[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 이차부등식

자 오늘 학습할 내용은 2차 부등식입니다 우리가 2차 부등식인데 2차 부등식이 뭔지 알아야겠죠이 차부등식이란 일단은 정리를 했을 때 우리가 모든 항을 좌변으로 이양을 하여 정리했을 때 좌변이 2차식이고 모두 이차식이죠 우변은 0이 남겠어요 왜냐 모든 항을 좌변으로 이양을 했기 때문이죠 그랬을 때이 좌변과 우변 사이에 부등호가 들어간 꿀 부등호의 종류는 4가지가 있습니다 이렇게 4가지가 들어간 꿀을 우리가 2차 부등식이라고 할 거예요 2차 부등식이라고 하고요 2차 부등식은 어떻게 푸냐 이게 오늘 배울 내용의 핵심인데요 일단 교대를 한번 읽어보겠습니다 2차부등식 ax² + bx + c가 0보다 클 해를 구하는 과정이에요

자 요거에서 요구르지가 함수로 잠깐 생각을 한거예요 이차식을 여기 좌변에 있는 이차식을 함수라고 생각을 합니다 그랬을 때 우리는 우리가 찾는 건 y가 양수일 x 범위를 찾는 거예요 자 y가 양수일 x 범위를 찾는다 그랬어요 그러면 y가 양수인지 음수인지는 어떻게 판단해요 바로 x축 위에 있으면 우리가 y가 양수인 거죠 x축 기준으로 x축 기준으로 y 축이 이렇게 세로축인데 위에 있는 요기 영역이 있는 애들은 y 값이 양수인 애들이죠 밑에 있으면 뭐예요 여기 있으면 y 값이 음수인 애들이에요 이렇게 x축 위에 있으면 y 값이 양수고 x축 아래 있으면 y 값이 음수입니다 이걸 가지고 우리가 부등식을 풀게 되는데 간단히 말하면 우리가 그래프를 통해서 그래프에서 x축과의 교점을 찾아요 우리 x축과의 교점은 어떻게 찾을 수있어요 요렇게 함수로 나왔을 때요 함수에다 y는 0을 대입해서 방정식의 근을 찾아주죠 방정식의 근을 찾아줍니다 방정식의 근을 찾아 줘요 자 교점을 찾기 위해 y에다 0을 대입해서 방정식의 근을 찾아주는 거예요 그랬을 때 우리는 어떤 범위를 찾아낼 겁니다이 교점을 기준으로요

자 그럼 어떻게 찾는지 한번 볼게요 밑에 그림이 있습니다 그림이 있는데 a가 양수일 때예요 a가 양수일 때고 얘가 지금 y는 ax² + 2x + c의 그래프라고 하겠습니다 그러면 만약에 ax² + bx + c가 0보다 클 x값의 범위 찾으라 그랬어요 그러면 지금 여기를 y라고 놓은 거잖아요 우리가 얘를 y라고 놓은 거예요이 함수 그래프는 그랬을 때y가 양수인 즉요 범위 그리고 여기 이런 애들이 y가 양수인 애들인 거예요 근데 우리는 y가 양수가 되는 x 값들을 찾는 거죠 여기 있는 빨간색 y 값들을 만들어내는 x 값들은 어디예요 요기죠 여기 제가 지금 녹색으로 색칠하고 있는 부분 녹색으로 색칠하고 있는 부분입니다 과연이 교점은 포함할까요 xqui 교점은 포함하지 않습니다 왜죠요 점은요 요점은 우리가 딱 0이 되는 순간이에요 그래서 우리는 지금 0보다 큰 범위를 찾고 있으니까 여기는 포함하지 않습니다 그래서 여기를 알파라고 하고 여기를 베타라고 한다면 즉 ax 제곱 플러스 bx + c는 0이라는 방정식의 근이 알파와 베타면 우리는 요거의 근이 어디인 거예요 x는 알파보다 작거나 x는 베타보다 크거나 이렇게 나오는 겁니다 자 지금 교재 밑에서는요 이런 내용도 설명하고 있어요 ax² + bx + c가 음수일 경우이 그래프 가지고 똑같이 설명을 하겠습니다 제가 파란색으로 색칠을 할 거고요 y 값이 음수인 부분은 여기죠 y 값이 음수인 부분은 여기에요 그러면 ax 제곱 플러스 ex+c가 음수일 범위를 구하면 음수일 범위를 구하면 x값은 어디인 거예요 여기 사이인 거예요 사이 그럼 어디부터 어디까지죠 알파부터 베타까지 알파랑 베타는 포함을 해요 안 해요 포함을 안 하죠 왜냐 0보다 작으니까요 그럼 만약에 여기서 지금 0을 포함을 했어요 여기서 포함했다고 해봅시다 그러면 0이 되는 거죠 그러면 x에다 알파를 넣어도 되고 베타를 넣어도 되는 겁니다 그래서 범위가 이렇게 바뀌는 거예요 여기까지 되셨나요

