[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 연립일차부등식

자 우리가 오늘 학습할 내용은 연립 1차 부등식입니다 우리가 1차 부등식을 처음 배우는 건 아니죠 중학교 과정에서 1차 부등식을 학습한 적이 있습니다 그런데 우리가 조금 오래된 거 같아요 우리 1차 부등식 처음 배운지 그러니까 오늘 1차 부등식 복습 먼저 할 거고요 복습 쭉 한 다음에 오늘의 핵심인 연립일차 부등식 푸는 것까지 배워보도록 할게요

그러면 일단 부등식 뭔지 알아야겠어요 부등식은 뭐냐 제가 방정식 카와 같이 설명을 드릴게요 방정식은 뭐예요 어떤 문자가 들어가 있고 좌변과 우변이 등호에 의해서 같다고 표현되는 식을 우리가 방정식이라고 합니다 그러면 부등식은 뭐냐이 같다라고 표현하기 위해 쓴 등 모자리에 등호가 아닌 부등호 요런 애들을 사용해서 나타낸 식을 우리가 부등식이라고 합니다부등식으로 뭘 표현할 수 있는 거예요 숫돈은 시계값의 계속 관계를 알 수가 있는 거죠 그러면 부등식의 해는 뭐예요 어떤 미지수의 값 또는 범위를 부등식에 해라고 합니다 그럼 우리가이 해를 구하는 걸 연습을 하겠죠 그거를 우리가 부등식을 푼다고 할 거고요 부등식을 풀기 위해 사용하는 성질들이 있어요 그게 바로 여기에 나와 있는 얘네들이죠 이렇게

자 그럼 하나씩 한번 볼게요 a가 b보다 크고 b가 c보다 크면 a가 c보다 크다 그랬네요 우리가 수직선 위에 표현을 했을 때 a가 b보다 크니까 이렇게 되고요 b가 c보다 크니까 이렇게 될 거예요 그러면 당연히 a는 c보다 크게 되겠죠 네 1번은 그거를 적어 놓은 성질입니다 2번 볼게요 a가 b보다 커요 a가 b보다 크면 어떤 똑같은 수 c를 더해도 부등호의 방향은 바뀌지 않고 a+ c가 B + c보다 크다가 유지되고요 똑같은 수를 빼도 유지됩니다 자 3번은요 a가 b보다 큰 건 지금 똑같은데요 요거는 똑같은데 c가 만약 양수면 c가 양수면 똑같은 수를 곱해도 유지되고 똑같은 수로 나눠도 부등호 방향이 유지됩니다 자 우리가 4번이 제일 헷갈리는 포인트죠 우리가 부등식을 풀 때 제일 주의해야 하는 부분입니다 자 아이가 b보다 크고 a가 b보다 크고 c가 만약에 음수예요 아까랑 다르죠 아까는 양수연인데 지금은 음수인 거예요 그런데 이 음수를 곱하거나 나눌 때는 무슨 일이 생기냐 바로 부등호의 방향이 바뀌는 겁니다 방향만 바뀌는 거예요 요렇게 됐던게 갑자기 이렇게 되는 거는 아닙니다 요거 아니고 부등호의 방향만 꺾어주는 거예요 자 음수를 곱하거나 나눌 때는 부등호 방향이 바뀐다요게 제일 주의해야 되는 포인트입니다 가끔 학생들이 어떤 걸 헷갈리냐면요 요거랑 헷갈려요 어떤 똑같은 수로 뺄 때는 부동한 방향이 유지를 해줘야 되는데 이렇게 음수가 들어가 있으니까 뭔가 바꿔줘야 될 것 같은 느낌이 드는 거예요 그런데 잘 구분 지어야 됩니다 똑같은 수를 빼는 거는 부동을 방향을 바꾸지 않아요 언제만 바뀌어요 음수를 곱하거나 나눌 때만 바뀌는 거예요 음수를 타거나 나눌 때만 자 요것만 주의하시면 됩니다 부등식을 풀 때는

