[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 이차방정식과 이차함수의 관계

자 우리가 오늘 아스파일 단어는 2차 방정식과 2차 함수의 관계입니다 우리가 이번 2차 함수 단원을 학습하는데 있어서 정말 중요한 내용을 담고 있고요 이 단어뿐만 아니라 다른 단원을 학습할 때에도 정말 중요한 논리를 담고 있기 때문에 꼭 꼼꼼하게 공부하시라고 당부드리고 싶어요 중요한 내용을 담고 있으니까 집중해서 잘 따라오시기 바라겠고요 시작을 해보겠습니다 2차 함수의 그래프와 2차방정식의 해라고 써 있는데요 저는 2차 함수와 2차 방정식을 지금 설명드리기 전에 일단은 1차 함수와 1차 방정식의 관계에 대해 먼저 복습을 하고 가고 싶어요

우리가 y는 ax+b라는 직선을 1차 함수라고 하죠 그래서 제가 이 직선을 ax+b라고 하겠습니다 그리고 직선을 하나 더 그릴 건데 그 직선을 저는 y는 mx+n이라고 하겠습니다 그러면 지금 두 그래프가 만나는 점이 하나가 있어요 요렇게 점이 하나 보이죠 이 점을 우리가 뭐라 해요 교점이라고 하죠 교점 요렇게 두 직선이 만나는 점을 교점이라고 하는데 교점이라는 것은이 직선 위에도 있고 이 직선 위에도 있어서 두 직선이 모두 지나는 점을 교점이라고 합니다 자 근데이 교점을 구하기 위해서는 우리가 어떤 일을 해줘야 돼요 바로 연립방정식을 풀어주죠 이 와인은 ax+b라는 1차 함수를 1차 방정식이라고 생각하고 마찬가지로 y는 mx+n이라는 직선도 1차 방정식이라고 생각을 해서 두 1차 방정식을 연립을 하게 됩니다 자 y = ax +b를 지나는 x 콤마 y라는 해가 무수히 많을 거고요 마찬가지로 y는 mx+n을 지나는 x 콤마 y도 무수히 많을 겁니다 근데 우리가 연립을 해준다는 것은 주 직선을 동시에 만족하는 점을 찾아주는 행위죠 여기에도 있고 여기에도 있는 그런 점을 찾아주는 거잖아요 연립을 해서 나오는 해는 동시에 만족하는 거예요 즉 교점도 두 직선을 동시에 만족하는 거고 1차 방정식을 연립해서 나오는이 해도 동시에 만족하는 겁니다 즉 요렇게 말씀드릴 거예요 함수의 교점은요 뭐와 같다고요 방정식의 해와 같다고 제가 강조를 드립니다 교점과 해가똑같은 거예요 요게 정말 중요합니다 방정식의 해는 함수의 교점이에요

