[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 절댓값을 포함한 일차부등식

자 오늘 학습할 내용은 절대값을 포함한 1차 부등식입니다 두 가지 케이스로 나누어 볼 건데 첫 번째 케이스는 절대값을 한 개 포함한 1차 부등식이고요 두 번째 케이스는 절댓값을 2개 포함한 1차 부등식입니다 그러면 일단 절댓값 한 개 포함한 부등식 어떻게 푸는지 한번 알아보도록 하겠습니다

어떤 상수 ab에 대하여 a가 0보다 크고요 a보다 큰 상수 b에 대하여 지금 어떻게 푸는지 설명이 되고 있어요 하나씩 볼게요 절댓값 x가 a보다 작으면 x는 -a보다 크고 a보다 작다고 하고 있어요 그러면 제가 요거를 조금 설명하기 쉽게 숫자로 예시를 들어보겠습니다 숫자를 예시로 들면 절댓값 x가 만약에 3보다 작아요 절대값 x가 3보다 작으면절댓값이 3보다 작은 애들을 다 써 줘야 되는 거잖아요 그러면 여기에 x에 놓을 수 있는 숫자는 일단 양수 중에서는 입이나 2나 뭐 2.3 이런 애들도 되겠죠 그런데 3을 넘어갈 순 없습니다 그리고 3이랑 같아도 안 돼요 그래서 요거를 풀었을 때 x값이 일단 3보다 작아야 되고요 음수 영역도 마찬가지인 거예요 여기다가 마이너스만 붙이면 얘네들이 다시 되는 애들이죠 그런데 마이너스 3이랑 같으면 돼요 안 돼요 같으면 안 되고 -3보다 작아도 안 됩니다 마이너스 4나 -5 이런 애들은 절대값이 3을 넘어가게 되니까요 그래서 얘를 풀었을 때 범위가 -3보다 크고 3보다 작다라고 나오는 겁니다 그래서 요거를 우리가 3을 a라는 어떤 양의 상수로 생각을 했을 때 이렇게 풀이를 하면 되는 것이고요 두 번째 내용 보겠습니다 이번엔 절댓값 x가 a보다 크대요 절댓값 x가 a보다 크면x가 -a보다 작거나 x가 a보다 크거나 이렇게 설명하고 있어요 이번에는 제가 좀 수직선으로 설명을 드려 볼게요 원점이 여기고요 절대값 x가 a보다 크대요 그러면 양수 a가 여기 있다고 해봅시다 그러면 양수 중에서는 절대값 x가 a보다 큰 x들은 이 a의 왼쪽에 있을까요 오른쪽이 있을까요 그거를 조금 고민해 보면 절댓값이 a보다 크기 위해서 양수 영역에서는 a보다 큰 숫자들이 돼야 됩니다 당연히 a랑 같을 순 없겠죠 여기 지금 부등호가 포함하는 부등호가 아닙니다 자 음수 영역에서는요 - a를 기준으로 -a를 기준으로 왼편 즉 -a보다 작은 애들 요런 애들이 절대값은 더 크겠죠 그렇기 때문에 요걸 풀었을 때에절댓값 x가 a보다 크다면요 x가 -a보다 작거나 x가 얘보다 큰 요런 결론이 나오는 겁니다

자 요 1번과 2번을 합친게 바로 3번에 나오는 내용인데요 우리가 절대값이 a보다 크고 b보다 작대요 그러면 요거를 이렇게 쪼갤 수 있겠죠 절댓값 x가 a보다 크고 절댓값 x가 b보다 작아요 그러면 요거를 풀었을 때는 x값의 범위가 -a보다 작거나 a보다 크거나 이렇게 나오고요 밑에 있는 절댓값 x가 b보다 작다 요거를 풀었을 때는요 -b보다는 크고 b보다는 작다 이렇게 나와야 됩니다 그래서 두 개를 합해서 공통 범위를 찾아주면요 -b보다는 크고요 -a보다 작습니다 그리고 x가 2보다는 크고 b보다는 작다는 결론이 나와서 이렇게풀이를 해주면 되는 것이죠 우리가 요거를 공식처럼 외운다기보다는 각각 상황에 맞춰서 절댓값이 a보다 작으면 어떻게 풀어야 되나 절댓값 ca보다 크면 어떤 결론이 나와야 되나 수직선 위에서 고려를 한 번씩 해주면 더 좋을 것 같아요

