[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 도형의 방정식 - 선분의 내분점과 외분점

자 오늘 학습할 내용은 선분의 4분점과 외분점입니다 내분점 몇 분점을 처음 접하는 용어일텐데 일단 내분점 외분점이 뭔지 알아야겠죠 자 내분점이 뭐냐면이 AB 위에서 어떤 비율 m데 n으로 나누는 점을 우리가이 내분점이라고 합니다 뭐 2대 1로 나눌 수도 있고요 5대 3으로 나눌 수도 있고 다양한 비율로 선분을 나눌 수가 있어요 자 이런 애들을 내분점이라고 하는데 1/3b 위에 찍히는게 내분점이라고 했어요 그런데 1/3이 밖에 찍히는 것을 우리가 이제 외분점이라고 합니다 외분점은 선분 AB 위에 찍히는 것이 아니라 AB 밖에 찍히는 거예요 비율을 m데n으로 나누면서요 자 그럼 여기 내분점 외분점인데 우리가 아직mdm이라고 써 있으니까 감이 잘 안 올 거예요 그러니까 우리는 한번 직접 비율을 숫자로 넣어가면서 몇 개를 한번 찍어 보도록 하겠습니다 일단 첫 번째로 전부 네이비를 2대 1로 내분하는 점을 찍어 볼게요

자 2대 1로 내분한다 그랬는데 a로부터의 거리가 2고 b로부터의 거리가 1인 겁니다 그러면 b에 조금 더 가깝겠죠 여기쯤 찍혀서 얘가 2고 얘가 1을 유지되게 점 p를 찍어주면 됩니다 여기가 내분점인 거예요 그러면 ab를 나누는이 점 p가 여기 찍히는데 선분 ab의 비율은 몇인 거예요 a부터의 거리가 2고 b로부터의 거리가 1이면 a부터 b까지의 거리는 3인 겁니다 자 그러면 우리가 2:1이 아니라 조금 다른 수로 해 볼게요 3대 5로 내분을 해 볼 건데자 a로부터의 거리가 3이고 b로부터의 거리가 5예요 그럼 ab의 비율이 뭐라고요 바로이 3과 5를 더해서 8 정도에 해당하는 겁니다 그럼 여기가 8이니까 내가 이거를 8등분을 했을 때 8등분을 했을 때 a로부터의 거리는 세 칸 가는 것이고 b로부터의 거리는 5칸 오는 거니까 여기를 정확하게 p라고 찍어줄 수 있는 겁니다 자 그림은 이렇게 찍혀요

자 이번엔 외분점을 찍어 볼 건데 외분점 찍는게 조금 까다로울 수 있어요 외분점 찍는게 조금 까다로울 수 있는데 일단은 우리 선분 ab를 2대 1로 외분해 보도록 하겠습니다 자 a로부터의 거리가 2고 b로부터의 거리가 1이에요 그러면 b에 가까워요 a에 가까워요 b로부터의 거리가 1이니까 2에 가깝죠 b에 가까우니까 2:1로 외분하는 점은 바로 b의 오른쪽에 찍히는 겁니다 여기 파란 선 위에 외분점이 찍히는 거예요 그럼 어디쯤 찍히냐뒤로부터의 거리가 한 1 정도 되고 a로부터 거리가이 정도 되는 요기에 찍힐 겁니다 여기에요 외문점을 추라고 하겠습니다 그러면 아까는이 2와 2를 더해서 전체 비율이 나왔는데 얘는 2에서 2를 빼야 선분 ab의 비율이 나오는 겁니다

