[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 도형의 방정식 - 두 점 사이의 거리

자 오늘 학습할 내용은요 자아 표평면 위에서 점과 점 사이의 거리를 구하는 공식을 배우게 될 겁니다 우리가 오늘 도형의 방정식 들어와서 첫 시간인데요 도형의 방정식은 좌표평면 위에 우리가 직선도 그릴 거고요 원도 그릴 겁니다 얘네들을 가지고 어떻게 하는지 잘 집중하면서 따라왔으면 좋겠습니다 동해 방정식 어렵습니다 자 점과 점 사이 시작할게요 점과 점 사이의 거리인데 우리가 좌표평면 위에서 점과 점 사이의 거리를 구하기 전에 수직선 위에서 한번 조금 생각을 해 볼게요

자 제가 여러분한테 문제를 지금 몇 개 낼 건데 요런 거는 상당히 많이 봤을 겁니다 여기저기 지금 3이에요 여기 점이 8입니다 제가이 점을 a라고 할 거고이 점을 b라고 할 거예요 제가 여러분한테 AB 사이의 거리를 구하라그러면 당연히 너무 쉽게 우울하고 할 거예요 자 이거는요 여러분이 본능적으로 어떻게 계산을 한 거냐 8에서 3을 빼준 거예요 큰 거에서 작은 거를 빼준 거죠 자 그러면 제가 이렇게 이번에 문제를 내 볼게요 만약에 - 2부터 7까지의 거리를 구하라고 했어요 그럼 이번엔 거리가 몇이죠 굽니다 얘는 왜 9가 되는 거예요 큰 거에서 작은 거를 뺀 겁니다 그러면 -가 플러스가 돼서 7 + 2랑 9로 계산이 되는 것이죠 한 번만 더 해볼게요 만약에 -5부터 -3까지의 거리를 구하라 그랬어요 여기서부터 여기까지 자 그러면 여기 ef의 거리는 몇이죠 바로입니다 2요 2는 어떻게 나온 거예요 계속 똑같습니다 큰 거 마이너스 3에서 작은 거 -5를 빼준 것이죠 그러면 -3 + 5니까 2로 계산이 되는거예요 자 그런데 만약에 우리가 점을 정확하게 어떤 위치에 있는지 몰라요 요렇게 a는 X1 b는 x2라 그랬어요 그러면 빼고는 싶은데 뭐가 큰지 모르는 거잖아요 지금 뭐가 큰지 모르니까 일단 뺍니다 그냥 x2에서 x1을 빼든 x1에서 x2를 빼든 아무거나 하나 빼요 그 다음에 뭐를 해주냐 절댓값 부호를 앞뒤에 씌워 주는 겁니다 절댓값 부호를 씌우면 어차피 부호가 사라지고 절대 값만 남으니까 크기만 남으니까 우리가 요렇게 빼나 이렇게 빼나 상관이 없는 겁니다 글씨가 상당히 뭉개졌네요 X1 여기는 x2 요렇게 쓰시면 됩니다 자 그냥 큰 거에서 작은 거를 빼야 되고 모를 때는 그냥 빼고 절댓값 붙이는 거예요

