걸 의미하지 않을 때는 그냥 ax² + bx+c라고 잡고 a값 b 값이 값 구해주시면 됩니다 자 넘어가세요 이번엔 2차 함수 계수의 부호인데요 우리가 y=ax² + bx + c라는 요런 식을 주고서 abc의 부를 결정하라고 하는 문제들이 나옵니다 a b c 자 그랬을 때 abc의 부호를 결정하는게 어떤 건지 한번 확인을 해 볼게요 가장 먼저 a의 부호를 우리가 한눈에 보고결정을 할 수가 있습니다 y축을 기준으로 왼쪽에 있냐 y축을 기준으로 오른쪽에 있냐를 판별하는 거예요

자 그러면이 축의 방정식은 제가 아까 이건 외우고 가자 그랬죠 그러면 걔가 지금 x가 -2a라는 축의 방정식이거든요이 빨간선이 y축의 왼쪽에 있으면 음수죠 얘가 음수예요 그러면 우리가 아까 1번에서 a의 부호를 판별을 했어요 그래프가 아래로 볼록한지 위로 볼록한지에 따라서 a값의 부를 결정한 상태입니다 그러면 -2a가 만약에 플러스라면 -b가 음수니까 b는 뭐예요 양수가 돼야 되죠 요렇게 a와 B 부를 고려해서 b값의 부호를 결정해 주는 겁니다 그럼 제가 예시를 하나 들어볼게요 자 만약에 그래프가 요렇게 생겼어요 이렇게 돼 있는데 이렇게 생긴 거예요 자 a값 세부는 양수의 음수예요 위로 볼록 하니까 음수죠 음수고요 추계방정식은 지금 여기 있습니다 여기에 있는데 y축의 오른쪽에 있으니까 축의 방정식 x는 -2a 분의 b라는게양수인 거예요 근데 a가 음수죠 얘가 지금 음수입니다 음수 그러면 여기도 음수고 여기도 음수네요 그러면 두 개 플러스로 바꿔줄 수 있죠 그럼 결론적으로 뭐가 되는 거예요 b가 양수다라는 결론을 요렇게 얻어내는 겁니다 되셨나요

자 이번엔 씨에버를 결정하는 방법을 배울 건데 자 C 부호는요 뭐라고 써 있냐면 y축과의 교점에 따라 교점의 위치에 따라 결정한다고 써 있어요 자 왜 그러냐면요 우리가 지금 기본적으로 y=ax² + bx + c예요 그러면 x에다가 0을 대입해 버리면 그때이 y 값이 뭐가 나오는 거예요 c가 나오는 거죠 y 값이 c가 나오기 때문에이 그래프는 0 콤마 c를 지나는 2차 함수인 겁니다 자 0 c니까 어디 위치에 있는 거예요 바로 y축 위에 있는 점 c인 겁니다 그러면이 값 자체가 c니까교점이 이렇게 y축 x축 위에 있으면 c가 양수라는 결론 내릴 수 있는 거고요 지갑 밑에 있으면 c가 음수라는 결론 내릴 수 있는 겁니다 자 요게 ABC 계수의 부호를 판별하는 방법이에요

자 넘어가겠습니다 이번엔 그래프 예제 풀이 요거까지 하고 개념 예제 2개 정도 풀어보고 이번 시간 마칠 건데요 우리가 배운 내용을 토대로 한번 개념 예제를 풀어보도록 하겠습니다 y는 3x 제곱 플러스 6ax - 2a² + b의 꼭짓점 좌표가 1이래요 자 그러면 지금 요거에서 우리가 꼭짓점을 찾아 줘야 되니까 완전 제곱식을 만들어 줘야 되죠 그러면 어떻게 만들 수 있어요 가장 먼저 제가 뭐를 하라 그랬죠 2차항에 계수로 묶어 두라 그랬어요 3호로 묶는 거죠 그러면 x의 제곱 플러스 2ax고요 뒤에 상수는 그대로 내 둡니다 그 다음에 2ax를 가지고필요한 상수항을 만들어 주는데 어떻게 만들어준다 그랬어요 발의 제곱 반의 제곱 플러스 a의 제곱이 됩니다 근데 그냥 더하면 돼요 빼야죠 마이너스 a² 한번 빼 줘야 됩니다 그럼이 마이너스 a²은 어떻게 한다 그랬어요 밖으로 나오는데 앞에 곱해져 있는 3하고 곱해서 밖으로 나오는 거예요 그러면 -3a 제곱이 되겠네요 자 그럼 지금까지 정리한 식을 한번 다시 써주면 3회 x + a의 제곱이고요 - oa의 제곱 플러스 b입니다 자 그러면 우리가 이걸 봤을 때 요거를 0으로 만드는 x 값인 - a가 꼭짓점의 x 좌표고요 극곡지점에 24표가 문제에서 2b라 그랬죠 여기 2b라 그랬어요 그러면 우리가 a 값을 알 수 있네요 a는 -1입니다 그러면 지금 여기에서 -5a² + b가 꼭짓점의 y 좌표고y는 마이너스 oa의 제곱 플러스 b고 얘가 뭐랑 같은 거예요 5랑 같은 겁니다 근데 우리가 뭘 구했어요 a가 -1이란 걸 구했죠 요거를 대입을 해주면요 우리가 B 값을 찾아낼 수 있습니다 b는 10이네요 따라서 ab의 값은 - 10으로 우리가 계산을 해 주시면 되고요

예제한 문제도 풀어보도록 하겠습니다 우리가 투기방정식이 x는 -1이고 두 점 -4 21 11을 지나는 2차 함수의 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표를 구하는 문제입니다 그러면 우리는 2차 함수 식을 구해 줄 거고요 두 개방정식이 x는 -1이라 했으니 꼭짓점의 x좌표가 -1이라는 소리죠 그러면 우리는 2차 함수식을 이렇게 잡아 줄 거예요 y는 a의 x+1의 제곱 플러스 q라고 잡을 겁니다 그 다음에 마이너스 4 21을 대입을 해주면 21은 9a+q라고계산이 되고요 11을 마찬가지로 또 대입을 해주면 11은 4a + q입니다 그래서 주식을 연립을 해주기 위해 직과식을 빼 줄 거예요 10은 5a죠 그럼 a는 뭐예요 2입니다 축 값도 구할 수 있어요 다시 대입해서 여기 있는 식에다가 a는 2를 대입하면 21은 18 + q네요 따라서 주는 3인거를 우리가 여기서 구할 수가 있습니다