자 그러면 우리는 지금 이제 2차 함수와 2차 방정식으로 넘어가서 대입을 해 볼 건데요 y는 ax² + bx + c랑요 x축과의 교점을 지금 교재에서 설명을 하고 있어요 그러면 제가 아까 교점은 뭐라 그랬어요 연립을 했을 때 나오는 해라 그랬어요 자 x축 이렇게 있습니다 x축이 이렇게 있고 y는 ax² + bx + c라는 직선이 이렇게 있어요 그러면 교점이 어디냐면 여기거든요 여기랑 여기 요기가 궁금한 거예요 근데 그러려면 어떻게 찾아 줘야 된다고요 연립을 해 줘야 돼요 자 하나는 2차 함수니까 ax 제곱 플러스 bx + c라고 써주면 되고요 x 축은요요거죠 요거 x축 위에 있는 점들은 모든 점들의 y 좌표가 0입니다 여기에 있는 점들은 x좌표는 뭔지 모르겠는데 y 좌표가 모조리다 0인 거예요 그래서 우리가 어떻게 쓸 수 있냐면 y는 0이라고 쓸 수 있습니다 그래서 y는 ax² + bx + c를 지나면서 요거를 지나면서 y는 0이라는 직선을 요거라는 직선을 지나는이 교점을 찾기 위해 찾기 위해 두 개를 연립해 주는 겁니다 자 연립은 어떻게 하겠어요 y는 0이니까 여기다가 0을 대입을 합니다 그러면 뭐가 나오는 거예요 ax^2 + bx + c는 0이라는 2차 방정식이 나오는 겁니다 그럼이 방정식의 근이 뭐예요 이 방정식의 근이 바로 교점의 좌표인 거예요 교점의 정확히 x 좌표인 거죠다시 한번 설명드릴게요 지금 우리가 요렇게 연립을 해줬어요 얘도 지나면서 얘도 지나는 점을 찾기 위해서요 그래프 상에선 어디 있는 거예요 그래프가 x과 만나는 점요 점과 요점이에요 그러면 연립을 했을 때 나오는 방정식은 뭐예요 ax² + bx + c는 0이에요 그래서 이걸 풀었을 때 나오는 근이 교점의 x좌표입니다 그러면요 제가 예제로 이번 한번 해 볼게요 예제로 y는 x의 제곱 마이너스 5X + 4라는 함수하여 x축이 만나는 교점의 좌표가 궁금해요 그러면 어떻게 하면 돼요 연립을 하면 돼요 x축이란 거는 y는 0이라는 직선이니까 y는 0과 y는 x 제곱 마이너스 5X + 4라는 직선을 연립을 해서 x 제곱 마이너스 5X +4는 0이라는 방정식을 풀게 됩니다 그러면요 요거를 인수분했을 때 x-1의 x-4는 0이니까 x값은 뭐 아니면 뭐예요 e란이면 4죠 그러면 어차피 y 좌표는 0이니까 1 0과 4 0이라는 좌표가 나오게 되는 겁니다 즉 그래프 상에서는 x축이 있고 함수가 이렇게 있을 때 여기 좌표가 먼 거예요 여기 좌표가 1과 4중에 작은 1 0이고요 여기가 1과 4중의 짝은 4 0인 겁니다 여기까지 되셨나요

자 그럼 넘어가 보겠습니다 이번엔 이차함수 그래프와 x축과의 관계인데요 우리가 y는 ax^2 + 2x + c라는 함수하여 y는 0이라는 거를 연립을 해서 결국 ax 제곱 플러스 bx + c는 0이라는방정식을 풀게 된다고 했어요 근데 우리가 방정식이란 것은 2차 방정식이라는 거는 근이 항상 두 개가 있는게 아니죠 근이 두 개일 수도 있지만 근을 중근을 가질 수도 있고요 허근을 가질 수도 있습니다 혹은 두 개를 가질 수도 있죠 그 두 개는 제가 실근이라고 쓰겠습니다 요렇게 근을 가질 수가 있는데 실근 2개를 가지면요 판별식이 어떻게 돼요 0보다 커요 중근 가지면 판별식이 0이랑 같고요 허근 가지면 판별식이 0보다 작습니다 그러면 실근 2개 갖는다는 거는 교점을 몇 개 갖는다는 거예요 교점을 두 개 갖는다는 겁니다 중금 갖는다는 것은요 원래 근이 두 개인데 얘네들이 겹쳐서 하나처럼 보이는 거죠 그래프 상에서는 값이 하나니까 교점을 한 개 갖는 겁니다 허근 갖는다는 것은요 우리가 허근이란건 허수니까 좌표 평면이나 수직선 위에 표현을 할 수가 없어요 그래서 이때는 교점이 없습니다 교점을 연계 갖는 거예요

