[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 삼차방정식과 사차방정식

자 이번 시간에 학습할 내용은 3차 방정식과 4차방정식입니다 이제 3차방정식과 4차방정식 그리고 그 이상의 차수가 더 높은 방정식을 푸는 방법을 배우게 될 텐데요 일단은 우리가 2차방정식을 배울 때 푸는 방법이 크게 세 가지가 있어요 첫 번째 인수분해고 두 번째는 완전 제곱식을 이용한 풀이고 세 번째는 근의 공식을 활용한 풀이죠 근데 우리는 그 중에 주로 사용하는 거는 2차 방정식을 풀 때 주로 사용하는 것은 인수분해를 하거나 인수분해가 안되면 근의 공식을 사용하게 되죠 그런데 우리가 오늘 풀 3차 4차 방정식에는요 근의 공식을 사용할 수 없어요 우리가 근의 공식을 사용할 수 없고 3차 방정식은 오직 우리는 모조리 다 3차든4차든 모조리 인수분해를 위해 노력할 겁니다 3차방정식과 4차방정식을 풀 때 인수분해를 할 거고요 우리가 2차방정식을 푸는 기본 논리가 x-1의 x-2가 0이라면요 어떤 1차식 두 개를 곱해서 0이 됐다는 것은 얘가 0이거나 얘가 0이거나 X - 1이 0이거나 또는 x-2가 0이거나 그래서 x는 1 또는 x는 2라는 근이 나오게 되는데요 3차 방정식도 마찬가지로 풀 겁니다 1차식과 2차식 또는 1차식과 1차식과 1차식 세 개의곱으로 나타낼 거고요 4차방정식이면 4개겠죠 요렇게 나타내면 얘가 0이거나 얘가 0이거나 얘가 0인 x 값들을 찾아 줄 겁니다 그러면 결국 인수분해를 해서 1차식과 1차식과 1차식의 곱으로 표현을 해줘야 된다는 말이에요

자 그러면요 우리가 오늘 인수분해를 하는 방법에는 여러가지가 있는데 자 3차와 4차 푸는 방법의 인수분해를 해줘야 되는데인 수분의 방법에도 여러가지가 있습니다 우리가 지난 단원에서 배웠던 지난 인수분의 단원에서 배웠던 내용과 상당히 유사한대요 우선 공식을 활용해서 인수분해를 활용할 수도 있고요 또는 우리 조립제법에서 조립제법에서 인수정리를 배웠죠 조립제법을 활용한 인수정리를 통해서 인수분해를 할 수도 있고 크게는 이렇게 두 가지를 사용하고요 특수한 케이스가 몇 가지 있습니다 특수한 케이스로 공통 부분 있을 때 인수분해하는 방법이 있고요 복 2차식이라는 꼴이 있어요 고기차 식고를 인수분해하는 법을 배울 거고 마지막으로 상반 방정식이라고 하는 상반 방정식이라고 하는 방정식 푸는 방법을 배울 겁니다

그러면 일단 하나씩 해보겠습니다 우선 공식을 활용한 3차 방정식의 풀이에요 우리가 4차방정식을 푸는 인수분의 공식은 특별하게 존재하지 않고요 우리가 어떤 방법을 사용하게 될 거냐 a3² + b^3 꼴 또는 a3²-b3 제곱 꼴일 때 인수분해 공식을 활용할 겁니다 요 공식을 활용할 거고요 이렇게 곱과 곱으로 표현이 되죠 곱과 곱으로 자 우리가 예제를 풀게요 개념 예제를 풀 건데 x^3은 x의 3제곱이에요 8은 2의 3제곱이죠 자 x^3에서 2의 3제곱을 뺐어요 그럼 얘를 인수분해를 해주면 x-2에 x의 제곱 + 2x + 4입니다 얘가 0이고요 그러면 곱과 곱이 0이니까 우리가 여기서 요런 식을 추출할 수 있죠 x-2가 0이거나 또는 x 제곱 플러스 2x + 4가0이거나 둘 중 하나가 0이어야 됩니다 그러면 x-2는 0에서 나오는 x 값은 2고요 x 제곱 플러스 2x + 4는 0이라는 2차 방정식이 하나 새로 나오게 됩니다 근데 지금 얘는 인수분해가 안 되죠 구리 2차방정식 인수분해 안 될 때 근의 공직잖아요 똑같은 겁니다 x는 2A 분의 - b +, - 루트 b^2 - 4ac예요 그러면 -2 + - 루트 - 12구요 허근을 같네요 -2 플러스 마이너스 2루트 3 i로 정리할 수 있고 2로 약분 모두 시켜주면 -1 플러스 마이너스 루트 3 I까지 정리할 수 있습니다 문제에서 만약에 실근을 구하라고 했으면 x-2는 0에서 x는 2인 값만 결론 내주면 되고요 특별한 언급이 없으면 우리 허근까지 구해주는 습관 잊지 말고 계산해 주시기 바랍니다

