[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 이차부등식의 해의 조건

오늘 학습할 단어는 2차 부등식의 해외 조건입니다 우리가 2차 부등식을 작성하는 방법을 먼저 배워 볼 건데 제가 예시를 들면서 먼저 시작을 해 볼게요

x 제곱 마이너스 6x + 5가 0보다 작다는 요런 2차 부등식이 있었어요 그러면 우리가 인수분해를 하게 되고요 x-1의 x - 5가 0보다 작다로 인수분해가 되고 여기서 x의 범위를 구하면 우리가 1보다는 크고 5보다는 작다는 범위를 구할 수가 있습니다 근데 여기서 배우고 있는 내용은 뭐냐 거꾸로 가는 거예요 만약에 어떤 이차부등식의 해가 1보다는 크고 5보다는 작대요 그러면 1과 5를 근으로 갖는 1과5를 근으로 갖는 2차 방정식을 먼저 써줘볼게요 x-1의 x-5는 0이죠 근데 우리가 지금 풀고 있는 건 뭐예요 부등식이에요 그래서 등호가 아니라 x-1의 x-5가 0보다 작은지 큰지 고려를 해주면 되겠죠 그런데 그래프를 그려서 확인을 해보면 요렇게 돼서 여기가 1이고 여기가 5니까 x값의 범위가 1부터 5인데는 y 값의 범위는 음수니까 바로 0보다 작다가 됩니다 그런데 여기서 끝나면 안 되고요 우리가 최고차항 계수 a라고 달아 줘야 됩니다 단 양수인 경우에만 a가 음수면 부등호 방향이 바뀌어서 해가 달라지게 되겠죠 지금 교재에서 설명하고 있는 내용은 x 제곱에게 수가 1인 경우만 설명하고 있어서 지금 맨 앞에 계수가 아무것도 안 써있고 입이 써 있는 겁니다 자 제가 지금x-1과 x-5로 인수분해되는 2차식을 가지고 있는데요 당연히 알파보다 크고 베타보다 작은 범위에서도 똑같은 방법으로 우리가 이런 2차 부등식을 만들어 줄 수 있겠죠 단 a는 양수 자 x가 알파보다 작고 x가 베타보다 큰 알파보다 작거나 베타보다 큰 이해를 갖는 이차부등식도 우리가 작성할 수 있습니다 a의 x - 알파 x 마이너스 베타가 0보다 크다 마찬가지로 단 a는 양수여야 되고요 자 다음으로 넘어가서 2차 부등식이 항상 성립할 조건인데요 2차 부등식이 우리 2차 함수를 기반으로 지금 해를 구하게 되잖아요 그러면 그 2차 함수가 이렇게 x축과 안 만날 수도 있고 한 점에서 만날 수도 있고 요렇게 두 점에서 만날 수도 있습니다이거는 어떻게 해요 우리가 y는 ax² + bx + c인데 y에다가 0을 넣었을 때 나오는 2차 방정식 ax² + bx + c는 0의 판별식 d를 가지고 위치 관계를 결정할 수가 있죠 왜죠 근의 개수가 교점 개수니까 근의 개수가 교점 개수이기 때문에 근의 개수를 알 수 있는 판별식의 부호에 따라서 위치 관계를 정할 수 있게 됩니다

자 지금 맨 오른쪽에 있는 경우는요 교점이 두 개죠 교점이 두 개면 판별식이 0보다 커야 됩니다 얘는 지금 접하는 거예요 한 점에서 만나는 거죠 교점이 한계니까 판별식이 0인 것이죠 자 얘는 교점이 없네요 그러면 판별식이 0보다 작아야 됩니다 근데 우리가 오늘 관심이 있는 건 요거예요 이거를 좀 관심있게 보자 이거예요 자 얘가 지금 어떤 특징이 있냐면 x축 위의 붕 떠 있기 때문에얘가 갖는 모든 y 값들은 모든 y 값들은 어떻게 되는 거예요 항상 0보다 큰 거예요 x값의 어떤 것을 집어넣어도 y 값이 모두 양수이게 됩니다 자 그러면 우리가 이렇게 정리할 수 있어요 어떤 이차부등식 ax² + bx+가 항상 0보다 크대요 그러면 모든 x에 대해서 y 값이 다 양수인 거죠 그러면 얘의 그림처럼 생겨야 되거든요 얘처럼 그래프가 이렇게 위에 있어야 되는 거예요 근데 그러기 위한 조건이 뭐예요 판별식 0보다 작아야 되는 거죠 그래서 이런 조건이 성립하고요 제가 지금 기준을 뭘로 잡았어요 아래로 볼록한 2차 함수를 기준으로 잡아서 그렸죠 그래서 a가 양수고 판별식이 0보다 작다라는 조건이 나오는 겁니다

