[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 방정식과 부등식 - 이차방정식의 실근의 조건

자 우리가 오늘 학습할 내용은 2차 방정식의 실근의 조건인데요 우리가 두 가지를 배울 겁니다 하나는 실근의 부호에 관한 내용이고 두 번째는 실근의 위치에 관한 내용이에요 자 실근의 부호를 먼저 보도록 하겠습니다 우리가 어떤 2차방정식이 주어져 있다고 할게요 ax² + bx + c는 0이라는 이런 이차방정식이 주어져 있습니다 그때이 2차방정식의 근을 한번 알파랑 베타라고 해볼게요

자 첫 번째 보면요 두 근이 모두 양수일 조건이에요 자 일단 양수라는 거는 허그는 아니죠 허그는 우리가 부호를 따질 수가 없어요 그래서 일단 실근을 갚기 위해서 판별식이 0보다 크거나 같다는 조건 필요하고요 두근을 알파랑 베타라고 했는데 두 근의 합은양수와 양수를 더했으니까 당연히 양수죠 두 근의 곱은 양수끼리 곱했으니까 당연히 양수겠네요 그래서 두 근이 모두 양수일 조건은 요렇게 세게 따져 주시면 되고요 두 근이 모두 음수일 조건은 마찬가지로 실근을 가지니까 판별식 0보다 크거나 같아야 돼요 그리고 알파플러스 베타는 음수가 되고요 음수랑 음수도 하니까 음수죠 두 근의 곱은 음수와 음수의 곱이니까 양수입니다 자 그런데 두 조건에 비해 요게 여기 보면은 지금 조건이 좀 적죠 얘는 알파베타에 관한 조건 밖에 없어요 자 두 근이 서로 다른 부호일 조건인데 왜 이것만 따져도 되냐면요 우리가 알파 베타라 하면 근과 계수의 관계에 의해서 a분의 c죠 제가 지금 일단 음수가 나와야 되는 거는 당연합니다 한 근이 양수고 한 근이 음수니까 양수와 음수를 곱하면 음수가 나와야 돼요 그렇죠 그래서 a분의 c가 음수인데 이러면 a와 c의 부호가 다르다는 의미니까a와 c의 곱도 음수입니다 그러면 여기서 만약에 판별식을 썼어요 판별식은 b² - 4ac죠 자 b² - 4ac를 쓰고 봤더니 B 제곱은 어차피 제곱이라 양수고 -4ac는 ac가 음수인데 -4를 곱했으니까 양수가 되죠 그래서 우리가 판별식이 양수가 될 수밖에 없는 겁니다 그래서 굳이 따져 줄 필요가 없는 거죠 자 두 근의 합은 왜 안 써져 있을까요 두 근이 3다른 부호라 그랬는데 서로 다른 부운데 하나가 양수고 하나가 음수인데 합했을 때 양수가 될지 음수가 될지는 모르는 거잖아요 그래서 조건이 없는 겁니다 물론 문제에서 두 군중 양수의 양수근의 양근의 절대값이 더 크다 이런 식으로 써 있을 수 있어요 그럴 때는 알파플러스 베타가 양수다라는 조건을 달아 줘야겠죠 근데 보통의 경우에는 따지지 않는다는점 우리가 고려해 주시면 될 것 같습니다 다음으로 넘어가서요 우리가 실근의 위치인데요 4가지 케이스에 대해서 공부를 합니다 모두 피보다 큰 경우 피보다 작은 경우 두근 사이에 피가 있는 경우 두 분이 모두 pq 사이에 있는 경우 요렇게 4가지에 대해 고려를 해줍니다 자 4가지를 고려했을 때 우리가 따져 줘야 되는 건 세 개가 있어요 판별식 뒤에 부호 경계에서의 함수값의 부호 축의 위치 이렇게 3개를 따져 주게 돼요