자 넘어가세요 우리가 1차 부등식을 이제 다시 정의를 하고 있는데요 1차 부등식은 뭐예요 모든 왕을 좌변으로 이양하여 정리하였을 때 이렇게 표현할 수 있는 식을 우리가 1차 부등식이라고 합니다 좌변은 1차식이고 부등호가 들어간 걸 1차 부등식이라고 하면 되겠네요 근데 빠뜨리면 안 되죠 요거 a가 0이면 안 된다는 사실 빠뜨리면 안 됩니다 a가 0이면 x가 날라가니까 우리가요게 빠져 버리면 부등식인데 1차 부등식이라고 하지는 않은 겁니다 자 그러면 얘는 어떻게 푸냐 요렇게 세 가지로 나눠 풀고 있어요이 x 앞에 계수가 a가 양수냐 음수냐 0이냐에 따라서요 자 일단 a가 0이면 우리가 1차 부등식이라고 하지는 않죠네 1차 부등식이라고 하진 않습니다 일단 1번부터 보겠습니다 a가 양수면요 우리가 ax가 b보다 크다를 풀 때는 a로 나눠주면 부등호 방향이 바뀌어요 안 바뀌어요 안 바뀝니다 그래서 그대로 유지되는 거예요 x가 a분의 b보다 크다로 하지만 a가 음수면요 a로 나눴을 때 부동산 방향이 이렇게 바뀌겠죠 그런 경우회가 이렇게 됩니다 자 요거 a가 0일 때 조금 헷갈리실 수 있는데요 a가 0이면 결국 남는 건 뭐예요 좌변은 0만 남고 우변엔 비만 남아요 근데 요거라 그랬거든요 그러면 이게 이제 B 값에 따라 해가 달라지게 되는데 만약에 b가 3이라고해봅시다 그러면 이렇게 되겠죠 자 0이 3보다 큰가요 말이 안 되죠 이런 경우에는 해가 없는 겁니다 즉 b가 0보다 크거나 같으면 요렇게 말도 안 되는 상황이 나와 버리니까 얘는 없다라고 표현을 해주는 거예요 자 반대로 만약 b가 마이너스 2예요 b가 -2면 0은 -2보다 크다라는 당연한식이 나오죠 그럼 얘는 x값의 관계없이 그냥 항상 성립하는 부등식이죠 그래서 해는 모든 실수이다 라고 표현을 해주는 거예요

자 그럼 다음으로 넘어가세요 우리가 이제 정말 오늘 배우려고 했던 연립 1차 부등식을 배워보도록 할게요 연립일차 부등식이 뭐냐면 두 개 이상의 부등식을 한 쌍으로 묶어서 나타낸 것이라고 적혀 있네요 자 우리가 연립방정식을 푼 적이 있죠 예를 들어 x+y는 3과 x+2y는 5라는 식을 우리가 연립 방정식이라고 합니다 자 그러면우리가 방정식 두 개를 묶어 놓은 건데 이거의 해를 구할 때는 얘도 만족하고 얘도 만족하는 동시에 두 방정식을 모두 만족하는 해를이 연립 방정식의 해라고 하잖아요 부등식도 마찬가지입니다 어떤 1차 부등식 x가 2보다 크거나 같다 x가 5보다 작다 이렇게 묶어 놓은 거를 연립 1차 부등식에 한 종류라고 할 수 있고요 요런 애들을 풀 때 지금 얘도 만족하고 얘도 만족해야 되죠 두 개를 동시에 만족해야 돼요 우리가 이거를 부등식에서 뭐라고 표현을 많이 하냐면 공통범위를 구해준다라고 표현을 해줘요 공통 범위 위에 있는 식도 만족해야 되고 아래 있는 식도 만족해야 되는 공통 범위를 구하는 것이 연립 1차 부등식의 해를 구하는 겁니다 자 그러면 우리가 한번 풀인데 한번 직접 풀어볼게요 어떻게 풀 거냐면요 일단 부등식을 풀어요 우리 지금 부등식이 두 개가 있거든요각각 부등식을 풉니다 그 다음에 수직선 위에 나타내서 수직선 위에 나타내는 이유가 뭐냐면 결국은 공통 부분을 찾기 위해 수직선 위에 나타내는 거예요 자 각각 1차 부등식 1차 부등식 풀고요 수직선이 나타내서 공통범위 찾아주는게 우리 연립 1차 부등식의 풀이 방법입니다 개념 예제로 한번 풀어보도록 할게요 자 1차 부등식이 두 개죠 그러면 각각 푸는 겁니다 4x+7은 x+3보다 작다 그랬고요 2x는 -4보다 작고 우리가 x는 -2보다 작다는 결론 얻어낼 수 있습니다 자 밑에 있는 식도 풀면요 -2x+4가 - 4x - 6보다 작거나 같다 그랬죠 아 크거나 같다 그랬죠 그러면 ex는 -10이고요 2로 나눠주면 x값의 범위가 -5 이상이다라고 나오네요 그러면 우리가요 연립부등식이 어떻게 바뀌는 거예요 이렇게 바뀝니다 하나는 -2보다 작고요 하나는 -5보다 크거나 같습니다 그럼 우린 이걸 공통 범위를 찾아 줘야 되거든요 그러면 수직선을 요렇게 그렸을 때 -2보다 작다는 요렇게 그릴 수 있겠죠 제가 빨간색으로 그리면 이렇게 생겼을 거예요 -5보다 크거나 같다는 어떻게 표현할 수 있어요 이렇게 색칠하고 이렇게 표현을 할 수 있죠 그럼 우리가 찾는게 뭐예요 두 개를 동시에 만족하는 공통 범위를 찾는 것이죠 공통 범위는 어디냐 바로 여기입니다 여기 동시에 만족하는 부분 여기를 공통범위라고 합니다 그래서 우리가 식으로는 어떻게 쓰냐 바로 마이너스 5보다는 크거나 같고 x가 -2보다는 작다 이런 식으로 써 주게 됩니다