자 다음으로 넘어가면 인수 정리를 이용한 고찰 방정식의 풀이에요 우리가 어떤 fx라는 다항식이 있는데 이 fx라는 다항식을 x-a로 나누었을 때 몫이 qx이면 나머지를 상수항 r이라고 놓을 수 있죠 그럼 요런 상황에서 우리는 인수분해를 원하는 거니까 곱과 곱으로만 표현을 하고 싶은 겁니다 그래서 얘 부분만 남기고 싶어서 나머지가 0이 되는이 x-a를 찾아주는 거예요 그래서 fx를 조립제법을 통해 나눗셈을 하게 되는데 나머지가 0이 되는 나눗셈 식을 찾아내는 겁니다 자 그럼요 여기서 보겠습니다 x^3 - 7x+6은 0인데요 계수를 나열을 하죠 조립제법을 써 줄 때 이렇게 나열이 되고요 자 우리 여기 지금 a자리에 올 수있는 숫자들은 후보군이 있죠 어떤 거예요 요거 약수분해 요고 약수의 + - 부호 달아준 거예요 그럼 넣을 수 있는 애들은 어떤 애들인 거예요 1 -1 2 - 2 3 - 3 6 - 6입니다 그럼 저는 1을 넣어보겠습니다 2를 넣으면요 1 1 1 1 -6 - 6 0이 됐네요 그러면 요거를 a는 BQ + r꼴로 나타내면 x^3 - 7x + 6은요 x - 1에 몫이 x 제곱 플러스 x - 6이죠 지금 요게 0인 x값들을 찾는 거예요 나머지가 0이니까 이렇게 곱과 곱으로 쉽게 표현이 됐습니다 그럼 이번엔 또 x 제곱 플러스 X - 6이라는 이차식을 인수분해해 줘야겠죠 그러면요x-1 x - 2x+3으로 인수분해가 됩니다 그러면 곱과 곱과 곱이 0이니까 하나는 0이어야겠죠 따라서 얘가 0이 되는 x값 1이거나 또는 얘가 0이 되는 x값 2이거나 또는 얘가 0이 되는 x값 -3 이렇게 됩니다 자 여기까지 되셨나요 우리가 지금 조립제법 그리고 공식을 활용한 인수분해 방법을 알아봤습니다 사실 이쪽 단원 말고 우리가 추후에 3차나 4차 방정식을 풀이하거나 인수분해를 할 때는 대부분 여기까지의 방법을 쓰고요 추가적으로 뒤에 나오는 보기 차 시 공통부분 치환하는 거 상반 방정식들은 특수한 케이스니까 많이 나오지는 않습니다 하지만 알아두셔야 해요 알아두셔야 하고 주로 여기를 쓴다는 것이지 더 중요하다가 아닙니다 이번에는 공통 부분이 있는 고차방정식의 풀이입니다