자 그러면 제가 하나씩 한번 따져 볼 건데 두 근이 모두 피보다 크다 그랬어요 그러면 p가 여기 있으면 알파가 여기고 베타가 여기죠 그러면 알파랑 베타를 지나는 2차 함수는 이렇게 생겨야 됩니다 마찬가지로 판별식 0보다 크거나같아야 되고 fp는 양수여야 되고 이번에는 대칭축이 p의 왼쪽에 있어야 되죠 b의 왼쪽에 있어야 되니까 대칭축이 p보다 작다 이렇게 세 조건 따져 주시면 됩니다 자 죽은 사이 피가 있는 경우는 조금 조건이 단순합니다 이게 왜 그러냐 자 우리가 원래 판별식 대칭축 함수값 따져요 근데 여기 지금 함숫값만 적혀 있거든요 두근 사이에 피가 있으니까 p를 대입했을 때 함수값이 음수 나오는 거는 우리가 그래프 상에서 확인을 할 수가 있어요 그래서 fp가 일단 음수라고 했는데 fp가 음수면 2차 함수가 지금 음수에서 올라가야 되잖아요 그러면 어쩔 수 없이 x값 만나는 점이 생길 수밖에 없습니다 그러면 실근이 존재한다는 소리죠 자연스럽게 실근이 존재하니까 굳이 판별식을 따지지 않아도 되는 겁니다 대칭축은요 대칭축은 우리가 p에 왼쪽에 있냐 오른쪽에 있냐를 따져 주는데 부근 사이에 피가 있는 거는 대칭축의 위치가 B 왼쪽에 있든 오른쪽에 있든 상관이 없어서요것도 따져 주지 않아요 그래서 그렇게 두 근 사이에 피가 있다는 조건은 조금 특별하게 조건이 하나밖에 없으니까 얘는 알아두셨으면 좋겠고요 이렇게 따로 알아두셨으면 좋겠습니다

자 마지막으로 두 근이 모두 pq 사이에 있다 그랬는데요 우리가 p라는 점이 b라는 점이 여기 있고 주라는 점이 여기 있으면 알파랑 베타가 여기 사이에 있어야 되겠죠 그럼 마찬가지로 판별식 0보다 크거나 같아야 되고요 fp를 넣으면 양수여야 되고 fq를 넣으면 양수여야 돼요 대칭축은 p보다는 크고 q보다는 작아야겠네요 그렇게 해서 우리는 항상 세 가지 조건을 따져 준다는 점 명심하시고 우리가 관련된 예제 2개 풀면서 이번 시간 마무리하도록 하겠습니다 첫 번째 예제는요 x의 제곱 마이너스 2a의 x + 4a - 3이 0이라는 2차 방정식이 있는데 두 근이1보다 크다고 할게요 자 그러면 제가 세 개 따져 줘야 된다 그랬어요 일단 판별식 따져 줘야 되고요 두 번째는 추계방정식 따져 줘야 되고 세 번째는 함수값 따져야 돼요 그러면 판별식 먼저 따져 줄 건데 여기서 우리가 판별식 d를 짝수니까 4분의 뒤로 계산을 해주면요 a의 제곱 마이너스 4a - 3입니다 얘가 0보다 크거나 같아야 되고요 a의 제곱 마이너스 4a+3이 0 이상이고 얘가 a - 1의 a - 3으로 인수분해 되니까 a값의 범위는 3보다 크거나 같거나 a가 1보다 작거나 같다는 범위로 나오게 되네요 일단 요거를 만족을 해야 됩니다 두 근이 1보다 크니까 축의 방정식도 1보다 커야 되는 겁니다 자 그래프 그림이 이렇게 생긴 거죠 1이 여기 있어요 그럼 요렇게 생겼어요 그럼 축이 여기 있는 거죠 축이 1보다 커야 됩니다 그래서 a가 1보다 크다라고 나오고요 함수값은 f에다 1일 대입하면 되겠네요 요거를 fx로 두는 겁니다 요거를 fx로 두면 f1의 값은 그럼 양수네요 그러면 f1의 값은 1 - 2A + 4a - 3인데 얘가 양수니까 2a는 2보다 크고요 a는 1보다 큽니다 따라서 우리는 얘도 만족해야 되고 얘도 만족해야 되고 얘도 만족해야 되니까 공통 범위를 찾아주면 공통 범위는 어디죠 a가 1보다는 크고 3보다는 작거나 같다 이렇게 공통범위 찾아 주시면 됩니다

자 예제 하나 덮을 건데요 이번에는 두 번째 예제는요 두 번째 예제는 3x 제곱- 5 ax + a² + 1이라는 2차 방정식이 있는데 두 근 사이에 두 분 사이에 1이 있는 겁니다 그럼 두 근 사이에 있는 건 제가 어떻게 하면 된다 그랬어요 하나만 따져주면 된다 그랬어요 얘를 fx로 나왔을 때 fx에다가 1을 대입한 F1 값이 즉 3 - 5a + a 제곱 플러스 1 값이 음수면 된다 이것만 있으면 두근 사이에 1이 있는 것이다라고 했어요 그러면 그 범위는 a 제곱 마이너스 a+4가 음수인 거니까요 얘가 a - 1의 a - 4로 인수분해돼서 우리가 찾는 범위는 1보다는 크고 4보다는 작다라는 범위가 됩니다 자 여기까지 해서 실근의 부랑 실근의 위치 단원 마무리 했고요 우리가 다음 시간부터는 도형의 방정식 단원을 나가게 되니까앞에서 배운 방정식하고 부등식에 관한 내용을 전체적으로 복습하고 넘어갔으면 좋겠습니다 여기까지 하도록 하겠습니다 고생하셨습니다