[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 이차함수의 최대·최소

자 우리가 오늘 학습할 내용은 2차 함수의 최대와 최소입니다 일단은 2차 함수의 최대값 최소값 구하는 방법에 대해 학습을 할 거고요 그 다음에이 최대 최소 구하는 방법을 활용을 해서 다른 최대 최소 구하는 방법을 배워 볼 겁니다

자 그러면요 일단은 이차함수의 최대 최소 구하는 방법 먼저 학습을 할 건데요 최대 최소 구하라는 말이 어떤 최대 최소를 구하라는 말이냐면 일단은 y 값의 최대 최소를 구하라는 말이에요 그러면 y 값은 y축에서 이렇게 세로축인데 위로 가면 갈수록 크죠 그리고 아래로가 열면 갈수록 작아져요 그래서 우리는 위에 있으면 있을수록 크니까 가장 위에 있는 걸 최댓값이라고 할 거고요 가장 밑에 있는 걸 최소값으로 찾아 줄 겁니다자 그러면 최대 최소를 어디서 갔냐 그러면 가장 중요한 포인트는 우리가 꼭짓점 이에요 꼭짓점을 안 찾고 최대 채소를 찾는다 그거는 정말 불가능합니다 무조건 꼭짓점을 찾고 그 다음에 생각을 해주는 거예요 자 그러면 우리가 꼭짓점을 찾기 위해선 어떤 작업을 해줘야 돼요 만약에 y는 ax 제곱 플러스 bx + c로 주어져 있으면 이거를 완전 제곱식으로 바꿔줘야 됩니다 요런 형태로요 이런 형태로 바꿔줘야 우리가 꼭짓점을 찾을 수 있잖아요 그러면 우리가 최대 최소 구하는 문제에서 어떤 2차식이 주어졌어요 2차 함수가 주어졌어요 그러면 완전 제곱식으로 바꿔서 꼭짓점 찾고 시작하는 겁니다

자 완전 제곱 바꾸는 거 해 줘야 돼요 그러면 자 꼭짓점을 찾았다고 합시다 꼭짓점을 찾아서 그래프를 그릴 건데 그래프를 그릴 때 최고창의 계수가 양수냐 음수냐에 따라서도 최대값최소값이 달라집니다 첫 번째로 만약에 양수면요 그래프가 아래로 볼록하죠 그래서 그래프가 이렇게 생겼을 거예요 이렇게 생겼을 텐데 자 가장 밑에 있는 값이 최소값이라 그랬어요 그럼 어디에요 여기죠 여기 여기가 최소값입니다 최댓값은 가장 위에 있는게 최댓값인데 지금 그래프를 보면 얘는 계속 올라갈 수 있죠 그러니까 이런 경우에 최대값은 우리가 없다고 표현을 합니다 자 두 번째는요 우리가 이제 a가 음수인 최고창의 계수가 음수인 경우를 생각을 해 볼 거예요 최고차항이 없으면 그래프가 위로 볼록에서 이렇게 생겼을 거예요 이렇게 생겼는데 가장 위에 있는게 최대니까 우리가이 꼭짓점이이 꼭짓점이 최대인 거예요 그러면 최소값은 있어요 없어요 없죠 계속 내려갈 수 있으니까 이런 경우에 최소값은 없는 겁니다 그러면요 간단하게 예제 하나만 풀어보고 넘어갈게요 만약에 문제에서 y는 -x-2에 제곱 플러스 3이라 그랬어요 그러면 꼭짓점이 몇 콤마 몇이에요 꼭짓점이 2 3입니다 그럼 그거를 기준으로 위로 위로 볼록해요 아래로 볼록해요 얘는 최고차항의 계수가 음수니까 위로 볼록한 겁니다 이렇게 그러면 최댓값이 어디예요 꼭짓점이 Y 좌표 3위 바로 최댓값인 겁니다 최소값은 있어요 없어요 최소값은 없습니다