자 제가 지금최고창 계수 즉 a 값이 양수인 경우 a값이 양수인 경우에 대해서만 따져봤는데 a가 음수인 경우에도 똑같은 논리를 적용해서 우리가 해를 구해주면 됩니다 요거는 개념 예제를 풀면서 해보도록 할게요 자 우리 지금 개념 예제를 볼 건데요 fx의 그래프가 다음 그림과 같을 때 다음 2차 부등식의 해를 구하라 그랬어요 일단은 지금 여기가 -이고 여기가 1입니다 그러면 첫 번째로 구해야 될 것은 fx가 0보다 클 범위를 구해야 돼요 그러면 y가 0보다 큰 거라 그랬죠 y가 0보다 큰 건 x축 위에 있습니다 여기랑 여기에요 그랬을 때 우리가 찾는 건 뭐예요 x값의 범위 x값의 범인 어디예요 여기죠 -2는 포함하나요 포함 안 합니다 0보다 크다 그랬으니까 x에다 -1을 넣으면 바로 딱 0이 되기 때문에-2는 포함하면 안 돼요 1보다 큰 범위도 되는 거죠 여기도 되니까요 그래서 요거에 해를 우리가 뭐라 할 수 있는 거예요 x가 -2보다 작아도 되고요 x가 1보다 커도 돼요라고 해주면 됩니다

자 두 번째는 fx가 0보다 작거나 같은 범위고요 y 축으로 치면 여기 x축 아래 있는 범위입니다 그러면 요때 x값의 범인 어디부터 어디예요 여기부터 얘는 -1을 포함할 수 있어요 왜 포함할 수 있어요 여기 지금 등호가 들어갔어요 그래서 여기에 있는 범위를 포함해서 여기 있는 x값들이 다 되는 겁니다 따라서 x값의 범위는 -2부터 1까지가 되는 거예요 제가 아까요 내용은 요 내용은 개념 예제에 가서 한다고 했는데요 제가 그 내용을 한번 더 추가로 풀어 보도록 하겠습니다 만약에 fx가 -x의 제곱 마이너스 3x-2예요요게 양수일 범위 구하래요 그러면요 그래프를 그려도 좋아요이 그래프를 그려볼게요 얘를 지금 -로 묶으면 x 제곱 플러스 3x + 2고요 인수분해하면 -x + 1의 x + 2니까 요렇게 돼서 그래프가 이런 그래프가 그려질 거예요 -2 -1 그랬을 때 지금 y 값이 뭐인 거예요 양수인 거죠 여기입니다 여기 그리고 0보다 크다니까 얘는 포함하면 안 돼요 x값의 범인 어디부터 어디예요 -2부터 -1까지입니다 요렇게 가도 되는데요 우리가 지금 최고차 한 개수가 양수인 걸 많이 연습을 했죠 지금 얘도 최고차항 지수가 양수고 앞에서 배운 것도 양수에요 그래서 요런 걸 풀어줘도 좋지만 요거에 있는 fx를 양변에 마이너스 1을 곱해서 양변의 마이너스 1을 곱해서 x 제곱 플러스 3x + 2가0보다 작다는 걸로 풀어줘도 됩니다 다음으로 넘어가 볼게요

