[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 방정식 x³ = 1의 허근

자 우리가 오늘 학습할 내용은 X3 제곱은 1이라는 방정식을 만족하는 허근에 대해서 배워 볼 겁니다 자 x^3 = 1을 만족하는 허근을 우리는 특별하게 요런 W 비슷한 기호죠 지금 W 비슷한 기호인데 이거를 뭐라고 했냐면 오메가라고 있습니다 오메가 이렇게 동글동글하게 w로 써주시면 돼요 자 이거를 오메가라고 하는데 이거의 성질이 궁금한 거예요

오늘은 x3제곱은 1이라는 방정식에서 나온 거라 그랬는데 X3 제곱은 1이라는 것을 우리 3차 방정식이니까 인수분해해주기 위해 이렇게 써줄게요 그러면 우리는 이거를 공식을 활용해서 인수분해를 해줄 거고요 1은 1의 3제곱하고 똑같죠 그래서 세제곱 마이너스 세제곱이니까 x - 1에 x 제곱 플러스X + 1은 0이죠 자 그러면 x-1은 0을 만족하는 어떤 근이 하나 있을 거예요 요거는 실근이죠 x는 1이라는 우리의 관심 대상은 요게 아닙니다 오늘 요게 아니고 오른쪽에 있는 x 제곱 플러스 x+1은 0을 만족하는 허근이 궁금한 거예요

자 그럼 얘를 지금 인수분해를 해주고 싶은데 인수분해가 안 돼요 그럼 우리가 그늘 구할 때 바로 근의 공식을 써주죠 x는 1/2 -1 플러스 마이너스 루트 3 i라고 근의 공식을 쓰면 구할 수 있습니다 허근이네요 우리는 바로이 허근을 특별하게 오메가라고 하겠다는 거예요 얘를 오메가라고 하겠다는 겁니다 그럼 몇 가지 성질을 만족하게 되는데이 오메가라는 것은 일단 x^3은 1에서 인수분에 대해서 나온 근이니까 다시 대입하면 여기서 오메가 3제곱은 1이라는 성질 하나 만족을 하겠죠 그리고 x² + x+1은 0도 만족을 하기때문에 여기서 오메가^2 플러스 오메가 플러스 1은 0도 만족을 하는 겁니다 그러면 그거를 정리한게 지금 여기에 이렇게 있죠 자 그럼 이번엔 두 번째 볼게요 두 번째 보면 오메가 플러스 오메가 바래요 자 천리복소수죠 켤레 복소수 위에다 바를 쓴 건 켤레 복소수에요 그럼 우리가 오메가를 아까 이렇게 정리를 해놨는데 오메가는 그런 과연 플러스일까요 마이너스일까요 오메가는 플러스도 아니고 마이너스도 아닙니다 어떤 플러스나 마이너스를 특정하고 있지 않아요 그냥 하나가 플러스면 다른 하나 마이너스가 되는 것이고 하나가 마이너스면 다른 하나는 플러스가 되는 거예요 어차피 플러스건 마이너스건 상관없이 우리가 여기 있는 1번 공식은 어차피 만족을 하게 돼서 굳이 가운데가 플러스인지 마이너스인지 얘가 플러스인지 -인지 신경 쓸 필요는 없구요 우리가 오메가 플러스 오메가 바라고 한다면 오메가를 만약에 -1 + 루트 3 i를 2로 나눈 거라고 한다면 오메가반은 자연스럽게 마이너스 1 - 루트 3 i로 정의를 되는 거고요 여기가 만약에 -라면 여기는 자연스럽게 플러스로 정의가 되는 겁니다

그러면 그렇게 오메가와 오메가 b를 정하고 나면 어떤게 만족을 하느냐 오메가와 오메가 바를 더하면 -1이 되고요 두 개를 곱하면 1이 됩니다 요거는 우리가 요거 두 개를 가지고 계산을 하면 똑같은 결론을 얻어낼 수 있어요 자 마지막으로요 오메가^2은 오메가 바와 오메가분의 1과 같다 그랬는데 우리가 1번에서 오메가 3제곱은 1이었죠 그러면 양변을 오메가로 나눠준다면 좌변은 오메가^2만 남고요 우변은 오메가분의 1만 남죠 자 그리고 오메가분의 1은 여기서 우리가 여기서 오메가와 오메가 바이오븐 1이라 그랬으니까 여기서 오메가로 나눠주면 오메가 반은 오메가분의 1이라는 결론도 얻을 수 있는 거예요 그래서 이렇게 3개가 모두 같다는 결론도 얻어낼 수있습니다 요게 3번 공식이에요 자 마찬가지로 우리가 x^3은 1이라는 방정식을 풀어서 오메가를 찾아낼 수도 있지만 오메가3 제곱은 -1을 만족하는 허근도 똑같이 유도를 해낼 수가 있습니다 얘는요 x^3 플러스 1은 0이고요 인수분해하면 x+1의 x제곱 마이너스 x + 1은 0이죠 그러면 x 제곱 마이너스 x + 1은 0을 만족하는 근을 우린 여기서도 오메가라고 해서 이렇게 성질을 나열할 수 있습니다 똑같은 유도 과정이니까요 우리가 노트를 펴 놓고 한번 연습해 보시는 것을 추천드립니다