자 이게 1차 일반적인 연립 1차 부등식의 풀이고요 우리가 종종 요런 연립일차 부등식을 풀게됩니다 x가 하나는 2보다 작고요 x가 하나는 5보다 크거나 같아요 그리고 얘를 수직선 위에 표현하면 어떻게 돼요 2는 여기 있고 5는 여기 있어요 자 그럼 두 개를 동시에 만족하는 즉 겹치는 범위가 있나요 없죠 우리가 요런 거는 결국 뭐라고 표현하냐 해는 없다라고 표현을 해줍니다 연립 1차부등식을 풀었을 때 이렇게 되는 경우도 있어요 자 다음으로 넘어가겠습니다 a가 b보다 작고 b가 c보다 작은 꼴에 연립부등식 풀인데요 우리가 요거는 요렇게 하나씩 만들어 주고 요렇게 식 하나 만들어서 우리가 연립 부등식을 풀어주면 됩니다 이렇게요 자 근데 제가 여기서 주의할 점을 하나 말씀드리면요 끝에 있는 a와 저쪽 끝에 있는 c를 묶어서 a가 c보다 작다를 가지고 연립부등식을 만들어 버리면 안 됩니다 자 하나를 요걸 쓰고 하나를 요거를 써봤다고 할게요그러면 요렇게 써버리면 여기에는 어떤 의미가 담겨 있지 않냐면 b가 c보다 작다라는 의미가 담겨 있지가 않아요 지금 c와 B 사이에 대소관계가 안 나와 있는 겁니다 그래서 요렇게 선택을 하면 안 되고 요거는 무조건 요런 꼴로 바꿔서 연립부등식을 풀어 줘야 된다는 점 그것만 주의하시면 되겠습니다 자 마지막으로 우리가 개념 예제 풀고 이번 시간 마치도록 할 건데요 요렇게 연립부등식 하나 만들어 주고 이렇게 하나 만들어 줘야 된다 그랬죠 그러면 이렇게 -x + 2는 2x - 7 이하구요 2x - 7은 x + 3 미만이에요 그래서 얘를 풀면 9 이상 3X 그리고 x 10 그러면 얘는 x는 3 이상이고요 얘는 x는 12만이니까 수직선 그려서 공통범위 찾아주면 아까 풀었던 거랑 똑같죠 이렇게 3 이상 여기는 12만 공통범위 요기네요따라서 최종적인 해는 3 이상 12만입니다

자 여기까지 해서 우리가 오늘 연립일차 부등식 배워봤고요 1차 부등식 복습까지 끝냈습니다 자 우리가 이번 테마에서 계속 부등식 단원을 공부하게 될 텐데 부등식 부분 많이 까먹으셨다면 꼭 복습 꼼꼼하게 해서 다음 강의 들으시길 추천 드리겠습니다 감사합니다