자 다음으로 넘어가서요 제가 세 가지 케이스로 나누어 설명드린다고 했는데 첫 번째로 판별식이 0보다 큰 경우에 2차 부등식 캡니다 앞에서 설명드린 거랑 차이 나지 않아요 그거 가지고 연습하신다고 생각하시면 되고 만약 이렇게 판별식이 0보다 크면 근을 두 개 갖는 거죠 방정식이 근이 두 개니까 요렇게 알파와 베타로 인수분이 되는 꼴일 겁니다 그러면 ax² + bx+c가 만약에 양수인 x값 범위를 찾으라 그랬어요 그럼 제가 뭐라 그랬어요 인수분해야 된다 그랬죠 인수분해해서 그래프 그려서 범위 찾아주는 거예요 인수분해 이렇게 된 거죠 양수니까 판별식 양수니까 인수분해가 된 거예요 얘가 0보다 크다 그랬네요 그러면 어디인 거예요 그래프 상에서 여기랑 여기인 거죠 그러면 x값은 알파보다 작고 베타보다 크고요 두 범위가 되는 거죠여기 지금 등호가 안 들어가 있으니까 앞에서 설명드렸다시피 여기도 지금 비어있는 범위가 돼야 되는 겁니다 알파 미만 베타초과 그러면 만약에 등호가 들어갔어요 등호가 들어가요 그럼 여기도 들어가야 되는 겁니다 왜죠 요걸 넣었을 때 성립을 하니까요 요렇게 요렇게 자 0보다 작은 범위는 생략하도록 하겠습니다 0보다 큰 경우 2차 부등식의 해를 구하라고 했는데요 제가 가장 먼저 뭐를 하라 그랬어요 인수분해 되는지 보라 그랬죠 x 제곱 마이너스 7x+12를 인수분해하면 x-3의 x-4예요 그럼 얘가 0보다 큰 거를 구하는 건데 요거 그래프를 그립니다 x 축을 그리고요 함수가 요렇게 생겼을 거예요 그리고 교점 좌표가 하나는 3이고 하나는 4니까 여기를 3이라고 하고 여기를 4라고 합니다 그러면 요게 0보다 크니까0보다 크니까 위에 있는 부분을 말하는 거죠 여기를 지금 말하는 거예요 여기랑 여기랑 그러면 우리가 원하는 x값의 범위는 어디예요 여기죠 3번 단 작고 4보다 크고 따라서 요거의 해는 x가 3보다 작고 x가 4보다 크다라고 해주면 되는 겁니다

자 이번엔 0보다 작거나 같다 그랬어요 그러면 x축 밑에 있는데 x축도 포함하는 거죠 그러면 여기를 포함하고요 밑에 있으니까 여기서부터 요만큼입니다 그러면 우리가 찾는 x값의 범위는 어디예요 바로 여기죠 이렇게 그러면 어디부터 어디까지가 되는 거예요 3 이상 4 이렇게 그래프 그려서 찾아 주시면 됩니다 그럼 요런 생각이 드실 수 있어요 아 이거 어차피 두 가지 케이스밖에 없는데 외워서 풀어도 되는 거 아니냐 하지만 우리가 뒤에서 배울 판별식이 0인 경우랑 판별식이 0보다 작은 경우에서는 조금 케이스가 다양해집니다판별식이 0인 경우 볼게요 판별식이 0인 경우는 x축과의 교점이 하나에요 x축과의 교점이 요렇게 하난데 이렇게 스치듯이 접하죠 그리고 중근이라고 하잖아요 중근 방정식에서 자 그래프가 만약에 이렇게 그려져요 문제에서 만약에 ax² + bx + c가 양수인회를 찾아라 그랬어요 그래프가 이렇게 생겼는데 자 그러면 0보다 큰 범위를 제가 한번 표시를 해 볼게요 일단은 얘네 됩니다 얘네 당연히 양수에요 얘네들 되는데 x가 알파인 순간이 ax 제곱 플러스 bx + c y 값이 0이죠 그럼 우리는 0보다 큰 거 찾고 있는데 x가 R 파인 순간 0이니까 얘는 빠져야 됩니다 이렇게 그러고 다시 넘어가면 얘들은 또 되는 거죠 그럼 우리가 요걸 x의 범위로 표현할 때 어떻게 표현을 해줘야 돼요 알파 빼고 다 되잖아요 알파 빼고 다 되니까x는 r8을 제외한 모든 실수라고 써주는 거예요 자 그러면 만약에 이번엔 부등호에서 등호가 포함했어요 요렇게 0 이상으로 요거면 걔는 어떻게 될까요 아까는 알파가 안 돼서 얘를 빼고 갔는데 이번엔 0이어도 되니까 이거를 포함한 배는 모든 실수가 되는 겁니다 알파를 포함해 버리면 전범위가 되잖아요