그래서 우리가 지금 여기서 뭘 하고 싶은 거냐면 바로 이 판별식의 값에 따라서 교점 개수를 알 수 있고 이 교점 개수에 따라서 그래프가 어떻게 생기는지 한번 그려 볼 거예요 자 가장 먼저요 판별식이 0보다 클 때 한번 보겠습니다 일단은이 와인은 ax² + BX + c라는 그래프에서 a 값이 최고차항 계수가 양수일 때만 먼저 고려를 해 볼 거예요 양수일 때는요 양수일 때는 그래프가 아래로 불러 가죠 아래로 불러 가니까 자 이렇게 함수가 생겨요 당연히 얘도 이렇게 생길 거고요 얘도 이렇게 생길 겁니다 그런데 판별식이 0보다 크면 아까 뭐라 그랬어요 판별식 0보다 크면 교점을 두 개 갖는다 그랬어요 그럼 교점 두 개 가지려면 x축이 어디에 있어야 될까요 이렇게 지나야 되는 거죠 얘가 x축입니다 그러면 교점이 지금 두 개를 생기고 있죠 자 판별식이 0이에요 판별식이 0이면 교점이 하나여야 되거든요 그 x축이 어디 있어야 되냐 바로 이렇게 끝에 끝에 딱 걸쳐서 교점이 여기 치듯이 만나서 하나 생기는 겁니다 우리가 이거를 어떤 말로도 표현을 하냐면 접한다라고도 표현을 합니다 접한다 치듯이 만나는 걸 접한다라고 표현을 하는 거예요 자 마지막으로요 판별식 0보다 작으면 만나면 안 되죠 그러면 x축이 어디 있어야 되는 거예요 이렇게 있어서 x과 그래프가 만나는 점이 없어야 되는 겁니다 자 이번에는 최고창인 계수가 음수여서 그래프의 개형이 위로 볼록한 이렇게 위로 볼록한 경우도 한번 그려 볼게요 이렇게요렇게 요렇게 되면요 x축이 여기는 지금 교점 두 개 생겨야 되죠 판별식 경보다 크면 교점 2개 생겨야 되니까 이렇게 지나야 되고요 판별식이 0이면 여기 끝에서 치듯이 만나서 이렇게 지나야 되고 0보다 작으면 이렇게 지나야 되는 겁니다 자 그럼 교점 개수는 판별식 0보다 클 때 몇 개예요 두 개예요 0이랑 같으면 몇 개예요 한 개예요 0보다 작으면 몇 개예요 0개입니다 자 그러면 우리가 판별식 가지고 그래프와 이차함수 그래프와 y는 0이라는 x축과의 교점 개수를 판별을 할 수가 있는 겁니다

자 그러면 개념 예제 한번 몇 개 풀어보도록 할게요 자 2차 함수 그래프와 x축과의 위치 관계를 구하라고 했어요 자 1번 보시면요 y는 x 제곱 플러스 4x+7인데요 얘랑 y는 0 h축과의 관계니까 y는 0을 연립했을 때 나오는 x의 제곱4x 7등 0이라는 2차 방정식에서 근이 몇 개인지 판별하면 됩니다 자 판별식을 써보면요 4의 제곱 마이너스 28이라서 16 - 28이라 - 12입니다 판별식이 0보다 작네요 그러면 근이 있어요 없어요 근이 없어요 근이 0개면 교점이 몇 개라는 소리예요 영계라는 소리죠 실근이 연기라는 겁니다 실근이 0개면 교점이 0개인 거예요 그러면 그래프는 어떻게 그려지겠어요 이렇게 만나지 않는다 자 같은 표현입니다 다 같은 표현이에요 여기 써 있는 교점이 연계라는 말이나 만나지 않는다는 말이나 똑같은 말입니다 자 2번 풀어볼게요 y는 x제곱 마이너스 6x+9고요 그러면 우리가 이제 조금 익숙해지셨을 거예요 x축과 만나는 교점을 찾는 거니까 그냥 바로 어 그러면x 제곱 마이너스 6x + 9는 0의 근의 개수를 알아보라는 거구나 판별식을 씁니다 36 - 4 곱하기 9라서 0이 되고요 판별식이 0이 될 때 근이 몇 개예요 실근이 중근 하나고 실근 1개입니다 같은 두근이고 실근 한 개 갖는 거예요 그러면 교점이 어떻게 되는 거예요 한 개 갖는 거죠 그러면 요렇게 되고 이렇게 됩니다 이렇게 돼서 접한다라고 하면 되겠네요 자 마지막으로 3번 풀 거고요 y는 2x 제곱 마이너스 2x - 3인데요 얘도 마찬가지로 x축과 교점을 찾으니까 EX 제곱 마이너스 2x - 3은 0의 근 개수로 판별해 주면 되고요 판별식 d는 4-4 곱하기 2 곱하기 - 3이라서 얘는4 + 24라 28로 계산되네요 양수네요 그럼 실금 몇 개 갖는 거예요 두 개 갖는 거죠 그럼 마찬가지로 교점도 두 개 같습니다 교점 2개 가지면 x과 그래프 상황의 관계는 교점 두 개 두 점에서 만난다라고 해주시면 됩니다