자 여기까지 되셨나요 자 그럼 넘어가서 이번엔 뭐가 생기냐 바로 제한된 범위가 생깁니다 아까는 x값이 범위가 없었는데요 이번엔 x값의 범위가 생기는 거예요 자 그러면 우리가 이거는 또 어떻게 푸냐 만약에 y는x-2의 제곱 플러스 5라는 그래프가 있었다고 할게요 그러면 지금 꼭짓점이 X 좌표가 2이고 Y 좌표가 5인 2차 함수가 생겨서 아래로 볼록한 그래프가 이렇게 그려질 거예요 이렇게 그려지는데 첫 번째 x 값의 범위를 제가 1부터 4까지라고 해볼게요 그러면요 1은 여기 있죠 4는 여기쯤 있어요 그러면 어디부터 어디까지예요 여기서부터 여기까지 자 그러면 최소값이 어디예요 지금 1부터 4 사이에 꼭짓점이 있죠 2차 함수를 통틀어서 가장 작은 부분이 꼭짓점인데이 범위 안에 꼭짓점이 들어가 있으니까이 꼭짓점에서 최소값을 갖는 겁니다 얘가 최소예요 최소이 5가 최소입니다 그런데 아까 우리가 범위가 없을 때는최댓값이 끝도 없이 올라가니까 존재하지 않는다 그랬어요 그런데 범위가 생겨버리면 여기까지밖에 못 올라가니까 여기가 최대인 겁니다 자 만약에 범위가 요게 아니라 마이너스 5부터 4까지면요 얘가 더 올라갈 수도 있어요 이렇게 그러면 최댓값을 4에서 갖는게 아니라 이렇게 -5라는 점에서 최댓값을 가질 수도 있는 겁니다 그래서 어떻게 따져주냐 첫 번째 꼭짓점이 있는지 없는지이 범위 내 있는지 없는지 확인을 합니다 들어가 있더니 어떻게 됐어요 얘가 최솟값이 됐죠 최댓값은 어떻게 찾아요 양 끝점 중에 가장 큰 값 골라주면 되는 겁니다

자 그러면 우리가 지금은 꼭짓점이이 범위 안에 포함이 돼 있었어요 근데 이번엔 똑같은 함수를 가지고 할 건데요 똑같은 함수라서 꼭짓점을 좌표가 25인데 여기가 2인데 이번엔 범위가 꼭짓점을 포함을 안 하는 범위를 할 거예요 예를 들어 3 이상 4 이하예요 그러면 어디부터 어디까지예요 여기서부터 여기까지죠 자 그러면 꼭짓점을 벗어나면 최소값 최대값이 각 경계점에 생기는 겁니다 왜냐 꼭짓점 밖에선 지금 이쪽에서는 감소만 하고요 이쪽에선 증가만 합니다 그래서 범위가 증가된 감소든 한쪽 끝에서 최대면 한쪽 끝은 최소고요 한쪽 끝에서 최소면 한쪽 끝은 최대가 되는 거예요 어차피 꼭짓점을 지금 포함을 안 하고 있으니까이 범위 내에 그냥 증가만 하거나 감소만 하기 때문에 범위의 양 경계점만 고려해주면 되는 거예요 그러면 우리가 2차 함수의 최대 최소를 구해야 되는데 일단 그럼 가장 먼저 알아야 되는 정보가 뭐예요 꼭짓점이이 범위 내에 들어가냐 안 들어가냐가 일단 중요한 거예요 간단하게 그래프 개형을 그려서 꼭짓점 찍고 범위 찍어 줘서 들어가는지 안 들어가는지 눈으로 보는 겁니다 자 그러면 제가 지금은 최고차한 계수가 양수일 때를 최대 최소 구하는 거 해봤는데요 예제로 꼭짓점 x-2의 제곱 플러스 5인건 똑같고요 최고창의 계수가 음수여서 마이너스 x - 2² + 5인 경우를 한번 해 보겠습니다 첫 번째 풀 문제는요 x값의 범위가 1부터 4인 것까지 구해 볼 거고요 두 번째 경우는요 3부터 x가 4인 경우 해볼 거예요 그러면 그래프가 최고차항의 계수가 음수여서 이렇게 위로 볼록한 그래프가 생길 거예요네 지금 꼭짓점이자 표가 2가 되는 것이죠 x값의 범위가 어디부터 어디까지예요1부터 4까지예요 그러면 이거를 표시를 해보면이 일은 여기 있고 4는 여기 있죠 그러면 여기서부터 여기까지네요 이렇게 그러면 나머지 부분은 필요가 없는 거예요 여기는 우리가 볼 필요가 없는 겁니다