자 마지막 3번 볼게요 만약에 0보다 작다 그랬네요 그러면 해가 어떻게 되는 거예요 0보다 작은 범위 지금 하나도 없잖아요 여기 지금 0보다 작은 범위가 하나도 없어요 그래서 얘는 없다가 되는 거예요 그거를 만족하는 x값이 없으니까 여기 만약 여기 들어가면요 x가 fxax² + bx + c가 0 이하인 해를 구하라 그랬어요 그러면 어디 만들까요 알파만 되죠 자 0보다 작은 건 없고요 0이랑 같은 건 알파랑 같을 때만 되죠 그래서 만약요 경우를 물어봤다 그러면x는 알파 요거 하나만 되는 겁니다 자 여기까지 되셨나요 자 그럼 넘어가세요 개념 예제 한번 풀어볼게요 x 제곱 마이너스 6x+9를 인수분해하면 x-3의 제곱인 완전 제곱식으로 인수분해가 됩니다 얘가 0보다 크다 그랬어요 그러면 그래프를 그려보면 얘가 x는 3에서 접하니까 이렇게 생겼거든요 이렇게 생겼는데 0보다 큰 범위 찾으래요 0보다 큰 범위 차세라 그랬으니까 얘는 돼요 되다가 x가 3인 순간 딱 안 되죠 0이 되버립니다 요거 빼고 나머지 다 됩니다 그래서 우린 답을 뭐라고 쓰면 돼요 x는 3이 아닌 모든 실수라고 써주면 되겠네요 자 오른쪽 문제 2번도 한번 풀어보겠습니다 마찬가지로 x 마이너스 3의 제곱이 0보다 작거나 같다 그랬고요 0보다 작거나 같다는데 그래프는 지금 이렇게 생겼어요 자 아까 했던 건데 다시 한번 설명드릴게요0보다 작거나 같다는 건 0보다 작은 것도 있고 0이랑 같은 것도 있어요 근데 지금 우리 그래프에는 0보다 작은게 있어요 없어요 없어요 0보다 작은 거랑 0이랑 같은 거랑 두 개의 해를 구해야 되는데 0보다 작은 거는 없어요 그러면 0이랑 같을 때만 고려해 주면 되죠 0이랑 같을 때는 x 값이 뭐인 거예요 3 이거 하나 되는 겁니다 부등식이지만 답이 요렇게 방정식처럼 나올 수도 있는 거예요 여기까지 되셨나요

