[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 미지수가 2개인 연립이차방정식

자 오늘 학습할 내용은요 밀수가 두 개인 연립 2차 방정식 푸는 방법을 배울 거예요 우리가 미지수 두 개인 연립 2차 방정식을 푸는 방법엔 크게 두 가지가 있고요 두 가지를 배우고 나서 특수한 케이스 하나를 더 배워서 총 3가지 케이스로 오늘 배워보도록 할게요

자 일단은 미지수가 두 개인 연립 미처 방정식이 뭐냐 문자가 두개고요 문자 두개고 식도 두 개요 식도 두 개인데 2차식이 하나 또는 두 개인 식을 말합니다 그래서 제가 케이스 1번은요 이렇게 1차식은 0 그리고 2차식은 0골로 정리되는 이런 연립방정식을 말할 거고요 케이스 2번은요 2차식은 0 2차식은 0 두 개다 2차식은 0골로 정리가 되는 요런 형태의 연립방정식을 말할 겁니다자 그러면 케이스 1번 푸는 방법부터 먼저 배워볼게요 자 K 실버는 하나 차식은 연골이고 하나는 이차식은 연골이에요 가장 먼저 뭐를 해주냐 정리를 해줘요 한 문자에 대하여 정리를 해줍니다 자 x는 무슨 무슨 y라고 표현이 될 수도 있고요 y는 무슨 무슨 x라고 표현이 될 수도 있어요 그 다음에 뭐라냐 대입을 합니다 밑에 있는이 자식은 연골에다가 대입을 해주는 거예요

자 그러면 한번 개념 예제 풀면서 어떻게 푸는지 한번 보여드리겠습니다 자 일단 보면요 지금 x+2y는 오고 하나는 x² + 2y 제곱은 9입니다 그러면 가장 먼저 뭐 한다 그랬어요 한 문자에 관해서 정리를 해준다 그랬죠 자 x + 2y는 5를 정리를 할 건데 저는 어떻게 정리를 할 거냐면요 x는 꼴로 정리를 해 줄 거예요 x는 5 - 2y죠 그럼 이거를 두 번째 두 번째 단계에서 뭐를 해주냐밑에 있는 2차 식은 연골에다가 대입을 해줍니다 x 자리에다가 우리가 이렇게 정리한 식을 여기다가 대입을 해 줄 거예요 그러면 5 - 2y의 제곱 플러스 2y 제곱은 9죠 전개를 해주면요 4y의 제곱 마이너스 20 y + 25고요 + 2y제곱 9는 좌변으로 넘겨서 -9는 0이라고 써줄게요 그럼 내림차순으로 정리를 해주면요 6y의 제곱 - 20y + 16은 0이고 2로 나눠주면 3y의 제곱 마이너스 10y + 8은 0입니다 우리가 많이 풀어봤던 2차 방정식 꼴이죠 1 3 - 4 - 2라고 하면요 얘랑 얘랑 곱하고 얘랑 얘랑 곱하면 -4에 -6이다 더하면 -10이네요 우리가 원하는 꼴을 찾았습니다 그러면y - 2랑 3y - 4로 인수분해가 되고요 우리가 y 값을 구할 수 있죠 하나는 2이고 다른 하나는 또는 y는 3분의 4입니다 자 이렇게 했을 때 x값을 다시 구해줘야겠죠 x 값을 구할 때는 우리가 여기 x + 2y는 5에다 대입해서 x 값을 찾아 줄 수가 있습니다 자 우리가 정리해 놓은 5 - 2y 에다가 대입하는게 좀 더 편하겠죠 그러면 y가 2일 때 x 값은 5 - 2y니까 1로 계산이 되네요 y에다 3분의 4를 대입하면 x값은 5 - 2 곱하기 3분의 4로 계산을 해주면 되고 3분의 7이 됩니다 따라서 우리는 x는 1이랑 y는 2라는 애 하나가 있고요 이것도 되고 이거이거나 x는 3분의 7 y는 3분의 4 이렇게 해가 두 개가되는 겁니다 자 다시 정리하면요 처음에 뭐를 먼저 해줘요 한 문자에 관해서 정리를 해줍니다 한 문자에 관해서 이렇게 정리를 먼저 해줘요 그 다음에 뭐 했어요 대입해서 정리해서 근구해 줬죠 그 다음에 다시 거꾸로 돌려서 나머지 한 근 찾아주는 겁니다