자 우리 공통부분이 있으면 시완을 해주죠 공통부분 딱 눈에 보이면 시환에서 풀어주면 돼요 그런데 우리 개념 예제를 한번 볼게요 요렇게 보시면 지금 공통 부분이 보이지 않습니다 그러면 우리가 인수분해 단원에서 공통 부분이 없으면 어떻게 해줘야 된다고 했는지 기억이 나나요 자 일단 24를 좌변으로 넘기면요 지금 1차식 4개가 곱해진 꼴이 앞에 붙어 있는데 공통부분을 만들기 위해 합의 같거나 곱이 같은 것끼리 연결을 해서 전개를 한다고 했습니다 자 저는 그래서 뭐랑 뭐를 연결시킬 거냐 여기 있는 x-1과 x를 연결시킬 거고요 x-2와 x+1을 연결시킬 겁니다 -2와 1을 더한 -1이죠 -1과 0을 더해도 -1이에요 요렇게 짝 지어주는 겁니다 그러면요 요거 두 개를 전개를 시켜주면 x의 제곱 마이너스 x고요 나머지 양 끝에 있는 두 개를 전개시켜주면x의 제곱 -x-2입니다 그러면 지금 우리 눈에 뭐가 생겼어요 공통 부분이 생겼죠 여기 x제곱 마이너스 x를 공통 부분이라고 하면 되는 거예요 자 얘를 t로 치환을 합니다 그러면 p의 p-2가 -24까지 달려서 0이 되는 거예요 그러면 우리 이제 t에 관한 2차 방정식이 됐네요 그러면 여기서 우리가 t값을 구해줄 수 있죠 C - 6에 t+4니까 집값은 6일 수도 있고 -4일 수도 있습니다 그러면 여기서 끝난게 아니에요 우리가 구하는 건 x 값을 찾는 거니까 x 제곱 마이너스 x가 6인 경우랑 x 제곱 마이너스 x가 -4인 경우 두 번 풀어주면 됩니다 x 제곱 마이너스 x - 6은 0을 만족하는 x 값은요 요거는 3 또는 -2라고 인수분해해서계산해 주시면 되고요 x 제곱 마이너스 x + 4는요 인수분해가 안 되죠 인수분 안 되면 어떻게 해요 드래곤식도 써주는 겁니다 x는 2A - B + - 루트 2의 제곱 마이너스 4ac입니다 그러면 2분의 1 플러스 마이너스 루트 15i죠 문제에서 실근을 구하라고 했으면 요렇게 3과 -2 두 개만 써 주시면 되고요 특별한 언급이 없으면 이렇게 허근까지 마찬가지로 구해주시면 됩니다

자 다음으로 넘어가 보겠습니다 이번엔 복 2차식에 고차방정식 풀입니다 그러면 우리가 일단 복 2차식이 뭔지부터 알아야겠죠 자 곡 2차식은요 ax는 bx 제곱 플러스 C 꼴로 표현되는 식을 복 2차식이라고 합니다 그러면 복 2차식의 방정식은 이게 0인 x값을 찾아주는 거예요그러면 우리가 지금 x 제곱하고 x⁴이 있으니까 x²을 라지 x라고 치환을 할 수가 있거든요 그러면 치환을 하면 a의 x제곱 플러스 bx + c는 0골이 됩니다 근데 이렇게 표현을 했을 때 여기 안에서도 두 가지 유형이 있어요 첫 번째는 이렇게 치환한 이차식이 라지 x에 관한 2차식이 인수분해가 되는 경우가 있고요 인수분해가 안 되는 경우가 있습니다 그래서 두 가지 방법을 나누어서 풀 거예요 나누어서 풀 거고 일단은 인수분해가 되는 꼴에 대해 개념 예제를 풀어보도록 하겠습니다 개념 예제를 보면요 x⁴ + 2x² - 3은 0이라는 4차 그럼 얘가 지금 4차항 2차항 상수항이 있으니까 보기 차식이에요 그러면 x 제곱을 라지 액수로 일단 치환을 해줍니다 그러면식이 어떻게 전개되어x의 제곱 2의 라지 x -3은 0이죠 그럼 얘가 지금 인수분해가 돼요 안 돼요 됩니다 라지 x-1 라지 x+3으로 인수분해가 되요 그러면 라지 x는 1이거나 -3이거나 둘 중 하나고요 치환했으니까 원래대로 돌려놓으면 x²은 1이거나 x 제곱은 -3이거나 이렇게 두 가지 종류로 나옵니다 그러면 우리가 최종적으로 x값을 구해준다면요 플러스 마이너스 1 되고요 얘만 되는게 아니라 마이너스 3인 x²인 -3인 허근도 존재하죠 플러스 마이너스 루트 3 i라고 쓰면 우리가 이차식에 관한 방정식을 푼겁니다

