[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 도형의 방정식 - 점과 직선 사이의 거리

자 오늘은 할 내용은 점과 직선 사이의 거리입니다 점과 직선 사이의 거리인데 우리가 요거는 공식을 어떻게 활용하는지 활용하는 거에 좀 초점을 맞춰서 설명을 드릴 거예요 일단은 점과 직선 사이의 거리가 어디부터 어디까지 거리를 말하는 거냐면 교재를 읽어보면 점 p에서 점필을 지나지 않는 직선 lnh 수선의 발을 h라고 할 때 선분 ph의 길이를 좀 비와 직선 L 사이의 거리라고 한다 했어요 자 우리한테 어떤 점이 주어집니다 점 p라는 점이 주어지고요 직선이 하나 주어져요 이렇게 그 점을 지나지 않는 직선이 주어집니다 그러면 최단거리를 우리는이 거리라고 할 거예요 세단 거리를 점과 직선 사이의 거리라고 할 겁니다 자 최단거리는 어디냐 여기 점에서이 직선의 수선의 발을 내립니다 그럼이전부터 수선의 발까지의 거리 d를 우리는 점과 직선 사이의 거리라고 할 거예요 공식은 b는 루트 a² + b² ax1 + by+c로 정의되어 있어요 자 분모는요 우리가 x와 y의 계수를 제곱해서 더해주고 루트를 씌워주고요 분자에는 절댓값의 씌우는데 안에 뭐가 들어가냐면 점피를 여기다가 대입한 값이 들어가게 됩니다 공식을 따로 유도하지는 않을 거예요 공식을 유도하지 않을 거고 공식을 유도하는 과정이 조금 복잡해서 우리는이 공직을 활용하는 과정에 초점을 맞추도록 하겠습니다

자 특히 원점과 직선 ax + by + c는 0 사이의 거리는 지금 점이 0인 거잖아요 그래서 x1과 y1의 0을 넣어서 분자에 뭐만 남았어요 c만 남습니다 c만 씨만 남은 거예요 그래서 이렇게 생기는식도 있다 알아두시면 될 것 같습니다요 공식은 꼭 외워야 됩니다 우리가 이공식을 외우지 않으면 문제를 풀지 못해요 자 그러면 공식을 활용해서 개념 예제를 풀어보도록 하겠습니다 점 마이너스 콤마 -1을 지나고 원점에서의 거리가 2인 직선이래요 그러면 우리는 직선을 구하는 거니까 직선식을 지금 문자로 잡아줘야 됩니다 그런데 마이너스 콤마 -1을 지난다고 했죠 그러면 저는 이렇게 놓을게요 기울기를 모르니까 m의 x+2 - 1이라고 놀 거예요 그럼 우리가 직선의 방정식을 요렇게 바꿔 줘야 돼요 점과 직선 사이 거리 공식을 쓰기 위해서는 이런 꼴로 바꿔 줘야 됩니다 그러면 MX - y + 2m - 1이라는 직선식이 됩니다 그럼 여기부터 원점 0까지의 거리d가 2라 그랬어요 그러면 공식을 활용해 볼게요 루트 a² + B 제곱이죠 그럼 뭐의 제곱 더하기 뭐의 제곱이에요 x 계수의 제곱 더하기 y 계수의 제곱입니다 따라서 분모에 들어오는 건 m² + 1이고요 분자인은 절대값의 씌우고 0을 여기에 대입을 해주죠 그랬을 때 남는 거는 상수항 em-1밖에 없습니다 문제에서 이게 뭐랑 같다 그랬어요 2랑 같다 그랬죠 자 좌변 우변에 루트 m² + 1을 곱하면요 절댓값이 m - 1은 2루트 m² + 1입니다 그러면 지금 좌변에 절댓값도 있고 우변은 루트가 있어요 요거 이제 계산하기 조금 껄끄러워 보일 수 있는데 둘 다 없앨 수 있는 방법이 하나 있죠 얘도 제곱하고 얘도 제곱하면 루트도 사라지고 절댓값도 사라지게 됩니다 절대값은 제곱하면 부호가 의미가 없죠 그래서 우리가 양변을 제곱해서 계산을 해주면요 4m² - 4m + 1이고요 우변은 4의 m² + 1입니다 예를 전개해주면 4m² + 4구요 4m² 넘기면 사라지고 -4m은 2를 넘기면 3이죠 따라서 m 값은 - 4분의 3으로 나오네요 그러면 우리가 직선에서 방정식을 잡고 있는 건데 마이너스 4분의 3의 x+2 - 1이라고 해주면 되고요 요거 분배법칙 써서 정리해주면 -4분의 3x - 2분의 5라는 직선의 방정식이 나옵니다 이렇게까지 해주시면 돼요 공식 외워서 공식 활용만 해주면 되죠

자 다음으로 넘어가서 평행한 두 직선 사이의 거리인데요 우리가 평행한 두 직선 사이의 거리를 구하라 그러면 자 직선이 지금 이렇게 두 개가 있어요 직선 하나가 여기 이렇게 있고 다른 직선이 이렇게 있는데 자 어떻게 구하냐 아무 점이나 하나샀습니다 제가이 점을 잡으면요 이 점과이 직선 사이의 거리는 여기서부터 여기까지죠 그래서 거리가 만약에 뒤로 나와요 근데 제가 점을요 점이 아니라요 점으로 잡았어요 요 점으로 다 보면서 여기 전부터 밑에 있는이 직선까지의 거리는 똑같이 뒤져 여기를 잡아도 거리는 어차피 똑같이 d입니다 그래서 우리는 임의로 점을 그냥 아무거나 하나 잡아요 점을 하나 잡고 나머지 다른 한직선까지의 거리 구해주면 평행한 조직선의 거리를 구할 수 있습니다 자 ox+12y-1은 0인데요 제가 여기서 점을 y에다 0을 넣고 x값을 1/5라고 계산해서 5분의 1이라고 잡겠습니다 계산한이 점의 좌표는 편한 대로 점을 잡아주면 돼요 굳이 5분의 1 0이 아니어도 되고요 그래도 보통 x나 y의 0을 넣어서 좌표를 잡아주는게 계산이 조금 편하겠죠 그래서 저는 y에다 0을 집어넣었습니다

자 그럼 이번엔 5분의 1부터 ox+12y + 12는 0까지의거리를 구할 거예요 이 거리를 d라고 하면요 한번 D 값을 계산해 봅시다 d는 로트 5의 제곱 더하기 12의 제곱 분자는요 1/5 12 곱하기 0 12 자 계산해주면 분모는 루트 25의 144도에서 169고요 분자는 요게 사라져서 13이 됩니다 그러면 절댓값 13은 어차피 13이고요 루트 169는 13이니까 거리가 1로 나오네요 따라서 거리는 1이라고 우리가 계산해 줄 수 있습니다 자 오늘 배울 내용은 여기까지고요 우리가 오늘 배운 내용 중 제일 핵심적인 내용은 점과 직선 사이의 거리를 구하는 공식이 공식을 외우셔야 됩니다 외우지 않고서는 풀 수가 없어요 꼭 외우시길 바라고 거기서 꼼꼼히 해서 공식 외우는 시간까지 가지셨으면 좋겠습니다 오늘 수업은 여기까지고요고생하셨습니다 감사합니다