자 여기까지 어렵지 않을 겁니다 대입해서 정리해서 계산만 해주면 돼요 자 두 번째 유형이 이제 조금 복잡해 보일 수 있어요 두 번째 형이 조금 복잡해 보일 수 있는데 우리가이 케이스 2번은요 2차식은 0 2차식은 0 2차식이 두 개인 꼴입니다 그런데 뭐를 찾아야 되냐 인수분해가 가능한 식을 찾아야 돼요 자 인수분해가 가능한 식은 어떤 걸 말하냐면요 ax 제곱 플러스 bxy + CY 제곱은 0골 즉 상수항이 없는 꼴을 말합니다 요거를 인수분해를 먼저 해줘요욕구를 찾아서 인수분해를 해준 다음에 1차 방정식 요거를 얻는다고 써 있네요 자 이게 무슨 말이냐 제가 만약에 이차식이 하나는 그냥 2차식은 0이라고 쓸게요 하나는 2차식은 0이고 위에게 인수분해가 만약에 가능한 꼴이에요 요렇게 요렇게 쓰면 안 되죠 죄송합니다 bxy죠 bx y + CY 제곱은 0이어서 인수분해가 만약에 가능한 꼴이에요 인수분해가 가능한 꼴이면 인수분해를 해줍니다 그 인수분해하면 어떻게 되겠어요 1차식 곱하기 1차시기 0인 요런 형태가 되겠죠 자 그러면 1차식과 1차식을 곱했을 때 0이니까 얘가 0이거나 얘가 0이거나 1차 방정식 두 개가 나오죠 1차 방정식을 얻는다는게 요렇게 두 개 나온다는 겁니다 그럼 우리는 어떻게 푸냐면요 이제 두 개로 나누는 거예요자 제가 1차에서 두 개라 그랬는데 식 하나를 노란색으로 색칠을 할 거고요 다른 식을 파란색 하늘색으로 색칠을 해볼게요 이렇게 되면요 우리가 하나는 뭘 푸냐 요렇게 돼서 하나는 1차식은 0인데 노란색이 0인 노란색이 0인요 1차식은 연골과 2차식 2차식은 0인 꼴 하나를 풀게 되고요 요것도 되고요 요것도 되는 겁니다 마찬가지로 1차식은 0인데 하늘색이 0인 자 요게 0인 1차식은 0과 2차식은 0 이게 밑에 거는 고정이에요 요렇게 이 자식을 인수분해해서 1차 방정식 두 개를 얻은 다음에 이거를 쪼개주는 겁니다 그래서 요거 하나 풀고 요거 하나 푸는 거죠 즉 얘는 쉽게 말해서케이스 1번을 두 번 푸는 거예요 근이 더 많이 나오겠죠 케이스 1번을 두 번 풀어주어서 우리는 그늘 얻어낼 수가 있습니다