자 넘어가서 우리가 지금 개념 예제 풀어보도록 하겠습니다 우리가 x^3은 1을 만족하는 한 어근을 오메가라고 하겠다고 했네요 그러면 아까 배웠던 성진들이 모두 성립을 하는 겁니다 X3 제곱이 1이니까 오메가 3제곱도 1이고요몸에 가지고 플러스 오메가 플러스 1은 0이고 오메가 플러스 오메가 반음 -1이고 오메가와 오메가 바이 곱은 1이다 이것까지만 한번 써 볼게요 일단은 1번하고 2번은 우리가 배운 성질로 그대로 써주면 답이 됩니다 자 근데 3번을 보시면 오메가 바이 제곱 플러스 오메가 바 + 1이라 그랬어요 우리가 배운 건 오메가 플러스 오메가^2 플러스 오메가 플러스 1은 0인데 여기는 오메가 바에 관한 식으로 지금 전개가 되어 있네요 자 우리가 오메가라는 것은 2분의 -1 플러스 마이너스 루트 3 i라고 그랬죠 얘는 어디서 온 거예요 x² + x + 1은 0의 근이어서 요기 되는 겁니다 그래서 예를 대입해서 오메가^2 플러스 오메가 플러스 1은 0이다라고 우리가 성질을 유도를 했던 거예요 그런데 오메가 바라 그러면 우리 요구에 지금 부호만 바꿔준 거죠그러면 얘가 만약에 하나가 플러스였다면 얘는 마이너스 루트 3 i가 되겠죠 그러면 얘랑 얘랑 무슨 관계예요 켤레근 관계죠 현래 복소수이기도 하지만 철내 근 관계이기도 한 겁니다 따라서 요거의 근 두 개는 요렇게 두 개인 거예요 그러면 예를 대입해도 오메가 마이 제곱 플러스 오메가바 플러스 1은 0도 만족을 하겠네요 자 그러면 얘는 뭐가 되겠어요 0이 됩니다 자 오메가 플러스 오메가 분의 1인데요 오메가는 그냥 냅두고 오메가 분의 1은 어떻게 계산을 해줘요 얘의 양변을 5m로 나눠주면 오메가²은 오메가분의 1이니까 오메가 플러스 얘를 오메가²으로 바꿀 수 있겠네요 오메가^2으로 바꿀 수 있으니까 얘는 또 어떻게 계산을 할까요 이번엔 여기서 계산을 합니다 오메가^2 + 오메가 1 값을 -1이라고 할 수 있죠 따라서 얘는 -1입니다

자 마지막으로 얘인데요 오메가 마이너스 오메가 바이제곱이네요 우리가 오메가 바를 제곱을 어떻게 계산을 해주냐 오메가 바를 여기다가 대입을 해도 되죠 오메가 바보 어쨌든 여기를 근이니까요 요거도 만족을 하는 겁니다 따라서 오메가 바이 세제곱은 1도 성립을 하는데요 여기서 오메가 바의 제곱을 어떻게 바꿀 수 있어요 오메가 4분의 1로 바꿀 수 있겠네요 그러면 얘는 지금 오메가 마이너스 오메가 4분의 1이죠 그럼 오메가 4분의 1은 어떻게 계산을 해 줄까요 여기서 계산을 할 수 있어요 오메가 반은 오메가분의 1이고요 따라서 오메가 4분의 1은 오메가와 같죠 그러면 얘는 오메가 - 오메가니까 0으로 계산하면 됩니다 자 마지막으로 오메가의 2020 제곱 플러스 오메가 2021 제곱이죠 근데 우리가 얘는 어떻게 활용을 해주냐 오메가 3제곱 미리죠 지금 그러면 오메가 2020 제곱에서 2020을 3으로 나눠주면 요렇게 돼요 22에 37의 21의10의 33은 9의 나머지가 1이네요 그러면 오메가 3제곱에 673 제곱 곱하기 오메가로 바꿀 수 있죠 그럼 뒤에 있는 거는 오메가 3제곱에 673 똑같이 되고 곱하기 오메가² 하면 하나 더 더 했으니까 2021 제곱이 될 거예요 근데 얘가 지금 뭐예요 얘가 1이죠 얘도 1이고 그럼 남는 건 뭐만 남는 거예요 오메가 플러스 오메가^2 얘는 뭐였어요 아까 마이너스 1과 같았죠

자 여기까지 하면 우리가 오늘 혹은 오메가의 성질에 관해서 학습을 했습니다 계산이 조금 복잡해 보일 수 있죠 지금시기 지금 조건이 많기 때문에 얘도 있고 얘도 있고 얘도 있고 얘도 있고 하지만 많이 어렵지 않기 때문에 익숙해지기만 한다면 금방 실력이 늘 수 있는 단원이니까 꼭 공부 꼼꼼하게 해주시길 바라겠습니다 감사합니다