자 이 개념 예제도 한번 풀어보도록 하겠습니다 y=x²-6x + 2K + 1의 그래프와 x축의 위치 관계가 다음과 같다 그랬어요 그러면 그래프의 액수과의 위치 관계를 찾기 위해서는 우리가 판별식을 써주는 겁니다 그러면 두 점에서 만난다고 한 건요 근이 두 개니까 판별식이 0보다 큰 거죠 한 점에서 만나는 건요 중근을 갖는 거니까 판별식이형이랑 같은 거예요 만나지 않는다는 거는 판별식이 0보다 작은 거죠 자 요렇게 되었을 때 우리가 지금 x제곱 마이너스 6x+2k+1은0이라는 방정식의 근의 개수가 궁금한 거고요 판별식 d를 써주면 36 - 4의 2k+1입니다 그러면 36 -8k - 4구요 32 - 8k니까 얘가 0보다 클 때랑 0이랑 같을 때랑 0보다 작을 때를 각각 구해주면 됩니다 자 요렇게 판별식은 한 번만 계산해 주시면 돼요 우리가 판별식 값이 변하는 건 아니니까 판별식 자체가 변하는 건 아니니까 한번 계산해 놓고 0보다 클 때 찾고 0이랑 같을 때 찾고 0보다 작을 때 찾고 이렇게 3번에 나눠 걸쳐 계산해 주시면 됩니다 자 요거 계산해 주면요 8로 나눴을 때 4 - k가 0보다 클 때죠 그러면 k값의 범위는 4보다 작습니다 그래서 이때 두 점에서 만나는 거고요 두 번째 경우인 0이랑 같을 때는요 마찬가지로 4-k가0이랑 같을 때입니다 그러면 k가 4일 되고요 이때 어떻게 되는 거예요 접하는 거죠 자 마지막 경우는요 0보다 작을 때니까 4-k가 0보다 작네요 그러면 k값의 범위가 어떻게 되는 거예요 4보다 크니까 만나지 않는다가 됩니다

자 그럼 이번엔 다음으로 넘어가 보도록 하겠습니다 자 2차 함수의 그래프와 직선의 교점인데요 일단 교재에 있는 내용을 읽어보면 y는 ax² + bx + c 그래프와 y는 mx+n의 교점의 x좌표는 ax² + bx + 2는 mx+n의 실근과 같다고 적혀 있어요 제가 오늘 계속 강조 드린 내용이 뭐예요 교점은 그래프의 교점은 뭐랑 같다고요 연립했을 때 나오는 해랑 같다고요 교점은 해와 같아요그러면 어떤 ax² + bx + c y는 ax² + bx + c라는 2차 함수와 y는 mx+n이라는 직선이 이렇게 있는데 교점이 존재해요 이 교점을 찾고 싶어요 그럼 어떻게 하면 된다고요 y는 mx+n이라는 직선과 y는 ax² + bx + c라는 2차 함수를 연립하면 된다고요 연립 연립했을 때 나오는 해 자 연립하면 어떤식이 나와요 ax 되고 플러스 bx + c는 mx+n이라는 2차 방정식이 나옵니다 이거에 해가 교점의 x 좌표인 거예요 한번 예제를 직접 풀어보겠습니다 자 우리가 y는 x의 제곱 마이너스 7x +5라는 2차 함수와 y는 -3x+2라는 1차 함수가 있습니다 직선이죠 그러면 x² - 7x+5가 이렇게 생겼고 -3x+2라는 직선이 이렇게 생겼어요 그러면 교점이 여기에도 있고 여기에도 있죠 이 좌표를 구할 거예요 좌표를 구하기 위해 어떻게 하면 된다고요 두 개를 연립하면 된다고요 그래서 여기에 있는 y를 여기다가 대입을 해주면 우리가 마이너스 3X + 2는 x의 제곱 마이너스 7x+5라는 2차 방정식이 만들어지고요 x²-4x + 3은 0이라서 x-1의 x-3은 0이라고 인수분해되고 x값은 1 또는 3입니다 그러면 여기에 x좌표는 1이고 여기에 x좌표는 3인 거예요y 좌표도 궁금합니다 그러면 여기다가 대입해서 y 값을 얻어내면 되겠죠 여기에 y좌표는 1을 집어넣었을 땐 -1이 나오고요 여기에 y 좌표는 3을 넣었을 때 -7이 나오네요 그러면 우리가 지금 교점은 연립해서 나오는 해라 그랬어요 그런데 2차 방정식이 그늘 항상 갖는 거는 아니죠 이차방정식이 그늘 항상 갖는 거는 아니에요 근이 두 개일 수도 있고 한 개일 수도 있고 연계일 수도 있어요 그런데 이거 가지고 우리가 그럼 교점 개수가 두 개인 경우 한 개인 경우 연계인 경우라고 볼 수 있는 거예요 근의 개수와 교점 개수가 일치하니까 그러면 만약에 교점 개수가 궁금해요 그러면 어떻게 하면 될까요 판별식을 활용해 주면 됩니다 우리가 판별식을 활용해서 근의 개수 즉 교점 개수를 찾아줄 수 있는 것이죠

