[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 삼차방정식과 근과 계수의 관계

자 오늘 학습할 내용은 3차 방정식의 근과 기술 관계입니다 우리가 2차방정식의 근과 계수의 관계를 배운 적이 있는데이 3차 방정식의 근과 계수의 관계가 또 공식이 다르기 때문에 우리가 좀 학습을 해보도록 할게요

어떤 3차방정식 ax 3제곱 플러스 bx 제곱 + cx+d는 0에 세 근을 알파 베타 감마라고 하면요 알파를 근으로 갚기 위해서는 x-r8을 인수로 가져야 됩니다 인수로 인수분해했을 때 포함돼야 된다는 얘기죠 베타를 근으로 갖기 위해서는 x - 베타를 인수로 가져야 되고요 감마를 근으로 갖기 위해서는 x- 감마를 인수로 가져야 됩니다 그러면 우리가 x - 알파 x - 베타 x - 감마를 모두 인수로 가줘야 되기 때문에요런 요런 방정식의 형태로 인수분해가 돼야 돼요 그런데 지금 뭐를 인수분해한 거예요 ax 3 제곱 플러스 bx 제곱 플러스 cx+d를 인수분해한 거죠 그러면 x^3의 계수가 a여야 되기 때문에 우리가 맨 앞에 a를 달아 줘야 됩니다 자 그럼이 상태로 우리가 곱셈 공식을 활용해서 전개를 해주면요 x의 3 제곱 마이너스 알파 + 베타 + 감마의 x제곱 플러스 알파 베타 베타 감마 감마 알파의 x -알파 베타 감마로 전개가 됩니다 그러면 지금요 식이랑 ax² + bx의 제곱 + cx+d라는 식하고 같은 거예요 그렇기 때문에 우리가 지금 비교를 했을 때 a 곱하기 -알파 + 베타 + 감마 - a에 알파 플러스 베타 플러스값만은 뭐랑 같은 거예요 여기에 있는 b랑 같아집니다 이렇게요 그럼 뭐를 얻을 수 있어요 우리가 여기서 알파 플러스 베타 플러스 감마의 값이 - a분의 b인 거를 알 수 있는 겁니다 자 요번에는 a랑 알파 베타 베타 감마 감마 알파를 곱한 그 값은 지금 x의 계수죠 x의 계수 x의 계수기 때문에 여기에 있는 x 계수 c와 같습니다 그럼 여기서 우린 또 요거를 얻을 수 있겠네요 알파 베타 베타 감마 감마 알파를 더해서 a분의 c입니다 마지막으로 a와 뒤에 있는 -알파베타 감마를 곱하면요 - a 곱하기 알파 베타 값만 등 걔가 뭐랑 같아요 맨 뒤에 있는 d랑 같아지는 겁니다 그래서 우리가 여기서 알파 베타 감마의 값이 - a분의 d라고얻을 수 있는 겁니다 그래서 이렇게 알파 플러스 베타 + 값마의 값과 알파베타 베타 감마 감마 알파이 값과 알파베타 감마의 값을 계수만으로 우리가 얻어낼 수 있는 걸 우리 근과 개수의 관계에서 얻어낼 수 있는 겁니다