자 그러면 아까 인수분해가 안 되는 유형도 있다 그랬죠 제가 그거는 예제를 가져와서 한번 같이 풀어보도록 하겠습니다 어떤 걸 풀 거냐면 x⁴ + x 제곱 플러스 1은 0이라는 이차식을 풀어볼 건데요 일단우리가 똑같이 치환을 해줍니다 치환을 해주면 x²을 라지 x로 치환을 해주면식이 어떻게 전개되냐면 라지 x 제곱 라지 x + 1은 0이 되고요 얘가 지금 인수분해가 돼요 안 돼요 안 돼요 이럴 때 어떻게 하냐면 우리는 완전 제곱식을 만들어 줍니다 완전 제곱식을 만들어 주는데요 우리가 지금까지 만들었던 완전 제곱식하고는 조금 다릅니다 지금까지는 2차항과 1차항 가지고 완전 제곱식을 만들어 줬다면 우리 보기 차식에서는 2차 항하고 상수항을 가지고 완전 제곱식을 만들어 주게 됩니다 그러면 여기서도 두 개가 생겨요 하나는 라지 x의 제곱 플러스 2x + 1 꼴로 만드는 완전 제곱식이 하나 있고요 라지 x 제곱 -2x+1 꼴로 만들어지는 완전 제곱식도 있어요 그러면 지금 플럭스 ex를 우리가마음대로 만들어 준 거죠 그러면 다시 원래대로 돌리기 위해 빼줍니다 여기는 플러스 2x를 해줘야겠죠 그리고 여기 가운데 있던 플러스 x를 다시 더해줘요 그러면 1차 한끼리 계산해 줬을 때 처음과 똑같죠 일단 요렇게 변형을 해줍니다 그러면 먼저 해볼게요 1번 먼저 되는지 한번 보겠습니다 그 다음에 2번을 보도록 할 거예요 자 1번은요 라지 x+1의 제곱으로이 부분이 완전 제곱식으로 바뀌고요 지혜가 라지 x만 남습니다 라지 x면 남구요 다시 치환했던 걸 원래대로 돌리면 어떤 일이 생기게 되냐면 x 제곱 플러스 1의 제곱 마이너스 x 제곱인데요 얘가 지금 제곱에서 제곱을 뺐죠 그럼 이거 뭐예요 인수분의 공식 중에 합차 공식을 써 주는 거예요 하나는 더해주고요 다른 하나는빼줍니다 그러면 내림차순으로 정리를 해 준다면 이렇게 인수분해가 완료된 겁니다 그럼 우리는 이게 0인 x 값을 찾아주는 것이죠 그러면 각각 이차식이 0이 되거나 0이 되고 나니까 각각 인수분해도 안 되죠 근의 공식을 통해 구해주는 겁니다 근의 공식을 통해 계산을 하는 부분은 생략을 하도록 하겠습니다 2분의 -1 플러스 마이너스 루트 3 아이고요 여기서는 2분의 1 플러스 마이너스 루트 3 i입니다

자 그러면 오른쪽에 있던요 방정식도 한번 풀어 볼게요 2번인데요 라지 x - 1에 제곱 플러스 3 라지 x예요 그럼 원래대로 x로 바꿔주면 x제곱 마이너스 1의 제곱 플러스 3x²이죠 아까는 여기서 넘어갈 때합차 공식을 통해서 넘어갈 수가 있었는데 지금은 제곱 더하기 제곱이니까 안 되죠 인수분해가 더 이상 안 돼요 그래서 두 가지로 나누어 풀 수 있는데 그 중 하나는 이렇게 합차 공식을 사용해서 인수분해를 더 이상 진행하지 못하게 됩니다 그래서 둘 중 하나를 선택을 해야 되고 요거 같은 경우는 이렇게 플러스 ex로 만든 제곱식을 만들어 준 경우를 선택해서 근을 구해주면 됩니다 인수분해가 안되는 보기 차식을 구하는 방법은 꽤나 어렵습니다 꽤나 어려우니까 꼭 꼼꼼하게 복습하시고 여러 번 문제를 풀면서 학습을 하시기 바랍니다