자 여긴 내용을 한번 볼건데요 자 여기서 말하는 판별식은요 ax² + bx + c와 mx+n을 연립했을 때 나오는 방정식을 정리를 해주면 요런 방정식을 얻을 수가 있죠 ax제곱에 b-m의 x + c-n은 0이라는 방정식이죠 이거에 판별식을 말하는 겁니다 요거에 판별식 d를 말하는 거예요 요게 이제 b-m의 제곱이 되고요 -4a a 곱하기 c-n이 되겠죠요 식을 외우는 건 아닙니다 우리가 지금 문제를 풀 때는 요게 지금 숫자로 들어와 있기 때문에 식을 외우는 건 아니에요 자 판별식은 요렇게 계산을 해 줄 거고요 판별식이 양수냐 0이냐 음이냐에 따라서 달라질 텐데 a 값이 양수일 때 즉 아래로 볼록할 때만 우리가 한번 고려를 해보도록 하겠습니다 자 그래프는 일단 이렇게 그려질 거고요 이렇게 이렇게 그려 줄 거고요x축이 아니라 지금은 직선입니다 y는 mx+n이라는 직선이고 기울기가 양수에서요 직선이라고 할게요 자 판별식이 양수면요 교점이 몇 개예요 두 개죠 그러면 이렇게 생기는 겁니다 자 판별식이 0이에요 그러면 시대시 만나요 그럼 뭐라고 표현해요 접한다라고 하죠 접한다 자 판별식이 0보다 작네요 교점이 없어야 됩니다 이렇게요 자 그렇죠 얘는 교점이 두 개 두 점에서 만난다 얘는 만나지 않는다 이렇게 표현을 해주시면 되고요 급점 개수는 눈에 보이는 대로 두 개 한 개 0개라고 적어 주시면 됩니다 자 그럼 이제 마지막으로 관련된 개념 예제 한번 풀어 볼 건데요 와인은 x+k와 x² + 5x의 그래프의 위치 관계가 다음과 같대요 그러면 판별식을 먼저 구합시다 자 판별식을 구해주면요 y는x² + 5X 얘랑 x + k랑 같고요 정리를 해주면 x 제곱 플러스 4x-k는 0입니다 여기서 판별식 d를 써주면요 4의 제곱 마이너스 4 * - k고 16 + 4k죠 얘가 양수면 두 점에서 만나죠 0이면 한 점에서 만나고요 0보다 작으면 만나지 않습니다 따라서요 범위에서 k는 -4보다 크고요 여기선 k가 -4라고 되고 여기선 키가 -4보다 작다고 나오네요 그래서 두 점에서 만나는 거 k는 -4보다 크다 여기는 k는 0이다 여기는 아 0이 아니죠 죄송합니다 체인은 -4와 같다 여기는 k가 -4보다 작다 이렇게 마무리해 주시면 됩니다

자 오늘 배운 내용 여기까지고요 제일 중요한 내용은 연립방정식을 풀었을 때 나오는 해는 그래프의 교점에 좌표다 이것만머릿속에 꼭 집어넣고 복습을 해주시기 바랍니다 감사합니다