자 마지막으로 판별식 0보다 작은 경우에요 판별식이 0보다 작다는 건 y에다 0을 집어넣은이 2차 방정식의 근이 있다는 거에 없다는 거예요 없다는 거예요 요거 근이 없으니까 그래프가 이렇게 주가의 교점이 없이 공중에 붕 떠 있는 모양이 되는 거죠 자 그럼 봐봐요 ax² + bx + c가 양수라 그랬어요 그러면 그래프가 x 위에 있는 x값 범위를 찾으라고 하는 거거든요그런데 지금 x축이 x축 위의 모든게 지금 떠 있죠 그래프의 y 값들이 모두 양수인 거예요 그러면 어떤 x값을 집어넣어도 y 값이 다 양수니까 해가 어떻게 되는 거예요 모든 실수가 되는 겁니다 자 마찬가지로 ax² + bx + c가 0보다 크거나 같다고 해도요 어차피 그래프는 x축 위에 붕 떠 있으니까 해는 모든 실수로 나오는 거 마찬가지구요 자 0보다 작냐고 물어봤어요 그러면 여기 음수 인구간에 함수가 있냐 없냐 물어본 건데 여기는 없죠 그러면 그거를 만족하는 x 값이 없으니까 얘는 없다라고 하면 돼요 요것도 마찬가지로 0 이하인 것도 없네요 자 그러면 여기까지 해서 마지막으로 우리가 개념 예제 풀어보도록 하겠습니다 자 x 제곱 마이너스 2x + 3이 양수인 건데요 우리가 요거는 지금 판별시티 2를 썼을 때 -2의 제곱 마이너스 4 * 3이라서 4 - 12는 -8이죠 그럼 얘는지금 뭐예요 음수죠 음수 그러면 근이 몇 개예요 근이 없어요 방정식이라고 생각을 했을 때 그럼 x축과의 교점이 없는 겁니다 그래프가 최고차항 기수 양수라서 이렇게 붕 떠요 자 얘가 0보다 큰 x값 뭐예요 모든 x값에 대해서 y 값이 다 양수죠 어떤 값을 집어넣어도 y 값이 다 양수가 되는 겁니다 그럼 이런 경우에 해는 뭐라 그래요 얘는 모든 실수다 이렇게 써주면 되는 겁니다

자 오른쪽 것도 마찬가지인데요 우리 판별식 쓰는 과정 생략하고 이렇게 썼을 때 0보다 작거나 같은 걸 물어봤네요 0보다 작거나 같은 거는 여기에 y 값이 있거나 여기에 y 값이 있는 걸 물어보는 거예요 그런데 지금 있어요 없어요 없어요 뭐라고 하면 돼요 걔는 없다 이렇게 해주면 됩니다 자 정리하면요 우리가 a가 양수인 경우판별식이 0보다 크다 0이랑 같다 0보다 작다 그래프가 이렇게 그려주죠 이렇게 이렇게 그려져요이 판별식이란 거는 y에다가 0을 집어넣었을 때 나오는 판별식입니다 y에다 0을 집어넣었을 때 나오는 2차 방정식에서 쓴 판별식이에요 자 그럼 우리가이 판별식의 값에 따라서 그래프의 위치를 이렇게 표현을 해주고요 표현을 해주고 표현을 해주고이 표를 외우는게 아니라요 우리는 그래프 그려놓고 y 값이 0보다 크냐 0 이상이냐 0보다 작냐 0 이하냐 그거에 따라서 겹치는 부분을 찾아주는 거예요 그 y 값을 만족시키는 x값의 범위를 찾아주면 됩니다 절대 외우시는 거 아니고요이 x와 y의 관계 정확하게 이해를 하셔야 됩니다

자 여기까지 해서 우리 2차 부등식의 풀이 방법 마치겠고요 2차 부등식 조금 생소하실 수 있어요 우리가 1차 부등식은 그냥 계산으로만 답이 나오는데 2차 부등식은 우리가 그래프를 그려서 위치를 파악하면서 x 값을 찾아 줘야 되기 때문에 어떻게 보면 단계가 꽤나 많이 추가되어 있어요 그렇기 때문에 조금 복잡해 보이실 수도 있지만 충분한 연습을 통해서 잘 하게 될 수 있는 단원입니다 얼마든지 하실 수 있고요 오늘 강의는 여기까지 마치도록 하겠습니다 감사합니다