자 개념 예제 풀어볼게요 절댓값 ex-5가 3 이상이 돼요 그러면 우리가 이거를 어떻게 풀 수 있어요 2x - 5라는 요식이 3보다 크거나 같을 수도 있고요 아니면 EX - 5라는식이 음수면 -3보다 작거나 같을 수도 있는 겁니다 그래서 요거를 풀어주면 x가 4 이상이라고 나오고요 요거를 풀어주면 x는 1 이하라고 나옵니다 그래서 답을 쓸 때는 x가 1 이하이거나 또는 x가 4 이상이다 이렇게 써주면 됩니다 자 이번에 두 번째개념 예제 풀어 볼 건데요 절대값 3x-4가 5보다 작다 그랬어요 그럼 우리는 요거를 어떻게 쓸 수 있어요 -5보다는 크고 4x - 4가 5보다는 작고 이렇게 쓸 수 있습니다 자 시계요 4를 더해주면요 좌변은 뭐가 남아요 -1이 되고요 가운데 있는 식은 3x가 되고 맨 오른쪽에 있는 식은 9가 됩니다 그래서 이번엔 3으로 나눠 줄 거예요 양수로 나누기 때문에 부등호 방향에는 변화가 없습니다 마이너스 3분의 1 X 3 이렇게 전개가 되고요 마지막으로 3번 풀면요 지금 3 이상 9 이하락을 했어요 절대값 -2x-1이 그러면 -2x - 1이 3 이상 9 이하일 수도 있고요 음수에서는 -9 이상 마이너스 3 이하일 수도 있습니다그래서 각각을 풀어 줄 건데요 첫 번째에 있는 식을 풀기 위해 1을 더해주면요 4 - 2x 10입니다 -2로 나눠주면 부등호 방향이 바뀌어요 -2x - 5 따라서 여기서 -5 이상 마이너스 2야요 결론이 나오고요 오른쪽에 있는 식도 풀어주게 되면요 지금 양변에 1을 더했을 때 -8 - 2x -2 그 다음에 마이너스 2로 나눠주면 이번에도 부등호 방향이 바뀝니다 그래서 여기서 나오는 결론은 1 이상 x는 4이야 이렇게 나오고요 답은 이거 또는 요거라고 써주면 되겠죠

자 그러면 이제 다음으로 넘어가서 절댓값을 두 개 포함한 1차 부등식의 풀이를 할 건데요 우리가 요거는 범위를 좀 잘 나눠줘야 됩니다 범위를잘 나눠줘야 돼요 범위를 그럼 어떻게 나눠 줘야 되냐 우리가 지금 요런 꼴로 쓰여 있을 텐데 절댓값 안에 있는 x-a를 0으로 만드는 x값 a를 기준으로 한번 나눠 주고요 x-b를 0으로 만드는 x값 b를 기준으로 나눠줍니다 자 그러면 a와 b를 기준으로 나눠준다는게 무슨 말이냐면 제가 수직서 위에 ab가 있는데 지금 교재에서 a가 b보다 작다고 했으니까 a를 왼쪽에 쓰고 b를 오른쪽에 쓰면 되겠네요 그러면 a보다 작은 구간 그리고 a보다 큰 구간 이렇게 나누는데 큰 구간에서도 또 다니는 거예요 뭘로 나뉘는 거예요 a보다 큰데 b보다 작은 애들 그리고 b보다는 큰 애들 이렇게 나눠주고요 이렇게 나눠주는 이유는 a라는 값을 기준으로x-a가 양수이거나 음수이거나 부호가 바뀌는 거예요 마찬가지로 b라는 값을 기준으로 x-b의 부호가 양수거나 음수거나 부호가 바뀌는 겁니다 자 그러면요 a와 b를 기준으로 범위를 나눠주면 이렇게 쓸 수 있겠죠 x가 a보다 작은 구간 a보다는 크고 b보다는 작은 구간 그리고 b보다는 큰 구간 이렇게 나눠주는데 지금 마진 값들이 있어요 x는 a x는 B라는 값이요 범위에는 빠져 있죠 얘네는 어떻게 처리하느냐 사실 여기에나 여기에 그냥 등으로 아무데나 추가해주면 됩니다 어차피 절댓값 x-a에서 a를 집어넣으면 0이 되기 때문에 신경 쓸 필요가 없어요 그런데 통상적으로 우리는 여기에 씁니다 a23 그리고 B 이상 대부분의 교재나 해설지에 이렇게 쓰여 있으니까 여러분도 통상적으로쓰는 방법을 따라서 이쪽에 등호를 달아 주시면 좋겠습니다