자 그러면 이번에 몇대 몇으로 외분을 해볼 거냐면 1대 4로 외분을 해 볼 거예요 a로부터의 거리가 1이고 b로부터의 거리가 4면 a에 가깝죠 그리고 여기 위에 있겠네요 여기 위에 있을 건데 아까 1과 4를 빼면 뭐가 나온다 그랬어요 숫자는 3인데 얘가 의미하는 건 ab의 비율인 겁니다 그러고 1만큼 요거에 한 3분의 1 정도 되는 거리를 왼쪽에 찍어주면 여기가 외분점 추가되는 것이죠 이렇게 그럼 1과 3을 더해서 4가 되는 거죠 b로부터의 거리가 사고 a로부터의 거리가 1인외분점을 이렇게 찍어 줄 수 있는 겁니다 내항의 곱은 외항의 곱과 같다는 비례식의 성질을 이용하면 x-a는 2의 B - x와 같습니다 얘를 조금 x에 관해서 정리를 해주면 3분의 a + 2b로 정리가 되네요 자그러면 우리가 내분점 외분점을 구할 때 항상 이렇게 비례식을 세워서 비례식을 성질을 활용해 줘야 하느냐 그래서 않습니다 우리가 요거를 m대 n 그리고 좌표 X1 x2로 공식을 만들어서 있습니다 자 어떤 ab를 선분 ab를 m대 n으로 내분하는 점 b의 좌표를 x라고 한다면요 그 x 좌표는 n + n 분의 mx2 + nx1이에요 우리가이 공식을 외워야 되는데 공식을 제가 어떻게 써먹냐면 자 m대 n으로 m대n으로 내분하죠 mdn으로 내보내면 일단 m n 분자에도 m n을 써줍니다 그렇게 하고 여기서 주의할 점이 하나가 있는데 ab가 지금 X1 x2죠 그럼 얘를 순서대로 쓰지 않아요 얘를 거꾸로 씁니다 x2를 먼저 써주고요 x1을 그 다음에 써주는 거예요 그다음에 가운데에다 덧셈 덧셈 넣어주면 요게 이제 내분점 공식이 되는 겁니다 자 외분점도 크게 다르지 않아요 외문점은 m n m n 쓰는 것도 똑같고요 아까 주의하라고 말씀드렸던 x1이랑 x2의 자리를 바꿔서 x2x1 순서로 써줘야 된다 그랬어요 그 다음에 4분점과 외분점의 다른 점이 여기다가 마이너스만 집어넣어주면 이제 외분점 공식이 되는 겁니다

자 이렇게 내분점 공식 외분점 공식 당연히 암기 하셔야겠고요 어 이제 밑에 중점을 구하는 방법이 나오는데 중점이란 것은 어떤 a라는 점과 b라는 점에 딱 중간 지점을 말하는 거죠 여기서부터의 거리와 여기서부터의 거리가 같아지는 점을 말하는 거예요 즉 1대 1로 내분하는 점이고 우리가이 네분점 공식에다가 m에다도 1 넣고 n에다도 1 넣으면 이렇게 2분의 X1 플러스 x2라는식이 나옵니다우리가 네번 점프네 분점 공식을 쓰는 경우도 많지만 중점 구하는 경우도 많으니까 요거는 따로 알아두시면 더 좋습니다 자 그러면 개념 예제 풀면서 한번 실제로 공식을 적용을 시켜 볼게요 a가 -1이고 b가 7인데 얘를 1대 3으로 내분하는 점하고 외분하는 점 구하라 그랬어요 자 그러면 내분하는 점 먼저 구해볼게요 뭐부터 하라고요 m대 n이니까 1대 3 m데n을 이렇게 분모 분자에 먼저 써줍니다 그 다음에 주의해야 될 점이 뭐라고요 좌표를 거꾸로 쓰라고요 -2라고 칩인데 거꾸로 치라고 거꾸로 -1을 써주는 겁니다 그다음 내분점은 그냥 플러스 해주면 되고요 외분점은 어떻게 하면 된다 그랬어요 아 똑같은데 여기도 1이고 3이고 분자에도 1 3이고 좌표 바꾸는 것도 똑같은데 좌표 바꾸는 것도 똑같은데 가운데에다가 마이너스만 집어넣으면 외분점 좌표를 구하는 방법이 되는거예요 자 요거 계산해주면요 4분의 4라서 내분점의 좌표는 1이 나오고 외분점의 좌표는 마이너스 2분의 10이어서 -5라고 나옵니다 한번 점도 찍어 보고 갈게요 수직선이 이렇게 있으면요 a라는 점의 좌표가 -1이고 b라는 점이 좌표가 7이에요 그러면 내분점은 1대 3으로 내고 나면 요렇게 돼서 1대 3이면요 정도 되겠네요요 점의 좌표가 1인 것이고 외분점은 1대 3이니까 여기가 -5라고 찍히는 겁니다