자 넘어가세요 우리가 이제 마지막으로 상반 방정식의 고차방정식 풀이인데요 요거는 재수가 어떤 꿀을 보이고 있냐면 맨 앞에 있는 계수랑 맨 뒤에 있는 계수랑 똑같습니다 그리고 여기에 있는 두 번째 있는 기술랑 뒤에서 두 번째 있는 계수랑 똑같아요 가운데 있는 거는 그대로입니다 상관이 없어요 자 요거를 기준으로앞뒤 대칭이라 그래서 상반 방정식이라고 합니다 그럼 얘는 어떻게 푸냐 지금 여기 지금 교재를 보시면요 양변을 x 제곱으로 나눈 후 요렇게 치환을 한대요 그다음 이거의 값을 구한다고 했네요 우리 개념 예제를 풀어보면서 한번 같이 따라가 볼게요 얘가 지금 계수가 1이고 여기도 1이고 여기는 2고 여기는 2고 가운데는 상관이 없다 그랬죠 그러면 상반 방정식이기 때문에 일단은 x²으로 나눠줍니다 x의 제곱으로 나눠주면요 x의 제곱 플러스 2X -6 플러스 x분의 2 + x 제곱 분의 1이에요 그러면 어떻게 엮어 주냐 우리가 지금 요걸로 치환을 해야 되거든요 요걸로 치환을 하려고 맨 앞에 있는 거와 맨 끝에 있는 거를 묶어 줄 겁니다 x 제곱 플러스 x 제곱 분의 1이고요 요렇게 두 개를 엮어주면 2로 묶었을때 x + x분의 1이에요 d는 - 6이죠 우리는 지금이 방정식을 풀고 있는 겁니다 그런데 x² + x 제곱 분의 1은 요거는 곱셈 공식의 변형에 의해서 x + x분의 1의 제곱 마이너스 2로 바꿀 수 있죠 자 그러면 우리가 여기서이 부분 x+x를 새로운 문자 라지 x로 지원을 해주는 겁니다 이렇게 치환을 해줘서 방정식을 다시 써주면요 x의 제곱 마이너스 2 + 2 라지 x -6은 0이고요 x의 제곱 플러스 2x - 8은 0이에요 그러면 여기서 또 라지 x에 관한 2차 방정식이 됐으니까 라지 x 값을 구할 수 있겠네요 라지 x의 값은 인수분해해서 계산해주면 죄송합니다 라지 x-2에 라지 x+4니까라지 x를 만족하는 건 2 또는 -4가 됩니다 근데 우리가 지금 라지 x가 x + x분의 1이죠이 값이 2이거나 마이너스 4이거나인 거예요 그러면 요거를 푼다고 생각을 하면요 x + x분의 1이 2죠 이렇게 분모의 문자가 있을 땐 그 분모에 있는 문자를 모두 곱해줍니다 그럼 어떻게 되냐 x 제곱 플러스 1은 2x가 되는 거예요 그러면 이제 또 x에 관한 2차 방정식이 된 거죠 그럼 여기서 x값 계산할 수 있나요 요거는 x-1의 제곱이니까 x값이 1이 나옵니다 x + x분의 1이 -4인 거 한번 구해볼게요 요것도 지금 분모의 x가 있으니까 x를 곱해서 x² + 4x + 1은 0이라고 정리를 해 줄 거예요 그러면 또 인수분해가 안 되네요 그럼 근의 공식을 써주면 됩니다 자 그러면 x값은 -2 + - 루트 3으로 됩니다근의 공식 쓰는 과정은 생략하도록 하겠습니다 요렇게 우리가 근을 x는 1과 x는 -2 + 루트 3이라고 구해주면 됩니다

자 오늘 3차방정식과 4차방정식 푸는 방법 열심히 배웠는데요 종류도 다양하고 복잡한 유형도 있으니까 공부 꼭 꼼꼼하게 하시기 바라겠습니다 감사합니다 [음악]