자 2번도 같이 볼게요 이번에는 부등호가 조금 바뀌었죠 0 이상이 되어 0 이상 그럼 0인것까지는 되는 거죠 0인 것까지는 되니까 아까 생각한 얘는 당연히 되고요 모두 양수니까 얘도 되는 거죠 0인 순간까지도 되는 거니까 그래서 판별식이 0보다 작은 것도 되고 0이랑 같은 것도 되니까 0보다 작거나 같다라고 설명하고 있는 겁니다 자 이번엔 a 값이 음수일 때를 기준으로 해 볼 건데 음수일 때에도 똑같아요 x축이 이렇게 있고 그래프가 이렇게 생겼거나 이렇게 생겼거나 이렇게 생겼거나 한데 얘는 지금 판별식 경보다 작은 거죠 그때 모든 y 값이 어떻게 생겼어요 모든 y 값이 음수입니다 모든 y 값이 음수 그래서 요게 성립할 조건은 덤벨 지경보다 작고 최고차 항의 수가 음수일 때를 말하는 거고요 여기도 등호가 들어갔으니까 얘는 그대로고 여기에 부등호가 조금 바뀌어서 이런 조건이 되는 겁니다 근데 보통 우리가 문제를 풀 때는이 최고차 한계수가 음수인 거를 하지않고요 재고차항 계수를 양수로 바꿔줘서 문제를 푸는 경우가 많습니다 그냥 최고차 한 개수를 양수로 바꾸기 위해서 -1을 양변에 곱해주면 보호가 바뀌니까 이런 조건들만 가지고도 우리가 대부분의 문제를 해결할 수 있습니다

자 개념 예제 보도록 할게요 모든 실수 k에 대하여 얘가 항상 0보다 크대요 항상 성립한다는 거 뭐예요 모든 x에 대해서 모든 x에 대해서 항상 양수라는 거예요 지금 최고차 한계수 1이니까 양수고요 x축이 만약에 이렇게 있다면 그래프가 붕 떠 있는 형태가 돼야 되는 거죠 그러면 판별식이 뭐라고요 0보다 작아야 된다고요 d는요 4분이 뒤로 해주는게 좋겠네요 짝수 공식에서 쓰는 자 k-1의 제곱 마이너스 4K +8이죠 그러면 전개해주면 j의 제곱 마이너스 2K+ 1 - 4K -8 제곱 마이너스 6k - 7이 0보다 작아야 됩니다 판별식 경보다 작아야 되니까요 그러면 우리가 지금 요거를 풀어 줘야 되는데 얘가 지금 다시 뭐가 됐어요 2차 부등식이 또 됐죠 t에 관한 2차 부등식이 됐어요 그래서 이거를 k에 관한 2차 부등식을 풀어주면 됩니다 인수분해가 되어 k-7의 k+1로 인수분해가 되고 얘가 0보다 짝을 K 값의 범위는 우리가 최종적으로 -1보다는 크고 7보다는 작다라고 계산해 주시면 됩니다

자 오늘 배울 내용은 여기까지인데요요 2차 부등식이 항상 성립할 조건 정말 강조드리고 싶어요 일단 첫 번째 이유는이 2차식이 항상 양수인 경우 2차식이 항상 양수인 경우를 물어보는 경우가 정말 많습니다 다른 단원에서도 정말 자주 나오는 내용이고이 2차식이 항상 양수율 조건판별식이 0보다 작다 이렇게 꼭 숙지하시기 바라겠고 제가 또 강조하는 두 번째 이유는 2차식이 양수라 그러면 뭔가 긍정적인 기분이 드는데 판별식이 음수라 그러면 뭔가 부정적인 기분이 들어서 이게 뭔가 부도화가 일어나요 되게 뭔가 잘 못 받아들이는 학생들이 많더라고요 우리가 배운 내용 그대로 판별식 기경보다 작으면 그래프가 이렇게 위에 있어야 되니까 항상시기 양수다 이렇게 잘 공부하시기 바랍니다 자 여기까지 하겠습니다 감사합니다