그러면 그래프가 지금 이렇게 생겼을 때 최댓값은 어디서 갖는 거예요 꼭짓점에서 갔죠 왜 범위 내에 꼭짓점이 포함되어 있으니까 여기가 최대입니다 최소는 어디서 가져요이 일보다 4가이 꼭짓점으로부터 더 멀리 떨어져 있기 때문에 더 작은 값을 갖게 됩니다 그러면 우리가 최소값을 구하려면 x에다가 4를 대입해주면 되고요 그랬을 때 y 값은 - 4 + 5에서 1이 바로 최소값을 갖게 됩니다 자 그럼 3부터 4도 해볼게요 3부터 4에서는 이렇게 생겼죠 이렇게 생겼는데 지금 꼭짓점이 잡히고2인 거는 변함이 없고요 x좌표가 3부터 4니까 3은 여기 있고 4는 여기쯤 있을 거예요 그럼 그래프가 이렇게 그려지겠죠 이렇게 그려지니까 최댓값 어디서 갖는 거예요 여기 3에서 최대를 갔죠 최소값 어디서 갖는 거예요 4에서 최소를 갔네요 계산을 해보면요 x에다가 3을 대입하면 y 값은 4가 나오고요 최소값은 4를 대입했을 때 1이 나옵니다 얘가 최대 얘가 최소예요 자 그러면 범위가 있든 없든 우리는 가장 먼저 뭘 찾아요 꼭짓점 찾는 겁니다 꼭짓점 찾고 범위가 있으면 그 범위 안에 꼭짓점이 들어가나 안 들어가나 보면 되고 들어가면 꼭짓점에서 최소 최대 하나 갖고 경계값에서 나머지 최소 최대한 같고 그런 방법으로 문제를 풀어 주시면 됩니다 그래프 그리는 거 귀찮아 하시면 안 됩니다 간단하게 그리프 그려서 계형 확인해서 검이 찍어주고 찾아주면 실수도 적겠죠

자 예제 한번 풀어보겠습니다 이 이상 5 이하에서 요거의 최댓값 최소값 구하라고 했어요 가장 먼저 뭐 해야 된다고요 꼭짓점 찾아 줘야 돼요 꼭짓점 찾아 줘야 되는데 안 보이죠 꼭짓점 안 보이니까 완전 제곱식 만들어 줘요 요거 가지고 자 x제곱 - 6x 가지고 완전 제곱식 만들어 줄 건데요 필요한 상수 뭐예요이 마이너스 6을 반으로 나누고 제곱을 해준 플러스 9가 바로 완전 제곱식을 만들기 위한 향수입니다 그러면 9를 더 있으면 다시 9를 빼 줘야죠 그리고 원래 플러스 1이 있었어요 얘를 이렇게 묶어 줄 수 있죠 그리고 여긴 -8이네요 아 그럼 꼭짓점이 3 - 8이구나 그러면 요렇게 최고창 계수 양수니까 아래로 볼록하게 그리고요 여기 x좌표 3 y좌표 -8입니다 그러면 지금 범위가 어디부터 어디까지예요 2부터5까지죠 2는 여기 쓸 거고요 5는 3보다 더 멀리 가서 여기로 갈 겁니다 여기에 차이는 1이고 여기 차이는 2니까 얘가 더 위로 올라온 거예요 자 그러면 우리가 원하는 범위는 어디부터 어디까지인 거예요 여기부터 여기까지 그러면 최소값은 여기서 같고 여기가 최대 여기가 최소 여기가 최소에서요 여기가 최소죠 그러면 최대값만 계산해 봅시다 x에다가 5를 대입해주면 되겠죠 따라서 y 값은 4 - 8이어서 - 4가 됩니다 최소값은 -8이 되겠네요 여기까지 되셨나요 다음으로 넘어가서요 공통부분이 있는 함수의 최대와 최소인데요 여기는 이제 조금 어려운 내용이 들어가 있어요 자조금 주의깊게 봐 주시기 바랍니다 일단은 지금 책의 교재의 내용을 보면 공통 부분이 있으면 공통부분을 t로 치환을 해서 d에 대한 최대 최소로 구한 다음에 최대 최소를 구해주는 거예요 자 최대 채소를 두 번 구해주는 거거든요