자 이렇게 네 번째 외분점 우리가 찍어 봤고요 결국 우리는 이거를 이제 좌표평면 위에서 찍을 거예요 좌표평면 위라고 공식 크게 달라지지 않습니다 자 여기 지금 선분 ab를 내분할 건데 여기다 삼각형을 제가 이렇게 그려볼게요 이렇게 삼각형 하나 그리고요렇게 삼각형을 하나 그리면요요 삼각형과요 삼각형이 닮음입니다 여기 직각 직각이고 여기랑 여기랑 동일각이랑 AA 닮음이에요 그러면 지금 여기랑 여기랑 n대 n인데 m데n인데 그러면 여기도 m데n이겠죠 여기도 n이에요 그러면 n을 여기다 이렇게 내리면 여기가 m대인이고 그대로 밑으로 쭉 한번 더 내리면 여기도 m데 n인 겁니다 그러면 우리가 a라는 점과 b라는 점의 내분점을 구할 건데 x좌표이 네분점의 x 좌표는 결국 x 좌표끼리의 내분점인 겁니다 그래서 x좌표는 X 좌표끼리 내분점 공식 써주고요 y 좌표는 y 좌표끼리 내분점 공식 써서 Y 좌표 구해주면 되는 거예요 지금 y 좌표도 m대 n이 유지되는게 똑같아요 여기가 m이고 여기가 m이고 그러면 여기가 m이니까mn을 왼쪽으로 싹 붙여주면 여기도 m대 n이 유지가 되는 것이죠 그러면 y1과 y2를 m대 n으로 내분하는 점요 점이 바로이 네분점의 y 좌표가 되는 겁니다

자 공식도 보면요 x좌표는 x좌표끼리 내분점 구했고 y 좌표는 y 좌표끼리 4분.부한 거예요 웹은 좀 더 마찬가지입니다 외문점도 x좌표끼리 세분하고 외분하고 y좌표는 y 좌표끼리 외분하고 그렇게 마무리 해주시면 됩니다 중점도 마찬가지고요 우리가 그러면 개념 예제 한번 풀어 보도록 하겠습니다 점 a와 b가 이렇게 주어져 있는데요 우리가 가장 먼저 구할 것은 2:1로 내분하는 점 비의 좌표래요 전혀 어렵지 않습니다 우리 4분 전구 할 때는요 m데n을 분모분자의 먼저 써줘요 근데 우린 지금 x좌표에서도 구할 거고 y 좌표에서도 구할 거죠 그런데 항상 주의할 점은 뭐라 그랬어요 좌표를 거꾸로 써 주는 거 ab를 내고 나니까B 먼저 쓰고 a를 써주는 거예요 b의 좌표 - 5 a의 x좌표 1 그러면 내분점이니까 더해줍니다 y 좌표는요 여기가 지금 5조 5하고 2예요 여기다 5 여기다 2 가운데는 플러스 자 요거를 계산해주면 우리가 원하는 내분점의 좌표를 계산할 수가 있습니다 분모는 3이고요 분자는 마이너스 9네요 여기는 분모는 3이고 분자는 12네요 그러면 약분해주면 피해자표를 우리가 -3라고 계산이 되는 겁니다 자 2번 한번 풀어 볼게요 이번엔 외분하는 점이 좌표네요 그러면 2:1로 외분 하니까 2122를 써주고요 y좌표에도 2121을 써줍니다 그 다음에 x좌표 거꾸로 써주는데 마이너스 5를 여기다 쓰고요 2를 1이죠 2를 여기다 써줍니다 그 다음에 외분점이니까 뺄 거예요 자 y 좌표도y 좌표끼리 해주면 되겠죠 모르고 2를 곱하고 빼고 빼고 그러면 요거를 계산을 해주면 분모는 1이죠 지금 분모는 1이니까 x좌표는 -11 y좌표는 8이 되겠네요

자 우리 그럼 마지막으로 3번 문제 중점 m의 좌표 한번 구해 보도록 하겠습니다 우리 중점은 어떻게 구한다 그랬어요 중점 m은 그냥 2분의 좌표끼리 더한 거 1 + - 5 2 + 5로 계산을 해주면 되고요 계산을 해주면 -2분의 7입니다 자 여기까지 해서 우리가 내분점과 외분점 구하는 방법 배워 봤구요 공식 당연히 암기해 주셔야 되고 우리가 맨 앞에 내분점 1분점 어디에 찍히는지 찍는 방법도 설명드려 봤습니다 복습 꼼꼼하게 하시고 오늘 강의는 여기서 마치도록 하겠습니다 감사합니다