자 요 세 가지는 공식으로 외우셔야 되고요 우리가 활용해서 개념 예제 풀어 보도록 하겠습니다 자 3차 방정식 x3²-3x² + 2x - 4는 0에 세 근을 알파 베타 감마라고 한대요 알파베타 감마라고 할 때 물음에 다 파라고 했습니다 자 지금 우리가 배운 공식을 활용하면요 어떤 거를 얻어낼 수 있는 거예요 알파플러스 베타 플러스 감마의 값 즉 - 3차원 계수 1분의 2차 한 개수 마이너스 3 계산하면 3이죠 알파 베타 베타 감마 감마 알파의 값을 얻어내면 3차원 개수 분의 1차항 계수 2구역 알파베타 감마는 마이너스3차원 개수분의 상수항 -4라서 4로 계산이 됩니다 그래서 우리가 1번은 쉽게 계산을 할 수가 있죠 알파플러스 베타 플러스 감마 - 알파 베타 감마 값은 3 - 4기 때문에 -1입니다 자 2번이 조금 까다로울 수 있는데 우리가 이거를 어떻게 변형할 거냐면 알파플러스 베타 플러스 감마가 3인 걸 알고 있죠 그러면 알파플러스 베타는 뭐예요 3 - 감마 베타 플러스 값만은 뭐예요 3 - 알파 감마 플러스 알파는 뭐예요 3 - 베타 요걸 알 수 있습니다 그래서 요걸로 바꿔주면 3 - 알파 3 - 벡터 3 - 감마의 값을 구하는 거고요 자 얘는 우리가 전개를 곱셈 공식을 통해서 할 수가 있습니다 다음에 3제곱 마이너스 알파플러스 베타 플러스 감마의점의 제곱 + 알파 베타 베타 감마 감마 알파 곱하기 3 - 알파 베타 감마로 되고요 우리가 알고 있는 값들을 모두 집어 넣어주면 27-3 곱하기 3의 제곱 플러스 4 곱하기 3 4 곱하기 3이 아니죠 지금 여기가 2 곱하기 3입니다 2 곱하기 3 - 4 이렇게 돼서요 27 - 27 + 6 - 4가 돼서 남은 건 2만 남네요

자 우리가 여기까지 해서 개념 예제도 풀어 봤구요 다음으로 넘어가겠습니다 자 이번엔 세수를 근으로 하는 3차 방정식인데요 우리가 이미 학습을 한 내용입니다 세수 알파 베타 감마를 근으로 갖는 3차 방정식을 작성을 할 건데 최소 알파 베타 감마를 근으로 하면요 알파를 근으로 갚기 위해서는 x-r8을 인수로 가져야 된다그랬고요 베타를 근으로 갚기 위해서는 x 마이너스 베타를 가져야 되고 감마를 근으로 갖기 위해선 x - 감마를 인수로 가져야 됩니다 얘네들을 인수로 가져야 되는 거예요 그래서 그 인수들을 모두 곱하면 x - 알파 x - 베타 x - 값만은 0이라는 요런 3차 방정식이 나오는 것이고 지금 교재에서는 x^3의 계수가 1이라고 했기 때문에 지금 맨 앞에 숫자 1이 곱해져 있는거나 다름이 없습니다 근데 만약에 계수가 1이 아니라 2라 그랬어요 그러면 2라고 써주면 되겠죠 계수를 모르면 a라고 문자를 잡아주면 됩니다 그래서 지금은 계수가 1이라고 했기 때문에 요렇게 계수를 없애고 그냥 x - 알파 x - 베타 x - 값만은 0이라고 3차 방정식을 써주면 되는 거예요 자 요거를 전개하는 것도 우리가 앞에서 했었죠 곱셈 공식을 활용해서 전개를 할 수 있습니다 자 다음으로 넘어가서 3차 방정식의 켤레근의 성질인데요 자 3차방정식이 요렇게 있습니다 그러면이 3차 방정식을 풀 때는 우리가 인수분해를 하게 되죠 인수분해를 해서 어떤 1차식과 2차식에 곱으로 우리가 표현이 될 거예요 그랬을 때 지금 계수가 만약 모두 유리수라면 abcd가 모두 유리순 라면 만약에 한 근이 p+q√m이라고 주어졌어요 그러면이 근은 어디서 나온 거예요 계수가 유리수기 때문에 여기 1차식에서 나온 거는 아닙니다 뒤에 있는 2차식에서 근의 공식에 의해 나온 걸로 볼 수 있는 거고요 우리 2차식의 켤레근의 성질에서도 학습을 했었죠 자 그래서 p+q√am을 근으로 가지면 b-q√m도 근으로 갚는다는 거 결례근의 성질이 3차 방정식에서도 마찬가지로 적용이 되는 겁니다 자 abcd가 실수면요 abcd가 실수면 p+qy가 근이면 b-qi도 근이다이것도 똑같이 성립을 합니다

자 여기까지 해서요 우리가 금과 계수의 관계와 결례근의 성질요 내용 학습을 했고요 우리 이 내용도 앞으로 자주 사용되는 내용들이니까 복습 꼭 꼼꼼하게 하셨으면 좋겠습니다 자 오늘 강의는 여기까지입니다 고생하셨습니다