개념 예제로 한번 천천히 설명을 해 드리겠습니다 자 지금시기 어떻게 되어 있냐면요 x가 0부터 3이라는 범위 내에서 요렇게 정의가 되어 있어요 식이 상당히 복잡하죠 근데 우리 눈에 일단 공통범위라는게 보여요 어디죠 바로이 x제곱 마이너스 2x + 3이라는게 공통 부분이라고 보입니다 그러면 저는 요거를 c로 치환을 해주는 거예요 공통 부분은 치환을 해주면요 지금 p가 x의 제곱 마이너스 2x+3인데요 x값의 범위가 주어져 있어요 0부터 3이라고그러면 c를 x²-2x+3이라고 하면 x² - 2x + 3이라는게 이차식이니까 범위가 0부터 3까지 내에서이 값의 범위도 새로 생기겠죠 그럼 그 범위가 어떻게 되는 거예요이 t값의 범위가 되는 겁니다 자 다시 한번 설명드리면요 x² - 2x + 3의 최대 최소가 생길 거예요 x가 0부터 3까지 내에서이 2차식의 최대 최소가 새로 생깁니다 근데 그 최대 최소가 뭐가 되는 거예요 이번엔 t값의 범위가 되는 거예요 그래서 가장 먼저 뭐를 구할 거냐 우리가이 치환한 t값의 범위를 먼저 구해 줄 겁니다 자 t값의 범위를 먼저 구해 줄 건데요 x² - 2x + 3이 2차 함수라고 생각을 하고 얘를 완전 제곱식으로 바꿔 줄게요 그러면 c는 x의 제곱 마이너스 2x + 3이고요 -2x를 완전 제곱식으로 만들기 위해선 이거를 반으로 나누고 제곱을 해준 +1이 필요합니다 그리고 뒤에 다시 -1을 달아 줘야겠죠 그러면 얘를 조금 정리를 해주면 x - 1의 제곱 플러스 2가 됩니다 그러면 우리가요 함수를 한번 그려 볼게요 자 꼭짓점 1 2예요 그러면 y축이 이렇게 있고 x축이 이렇게 있을 때 1을 여기쯤 찍으면 되겠네요 그러고서 함수를 아래로 볼록하게 그려주면 됩니다

자 여기까지 됐나요 근데 지금 x값의 범위가 어디부터 어디까지예요 바로 0부터 3까지입니다 0부터 3까지예요 그러면 요렇게 함수가 여기서부터 여기까지니까 최소값은 어디에요 여기가 최소죠 그러면 지금 여기가 x 값이고 우리가 평소 y축이라고 하던이 세로축은t 값이 되는 거죠 이 t 값의 최소가 2인 겁니다 최대는 어디서 가져요 x가 3일 때 최대가 되는 거죠 그럼 x에다가 3을 대입하면이 최대값은요 6이 됩니다 그러면 우리가 지금 x값의 범위에서 치환을 한 다음에이 t값의 범위가 새로 생긴 겁니다 t값의 범위가 어디부터 어디로 생긴 거예요 2부터 6까지 생긴 거예요 그럼이 t값의 범위를 어디 쓰냐 우리가 최종적으로 구하는 건 바로이 y 값의 최대와 최소인데요 지금 치환을함으로써식이 어떻게 변했냐면 y는 t^2 -8t + 2가 됩니다 그러면이 t값을 범위에 따라서이 y는 t에 관한 2차식으로 써 있으니까 이거의 최대 최소로 리제 구해주는 거예요 그럼 또 뭐 해 줘야 돼요 꼭짓점 구해줘야 되고그러려면 완전 제곱식 만들어 줘야죠 따라서 p^2 - 8t + 2고요 숫자가 몇 kg예요 반으로 나눈 -4를 제곱한 플러스 16이 필요합니다 그럼 다시 여기 16을 빼 줘야겠죠 따라서 t-4의 제곱 플러스 