[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 부정방정식

자 이번 시간에 배울 단어는 부정방정식입니다 부정방정식이 뭐냐부터 알아야겠죠 부정 방정식이 뭐냐면지게 개수가 문자 개수보다 적은 걸 부정방정식이라고 해요 우리가 연립방정식을 배울 때요 문자 두 개면식이 몇 개였어요 두 개였어요 문자가 세 개면 세 개여야 되거든요 근데이 부정 방정식이라는 것은 문자 개수가 더 많은 거예요 문자 개수가 시계 개수보다 많으니까 우리는 근을 원래 구할 수가 없습니다 그는 원래 구할 수가 없는데 특수한 케이스에 대해서 구할 수 있는 경우가 있어요 그것들을 배울 거고요 두 가지 종류에 대해 배울 겁니다 첫 번째는요 정수 조건이 있는 풀이고요 두 번째 조건은 실수 조건이 있는 풀이에요

자 정수 조건은요 1차식과 일차식의 곱이 어떤정수가 되게 합니다 그러면 정수 가지고 만든 1차식은 어차피 정수가 되고 정수 가지고 만든 정수가 1차식이니까이 1차식과 1차식을 곱해서 정수가 되니까 어떤 케이스가 몇 개로 특정이 되는 거예요 자 그래서 이 상황에서 근을 한계가 아니라 여러 개를 구할 수 있게 됩니다 이게 첫 번째 케이스고요 두 번째 케이스는요 실수 조건이 있으니까 우리가 실수를 제곱했을 때 음수가 나올 수 없죠 음수가 나올 수 없으니까 어떤 거의 제곱 더하기 어떤 거의 제곱 요런 식으로 제곱과 제곱의 합이 0이 된대요 이런 식으로 그러면 무조건 a는 0이고 b는 0이어야만 하는 겁니다 제곱을 했는데 음수가 나올 수 없으니까요

자 그래서 이렇게 두 가지 케이스를 한번 예제를 통해서 풀어보도록 하겠습니다 첫 번째 개념 예제는요 이렇게 되어 있는데 여기서 일단 중요한 조건은 바로 정수 x y라는 거예요 정수 xy에 대하여 요구를 만족시키니까우리는 문자들 가지고 인수분해를 해줍니다 자 x로 묶으면 y + 1의 x죠 그리고 y는 냅두고 -4를 우변으로 옮겨줘요 그러면 얘를 인수분해하기 위해 공통 부분을 만들어 주는 거예요 y + 1이죠 그러면 우리는 y + 1로 묶기 위해서 여기다가 y + 1을 만들어 주는 겁니다 근데 플러스 1을 좌변에 더 있으면 당연히 우변에도 더해줘야겠죠 좌변에만 더 할 수 있는 건 없어요 자 이렇게 됐을 때 y + 1로 묶으면 x+1이 되죠 그게 4와 1을 더한 5가 되는 거예요 그러면 xy가 정수니까 x + 1도 정수고 y + 1도 정수일 거예요 그럼 얘네들이 정수면 정수와 정수를 곱해서 5가 되는 거는 몇 개 없죠 1 곱하기 5 있고요 5 곱하기 1이고 -1 곱하기 -5 있고 -5 * -1 이렇게 네 쌍 밖에없는 겁니다 그래서 이 네 쌍을 모두 각각 해를 구해주는 거예요

자 하나만 해봅시다 x+1은 5고요 y + 1은 1이에요 그러면 x는 4고 y는 0인 거죠 그러면 우리가 x는 4 y는 0이라는 근 하나 나온 거고요 5랑 1 가지고 와해도 해가 하나 나옵니다 x는 0 y는 4 -1과 -5가지고 하면 x는 -6 y는 -2 마지막으로 - 5와 -1 가지고 해주면 x는 -2 y는 -6 이렇게 해가 내 쌍 나오게 되는 겁니다 요게 정수 조건이 주어졌을 때 인수분해를 비슷하게 공통 부분 만들어줘서 근 구하는 방법이에요

자 두 번째 개념 예제도요 지금 정수 조건이 주어져 있어요 xy가 정수라고 했고 용식을 마찬가지로 한번 변형시켜 볼게요x로 묶어서 y-3을 만들 수 있고요 여기가 지금 + 2y가 있고 -10을 넘기면 이렇게 됩니다 그러면 우리는 뭐를 만들어 줘야 되는 거예요 y - 3을 만들어 줘야 되는 거예요 그러면 2로 묶었을 때 y - 3이어야 되죠 근데 그냥 3을 빼면 안 되니까 3을 더해요 자 그러면 여기까지 한번 다시 적어 볼게요 x의 y - 3 + 2의 y - 3 + 3이죠 얘가 10이랍니다 근데 우리가 필요한 부분은 여기까지니까 2+3을 밖으로 빼는데 2를 곱해서 밖으로 빼주는 거예요 자 그러면식이 어떻게 되는 거예요 x에 y - 3 + 2의 y - 3이고요 밖으로 나온 6을 우변으로 넘기면 사각이죠 그러면 x+2의 y - 3으로 묶이고 얘가 4네요 그러면곱이 4인건요 순서쌍이 뭐 뭐 있죠 1과 4 2 곱하기 2 4 곱하기 1 다 - 9부 친 것도 있죠 -2 -2 - 4 -1 각각 XY 해를 구해주면요 1 곱하기 4일 때 x는 -1 y는 7 요거요 두 번째 2고 2일 때는 x가 0 y는 5요 경우는 x는 2 y는 4 요거는 x는 - 3 y = -1 x는 - 4 y는 1 x는 -6 y는 이네요 우리가 구하는 건 xy의 최댓값 최소값이죠 그럼 각 경우에 대해서 XY 값을 모두 구해주면요 -7083 - 4 - 12네요따 라서 최댓값은 뭐예요 z값은 8이고 최소값은 -10이라고 써주면 되겠네

자 여기까지 해서 우리가 부정 방정식의 풀이 방법을 공부해 봤고요 개념 예제도 풀어 봤으니까 요거는 꼭 개념 예제에 다시 한번 풀어 보시길 바랍니다 감사합니다