자 그러면 우리가 이제 이렇게 범위를 나눠서 절댓값 안에 있는 x-a가 양숨지 음순지를 정할 수 있는 거예요 그러면 그 다음에 식을 전개해서 우리가 해를 구해주면 되는 것이죠 그러면이 내용을 토대로 우리가 한번 직접 회를 구해 보도록 하겠습니다 자 부등식 절댓값 x+2의 절댓값 x-3이 4보다 작다는이 부등식을 풀 건데요요 부등식을 풀기에 앞서서 범위를 나눠줘야 된다 그랬어요 범위는 어떻게 나눠줘요 절댓값 x 안에 있는 x를 영으로 만드는 x값 x는 0이죠 여기는 절댓값 안에 있는 x-3을 0으로 만드는 x가 3이 그러면 우리는 구간을 어떻게 나누는 거예요 0과 3을 기준으로 0보다 작은 구간 0보다 크거나 같고 3보다 작은 구간 3보다 크거나 같은 구간 이렇게3개로 잡아주면 됩니다 그래서 요렇게 한번 풀어줄 거고 요렇게 한번 풀어 줄 거고 이렇게 한번 풀어 줄 거예요 그러면 첫 번째 x가 0보다 작을 때는요 절댓값 x가 양수의 음수예요 음수입니다 절대값 x-3도 음수죠 그래서 -2에 x-3 이렇게 절대값을 없애면 우리가 이제 풀 수 있는 부등식이 된 거잖아요 자 마이너스 3x + 6은 4보다 작고요 -3x는 -2보다 작아서이 안에서 x 값은 3분의 2보다 크다가 나옵니다 그런데 우리가 품 범위는 x가 0보다 작다라는 범위에서 푼 건데 x가 3분의 2보다 크다라고 나왔어요이 영역을 만족하면서이 영역을 만족하는 x값은 없죠 그래서 여기는 어떤 해가 나오지 않습니다 두 번째는요 0 이상 선미만이에요그러면 절댓값 x는 양수니까 그냥 x로 나오고 플러스 2의 절댓값 x - 3인데 이때 절댓값 x - 3은 아직 음수예요 안에 있는 x-3이 음수기 때문에 우리는 마이너스를 달고 -2에 x-3이 되는 거예요 이게 4보다 작다 그랬고요 x - 2x + 6이 4보다 작아서 -x는 -2보다 작습니다 그러면 x가 2보다 크다라는 요런 범위가 나와서 0 이상 3 미만이면서 x가 2보다 큰 공통 부분을 구하면 우리는 어떤 걸 얻을 수 있는 거예요 2보다는 크고 3보다는 [음악] 작다가 나오는 겁니다

자 이번엔 마지막으로요 x가 3 이상일 텐데요 이때는 둘 다 양수죠 절댓값 x도 x가 양수라 그냥 플러스로 나오고 +2의 절대값 x-3에서 x-3이 양수라 이렇게 나옵니다얘가 4보다 작아요 풀어주면 x+2x-6은 4보다 작다고 4x가 10보다 작으니까 x는 3분의 10보다 작다가 나오네요 그러면 주어진 조건 x가 3 이상이라는 범위를 만족하면서 3분의 10보다 작다요 범위를 만족하는 x값들은요 3 이상 x 그리고 3분의 10 미만 이렇게 나옵니다 그래서 우리가 구한 헤드를 모두 합해주면 여기는 해가 없고 요거와 요거를 합해 주면 되겠죠 그래서 2보다는 크고 3분의 10보다는 작다는 결론이 나옵니다 요거는 공통 범위를 찾아주는게 아닙니다 왜냐하면 우리가 x값이 여기에도 있을 수 있고 여기에도 있을 수 있고 여기에도 있을 수 있는 거예요 여기는 지금 각각 다른 케이스이기 때문에 우리는 여기 나온 해와 여기 나온 해에 공통 부분이 아닌 이것 또는이범위를 마지막 답으로 작성해주면 되는 거예요

자 여기까지 해서요 우리가 지금 절댓값을 포함한 1차 부등식 두 가지 케이스에 대해 풀어 봤구요 조금 유형이 어려운 유형일 수 있어요 우리가 범위도 나눠줘야 되고 계산도 마무리하는 과정에서 조금 헷갈린 부분들이 있으니까 복습하면서 꼭 꼼꼼하게 공부하시길 바라겠습니다 감사합니다