마이너스 14가 됩니다 그러면이 그래프를 여기다 그려주면요 지금 꼭짓점에 좌표가 4 -14죠 그 다음에 t값의 범위가 어디부터 어디까지예요 2부터 6까지네요 여기가 2이고 여기가 6이에요 누가 더 위에 있을까요 4 - 14라서-10이 됩니다 그러면 최댓값 몇이에요 최대는 -10 최소는 몇이에요 -14입니다 자 다음으로 넘어가도록 하겠습니다 자 이번엔 완전 제곱식을 이용한 2차식이 최대와 최소예요 우리가 2차식을 2차 함수를 만약에 요렇게 썼어요 x-2의 제곱 플러스 5라고 썼어요 그러면 우리가 이게 지금 꼭짓점이 2니까 이렇게 그려져서 여기가 2고 여기가 5라서 최소값이 5다라고 했었어요 가장 아래 있으니까 근데 식으로 한번 볼게요 지금 요렇게 돼 있는데요 5는 그냥 더하는 거고요 고정된 값이죠 x-2의 제곱은 변하는 값인데 제곱이라는 건 항상 0보다 크죠 제곱은 항상 0보다 큰데 가장 작은 값이 되기 위해서는이 x-2의 제곱이 가장 작아져야 됩니다 5는 고정이니까 근데 x-2의 제곱이 가장 작아지는순간이 언제예요 0이 되는 순간 그게 x는 2인 거잖아요 이 0이 되는 순간이 가장 작은 값을 가지는 순간이고 그 값이 얘가 사라지고 나면 5가 되는 겁니다이 논리를 여기다가 적용을 시키는 거예요 자 개념 예제 한번 보겠습니다 이제 xy가 실수일 때 요거의 최솟값을 구하라 그랬어요 근데 여긴 지금 x도 있고 y도 있죠 그러면 x는 x끼리 완전 제곱식을 만들고 y는 y끼리 완전 제곱식을 만들어 주는 겁니다 그러면 어떻게 되냐면 x의 제곱 플러스 2x고요 뒤에는 3y의 제곱 - 12y입니다 뒤에 +22 달려 있었고요 x² + 2x를 완전 제곱식으로 만들기 위해 필요한 상수항은 몇이에요 반으로 나눈 1을 제곱한 1을 더해줘야 됩니다 그러면 뒤에 다시-1을 해줘야죠 그러면 3y² - 10 12y도 변형을 시켜 줘야 되는데요 얘는 최고차원계수 3으로 묶으면 y² -4y죠 그러면 여기에 상수항 이번에 뭐 필요한 거예요 요거를 반으로 나눈 -2에 제곱을 한 + 4가 필요합니다 그럼 다시 마이너스 4를 해줘야겠죠 그 다음에이 마이너스 4가 앞에 있는 3이랑 곱해져서 밖으로 나오면 어떻게 돼요 없어지고 -12로 나오는 겁니다 그러고 괄호를 여기서 닫아주는 거예요 자 조금 복잡하니까 정리해서 다시 쓸게요 x의 제곱 플러스 2x + 1이고요 여기는 3으로 묶었을 때 y 제곱 마이너스 4y + 4구요 괄호 닫고 - 12입니다 여기 +20 - 1은 계산해서 19라고 써 줄게요 그러면 이제 완전제곱식으로 바꿔주면요 x+1의 제곱이고 여기는 3의y-2의 제곱이죠 그리고 + 7입니다 그러면 제곱 더하기 제곱 더하기 7인데 7은 고정된 값이고 제곱하고 제곱은 변하는 값인데 얘네가 가장 작아져야 채소를 갖는 거예요 근데 가장 작아지는 순간이 언제예요 바로 제곱이 0이 되는 순간이죠 즉 x는 -1이고 y는 2이고 그때 최소값 날라가고 날라가서 7이라는 값이 바로 최소값이 되는 겁니다 자 그러면 밑에 있는 문제도 한번 풀어 볼게요 -2x² + 4x-y제곱 마이너스 6y + 1을 이번엔 최댓값을 구하라고 했어요 왜냐 여기는 지금 최댓값 최고차항의 계수가 