자 좀 복잡해 보이는데 한번 문제를 풀어보도록 할게요 자 우리가 지금 이렇게 주어져 있는데요 둘 중에 인수분해되는 꼴은 뭐예요 얘가 인수분해되는 꼴입니다 그러면 일단 인수분해를 해줘요 x+y의 x + 2y는 0 꼴로 인수분해가 되고요 밑에 2차식은 연골은 그대로 고정입니다 요렇게 되는데 제가 x+y는요 노란색으로 색칠을 할 거고 x+2y는 하늘색으로 색칠을 할 겁니다 그러면 요거를 두 개로 나눠 푼다 그랬는데 하나는 얘가 0인 x+y가 0이고 x 제곱 플러스 y 제곱 마이너스 10은 0인거 먼저 풀 거고요 그 다음에 x + 2y랑x+2y가 0이고 x 제곱 플러스 y 제곱 마이너스 10은 02골 이렇게 케이스를 두 개로 나눠서 풀어 줄 겁니다 자 그러면 일단은 첫 번째 케이스를 먼저 풀어 봐야겠죠 자 x+y는 0인데 제가 요런 경우에는 한 문자에 관해서 정리를 해 준다 그랬죠 y는 -x라고 해서이 y를 여기 두 번째 2차식인 y 제곱 자리에 대입을 해주겠습니다 그러면 어떻게 되냐 x의 제곱 플러스 x의 제곱 마이너스 10은 0이고요 2x²은 10이니까 x 제곱은 우리가 5라고 얻을 수 있네요 그러면 x값이 두 개가 나오죠 하나는 루트 5가 나오고요 다른 하나는 -루트 5가 나옵니다 그러면 x가 루트 오면 y는 뭐예요 다시 여기다 대입하는 거죠 y는 마이너스 x에다가 대입을 해주면 y는 - 루트 얘인 경우에 y는 루트요렇게 근을 찾아 준 겁니다 몇 쌍 나온 거예요 두 쌍 나온 거죠 완성 자 그럼 이번엔 요거 풀어볼게요 자 마찬가지로 x+2y를 한 문자에 관해서 정리를 해줍니다 x는 - 2y로 정리를 해줘서 밑에 있는 x² + y² - 10자리에 대입을 하는데 x 아리에다가 x를 넣어줘야겠죠 그러면 어떻게 되는 거예요 4y제곱 플러스 y의 제곱 요거는 12고 y 제곱은 2로 계산을 할 수 있고요 여기서 y 값이 두 개가 나오네요 하나는 루트이고 다른 하나는 - 루트 2예요 y가 루트 2인 경우에 x값을 계산을 해주면 x는 -2√2고요 y가 - 루트인 경우에 x값을 계산을 해주면 플러스 2루트 2가 됩니다 그럼 여기서도 몇 쌍 나온 거예요 그럼 결론적으로 총 해가 몇 쌍인 거예요 하나 둘셋 넷 이렇게 4개 이상이 나오는 겁니다

자 우리 케이스 1번을 풀었을 때 아까 오 여기서 해가 몇 쌍이 나왔어요 두 쌍이 나왔죠 케이스 2번은 케이스 1번이 두 개 있는 거와 같으니까 해가 총 여기서도 쌍 여기서도 쌍에서 총네 싹 나온 겁니다 자 여기까지 되셨으면 우리가 이번엔 제가 특수한 케이스 하나를 더 설명드린다고 했었죠 어떻게 써 있냐면 지금 xy에 대하여 대칭적인 연립 2차 방정식의 풀이라고 적혀 있어요 저는 요거를 조금 다르게 표현을 하자면 어떻게도 표현을 할 수가 있냐면요 합과 곱으로 치환하여 표현할 수 있는 꼴이라고도 쓸 수 있습니다 자 이렇게 X + y를 a라고 지원을 하고 x y를 b로 치환을 하면 모든 문자가 a와 b로 표현이 가능할 때이 풀이를 사용을 합니다 자 요거를 대한 연립방정식으로 변형을 해서요a b 값을 구할 수 있어요 케이스 1번이나 케이스 2번에 해당할 수도 있고요 다양한 시계 나올 수 있습니다 이렇게 먼저 a값 B 값을 구한 다음에 자 a라고 구한 거는 지금 x+y고요 b라고 구한 거는 x와 y의 곱이에요 그럼 우리는 하나는 합이고 하나는 곱이니까 x y를 근으로 갖는 방정식을 이렇게 새로 만들어 줄 수가 있죠 어떻게요 t^2이 - x+y의 t + xy가 되면 x y를 근으로 가는 이차방정식이니까 요거를 요렇게 만들어 주는 겁니다 그럼 a값 B 값 구했으면 지금 t에 관한 2차 방정식이 온전하게 나오죠 그럼 그 다음에 t값을 구해줍니다 t값을 구해주고 나면 우리가 x값 y 값도 찾아낼 수 있겠죠