자 두 번째는 원점부터 거리인데요 원점은 아까 위에서 구한 식에다가 한 점이 0이니까 그냥 0을 대입해줘서절댓값 x1이 되는 겁니다 자 그러면 우리가 이제 본격적으로 점과 점 사이 거리를 구할 건데요 우리가 어떤 방법을 활용하게 되냐 피타고라스의 정리를 활용할 겁니다 자 우리가 구하고 싶은 거를 제가 형광펜으로 요렇게 칠하겠습니다 여기를 구하고 싶은데요 저기를 빗변으로 하는 삼각형을 하나 만들어 주는 거예요 요렇게랑 요렇게랑 그러면 이렇게 만들고 나면 제가 여기 AC 길이를 구해야 되고 BC 길이를 구해야겠죠 자 AC 길이는 어디 길이랑 같아요 여기 밑에 있는 x1부터 x2까지의 거리랑 같죠 두 개 거리가 같습니다 그러면 여기 거리는 어떻게 구해요 큰 거에서 작은 걸 빼는 거죠 그래서 원래는 지금 그림상에는 x2 -x1 하면 끝나지만 우리가 더 일반적인 상황을 대비해서 그냥 절댓값을 씌워 줄게요 자 여기 BC 길이는요 지금 여기 길이랑 어디 길이랑 같아요 여기 길이랑 같죠 여기 길이는 뭐예요원부터 y2니까 y2 - y1이라고 해주면 되겠네요 그럼 이렇게 써주면 되고 마찬가지로 절댓값을 씌워 준 거예요 그러면 우리가 ab의 제곱을 구하면 피타고라스 정리에 의해서 AC 제곱 + bc의 제곱이죠 근데 ac²은 ac가 절대값 x2 - x1인데 절댓값을 제곱을 하는 건 어차피 부호가 상관이 없으니까 그냥 x2 - x1의 제곱이라고 써도 됩니다 자 bc제곱은요 y2 - y1의 제곱이 되겠죠 그래서 최종적으로 우리가 구하고 싶은 ab의 길이는요 루트 x2 - x1의 제곱 y2 - y1의 제곱입니다 x 좌표끼리 빼고 y좌표끼리 빼서 제곱한 다음에 더해주는 식이죠

자 앞으로 상당히 많이 쓰게 될 공식이니까 꼭 외우시기 바라겠고요 2번 보시면원점부터 점까지의 거리랑 이렇게 그냥 제곱 제곱해서 더한 요런 꼴이 됩니다 그냥 우리가 방금 배운 시계에다가 0을 하나 요렇게 잡아주면 되겠죠 자 다음으로 넘어가서 우리가 개념 예제 풀고 이번 시간 마칠 건데요 A3 B6 콤마 0 사이의 거리 구하라 그랬네요 그러면 ab의 거리를 구하기 위해서는 루트 x좌표끼리 뺀 거의 제곱 + y 좌표끼리 뺀 거의 제곱이죠 그러면 3의 소유 빼면 -3의 제곱이고요 4에서 0 빼면 4의 제곱이죠 어떤 공통점이에요 여기에 있는 모든점들은 y 좌표가 0인 겁니다 그래서 우리는 문자를 잡을 때 a 콤마 b라고 잡는 것이 아니라 a 0이라고 잡는 거예요 그러면 거리가 같다 그랬으니까 ap의 거리와 bp의 거리 즉 ap는 bp죠 근데 우리가 거리 공식에는 루트가 들어가 있잖아요 그래서 ap의 제곱은 bp의 제곱을 활용해서 문제를 풀어 줄 겁니다 ap 제곱은요 x좌표에서 x좌표 뺀 거의 제곱 더하기 y 좌표에서 y 좌표 뺀 거에 제곱 원래 루트가 있는데이 제곱 때문에 루트를 쓰지 않아도 되는 겁니다 BP 길이는요 a + 4의 제곱 + 여기는 0+5의 제곱이네요 자 전개해주면요 a의 제곱 마이너스 6a + 13이고 우변은 a의 제곱 플러스 8a +41입니다 그래서 -14a는 28로 정리되고요 a값을 최종적으로 -2라고 구할 수 있습니다

자 이번 시간 배울 내용은 여기까지고요 우리가 뭐 배웠어요 점과 점 사이 거리 구하는 방법을 배웠습니다이 공식 여기에 있는이 공식 꼭 외우셔야 됩니다이 공식이 공식을 외우지 않으면 안 돼요 자 어떻게 구한 거예요 피타고라스의 정리를 활용해서 구했다 정도까지 알아두시면 더 좋습니다 자 이번 시간 여기까지 하겠고요 고생하셨습니다 감사합니다