음수기 때문에 음수기 때문에 -제곱이 나와서 해요 자 일단 정리를 한번 해보고 다시 설명을 드릴게요 자 -2x의 제곱 플러스 4x고요여기는 - y의 제곱 마이너스 6 y + 1인데요 요거를 정리를 해주면 -2로 묶어주면요 여기 -2x² + 4x를 -2로 묶어주면 x의 제곱 마이너스 2x죠 일단 괄호를 땄습니다 그리고 -로 묶었을 때 여기는 y² + 6y에요 괄호 닫고 플러스 1입니다 자 그러면 자 x제곱 마이너스 2x에서요 얘가 완전 제곱식이 되기 위해 필요한 상수항은 몇이에요 바로 -2를 반으로 나눈 -1을 제곱한 플러스 1이 필요하죠 그럼 또 마찬가지로 -1도 써 줘야 됩니다 여기는 몇이 필요해요 6을 반으로 나눈 3과 제곱한 9를 더해줍니다 그리고 또 9를 빼 줘요 그런데 우리가 완전 제곱식을 만들 부분은요 부분이기 때문에 여기에 있는 -1은곱해서 밖으로 빼 줘야겠죠 그거를 감안해서 식의 밑에다 다시 써 주겠습니다 -2에 x의 제곱 마이너스 2x + 1은 그대로 있을 거고요 -1하고 -2하고 곱해서 +2가 밖으로 나옵니다 이번에는요 y^2 + 6y + 9가 있고요 뒤에 있던 -9가 -2라고 곱해져서 플러스 9가 밖으로 나옵니다 뒤에는 +1이에요 자 그러면 -2에 x-1의 제곱이고요 - y + 3의 제곱입니다 그러고 9와 2와 2를 모두 더해주면 12가 되겠네요 자 아까는 제곱 더하기 제곱 더하기 상수항이어서 제곱이 0이 되는 순간 가장 작아지기 때문에 상수성이 최소값이 됐어요 근데 이번엔 -제곱입니다 - 제곱은 항상 음수죠 음수거나 0이거나 그런데 최대값을 구하니까이음수가 다 사라지는 0이 되는 순간이 최댓값이 되는 겁니다 그래서 얘가 0이 되고 얘도 0이 되는 x는 1 y는 -3이 최댓값이 되는 순간이고요 그때이 최댓값은 b의 상수항 12가 되는 거예요 자 조금 어렵게 느껴지실 수 있는데이 완전 제곱식을 만들어서 최대 최소 구하는 순간은 바로이 완전 제곱식이 0이 되는 순간인 겁니다 우리가 완전 제곱식으로 바꾸는 연습만 충분히 한다면 쉽게 풀 수 있으니까 연습 많이 하시길 바라겠습니다 자 이번에 마지막 케이스인데요 조건식이 주어진 2차식에 최대 최소예요 자 그러면 우리가 지금 개념 예제를 바로 보면요이 x제곱 마이너스 y의 최솟값 구하라고 했어요 근데 조건식이 뭐로 주어져 있냐면 y는 2x+4죠 그러면 얘는 어떻게 하냐이 조건식이 주어져 있기 때문에 문제에서 구하라고 한 x제곱 마이너스 y를 한 문자로 바꿔 줄 수가 있는거예요 우리는이 y는 2x+4에서이 y를 여기다가 대입을 해 줄 겁니다 그러면식이 x의 제곱 마이너스 2x + 4의 값을 구하는 거죠 그러면 x 제곱 마이너스 2x - 4가 되고요 얘를 완전 제곱식으로 또 바꿔줍니다 x에 관한 2차식이니까요 플러스 1 - 1 - 4가 되고요 x-1의 제곱 마이너스 5가 되어서 꼭짓점을 몇 콤마 몇이에요 1 - 5죠 따라서 최소값은 뭐가 되는 거예요 꼭짓점의 y 좌표인 -5가 되는 겁니다 자 여기까지 해서 우리가 2차식에 최대 최소 구하는 방법 학습을 했고요 많은 유형을 배웠으니까 복습은 당연히 필요하겠죠 공부 열심히 하시기 바라겠습니다 감사합니다 [음악]