자 개념퀴즈 풀어보도록 하겠습니다 x² + y² + 2x + 2y는 6이고요 x² - XY + y 제곱은 9예요 그래서 치환을 해 줄 겁니다x + y는 제가 a라고 할 거고 x y는 b라고 할 거예요 이렇게 하면 지금 주어진 시기에 있는 문자들을 조금 변형을 모두 시킬 수 있겠죠 정리가 돼요 x 제곱 플러스 y 제곱 플러스 2의 x + y는 6이고요 첫 번째 식을 지금 2로만 묶어준 겁니다 여기서 요것만 2로 묶어줬어요 자 x² + y 제곱은 x + y의 제곱 마이너스 2xy죠 플러스 2의 x + y예요 그래서 요거를 a와 b로 표현을 해주면식이 어떻게 돼요 a의 제곱 -2b + 2a는 6이 됩니다 밑에 있는 식은 x 제곱 마이너스 x y + y 제곱이라고 썼네요 -xy + y 제곱은 9는요 x 제곱 플러스 y²-xy는 9에서x + y의 제곱 -2xy - xy는 9여서 요거를 ab로 바꿔주면 어떤식이 나오는 거예요 a의 제곱 마이너스 3b가 나오죠 3B a² - 3b는 9라고 나옵니다 자 그러면 두식을 연립을 해 줄 거예요 요거를 지금 b를 없애기 위해 세배를 해주면요 제곱 마이너스 6b + 6a는 18 a² - 3b는 9라는 식을 제가 두 배를 해주면 2a² -6b는 18이죠 그래서 위의 식에서 아래 식을 빼주면 a의 제곱 플러스 6a는 0이고요 a의 a+6이라고 인수분해가 돼서 a는 0이거나 마이너스 6이네요 그러면 우리가 각각 B 값을 구할 수 있어요 우리가 b값을 구하기 위해 어디다 대입해요 저는 여기다가 대입을하도록 하겠습니다 그래서 a에다 0을 대입했을 때 나오는 b값은요 -3이고 a가 -6일 때 B 값을 계산해 줄 건데 자 여기다 a는 -6을 집어 넣을 거예요 306-2b - 12는 6이에요 얘가 24고 넘어가면 -2b는 -8이겠네요 그래서 b는 9입니다 따라서 b는 9예요

그래서 저는 요거를 케이스 1번이라고 할 거고요 여기를 케이스 2번이라고 할 겁니다 그러면 우리가 케이스 1번에서는 a가 0이니까 x + y가 0이고 b가 -3이니까 xy가 -3이에요 그래서 x랑 y를 근으로 가지는 2차 방정식 c에 관한 2차 방정식을 작성을 해주면 시계 어떻게 되는 거예요d의 제곱 -3은 0 여기서 t는 플러스 마이너스 루트 3이라는 값이 나오고 근이 이렇게 나오는 겁니다 x는 루트 3 y는 - 루트 3 또는 x는 - 루트 3 y는 루트 3 두 개가 나온 거예요 케이스 2번 볼게요 x+y는 -6이었고요 xy는 몇이었어요 9였어요 그래서 마찬가지로 x랑 y를 근으로 하는 t에 관한 이차방정식을 만들어주면 p의 제곱 플러스 6t + 9는 0이고요 얘가 지금 t+3의 제곱이니까 t 값은 -3일 때 근을 같습니다 중근이죠 그래서 여기서 근은 어떻게 나오는 거예요 x는 - 3 y는 -3이라고 나오는 겁니다

자 여기까지 해가지고 우리가 여러 연립 2차 방정식을 풀어 봤고요 앞에 지금 여러 유형들이 있으니까꼭 꼼꼼하게 꼼꼼하게 복습하시길 바랍니다 감사합니다