[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 도형의 방정식 - 좌표축에 접하는 원의 방정식

자 이번 시간에 아스팔레용은 좌표축의 접하는 원의 방정식이에요 원의 방정식이이 좌표평면 위에 어디에나 있을 수 있지만 그 중에서 좌표축 x축 또는 y축 또는 x축 y축 동시에 접하는 원의 방정식이 어떻게 쓰여지는지 한번 볼 거예요

자 가장 먼저 뭘 볼 거냐면요 x축의 접하는 원의 방정식 볼 거예요 자 x축에 접하는 거는 두 가지 종류가 있는 거예요 이렇게 x축 위에서 접할 수도 있고요 이렇게 x축 밑에서 접할 수도 있습니다 그러면 우리가 원래 원의 방정식을 요렇게 쓰죠 x-a의 제곱 플러스 y -b^2은 반지름 아래 제곱과 같다라고 쓰는게 원래 원의 방정식인데 중심이a b면 지금 여기 길이가 a죠 여기 길이는 b예요 근데 그게 어디랑 같아지는 거예요 바로이 y좌표랑이 y 좌표의 길이랑 반지름의 길이랑 같아지죠 x축에 접하는 원은이 중심 y 좌표끼리랑 반지름 아래 길이랑 똑같아지는 겁니다 그래서 여기 있는 아래 제곱을 b의 제곱으로 바꿔 줄 수 있다가 우리 오늘 배우고 싶은 거예요 자 x축 밑에 있을 수도 있다 그랬죠 그러면 지금 y 좌표가 음수예요 여기는 음수기 때문에 사실 길이는 마이너스를 붙인 -b여야 여기 길이를 나타내는 거거든요 그런데 우리가 어차피 지금 제곱을 해주잖아요 그래서 절댓값을 씌우는게 원래 맞는데 씌우는게 맞는데 제곱을 하니까 상관이 없어서 그냥 b의 제곱이라고 반지름 자리에 써 주는 겁니다

자 그러면 y축의 접하는 원예방정식 한번 보도록할게요 자 얘도 마찬가지로 y축을 기준으로 오른쪽에 있을 수도 있고 이렇게 오른쪽에 있을 수도 있고요 이렇게 왼쪽에 있을 수도 있습니다 자 그런데 한번 보면 우리가이 중심의 x좌표 길이가 여기죠 여기에 길이는 a랑 같아요 a랑 같은데 여기 왼쪽에 있으면 길이가 -a죠 근데 우리는 이거를 통합해서 절대 값의 절대값 a라고 놓겠다는 겁니다 그러면 반지름이랑 뭐랑 같아지는 거예요 x 길이 즉 중심의 x 길이랑 같아지게 되는 거죠 그래서 여기가 a로 바뀔 수 있는 겁니다 자 이번엔 개념 예제 한번 풀어보고 갈 건데요 두 점 2a와 8 -3을 지름의 양 끝으로 하는 원이래요 자 그럼 원이 만약에 이렇게 있어요 원이 있는데 하나가 2고 하나가 지금의 양 끝인데8 콤마 -3이에요 우리는 여기서 뭐를 할 수 있을까요 중심 좌표를 알 수 있습니다 중심 좌표가 몇 콤마 몇이에요 요거의 중점이죠 여기가 지금 반지름이고 여기도 반지름이니까 길이가 같아서 여기가 바로 중심의 좌표입니다 따라서 2와 8의 중심 2+8을 2로 나누고요 Y 좌표 a - 3을 더하고 반으로 나눠준게 바로이 원의 중심 좌표인 겁니다 5/2 - 3이 되겠네요 자 그러면 우리가 y는 y=이 아니죠 x-5의 제곱 플러스 y - 2분의 a 마이너스 3의 제곱이라고 쓰고 원래 반지름 아래 제곱이라고 쓰는데 y 축에 접한다고 했으니까 y 축에 접한다고 했으니까 여기에 있는이 x좌표 중심의 x좌표가 판지름의 길이와 같은 거죠 그래서 여기를5의 제곱이라고 쓰는 겁니다 여기까지 됐나요 그러면 여기서부터 여기까지 길이는 몇인가요 반지름이 두 개니까 12자 10 2a부터 8 -3까지의 거리가 10입니다 따라서 8 -2에 제곱 플러스 마이너스 3 - a의 제곱에 루트를 씌우면 집과 같은 거죠 양변을 제곱해주면요 36 플러스 마이너스 3 - a의 제곱인데 얘가 100과 같아지고요 -3 - a의 제곱을 전개를 해주면 a의 제곱 플러스 6a+9+36까지 있었고 100을 왼쪽으로 넘기면 -100입니다 따라서 a의 제곱 플러스 6a + 내가 45-100이니까 -5네요 -55는 0이고요 얘가 5와 11의 곱 중 요렇게 되니까a - 5의 a+11로 인수분해 돼서 a는 5 또는 -11입니다 그런데 우리가 찾는 a값은 양수인 것만 찾는 것이죠 양수인 것만 찾는 거니까 요거 안 되고 요거만 써주면 되는 거죠

자 이번엔 x축과 y축의 동시에 접하는 원의 방정식을 구해 볼 건데요 자 아까는 x축에만 접하거나 y축에만 접했어요 근데 동시에 접하면 제가 지금 여기에 있는 1사분면에 있는 원만 한번 볼게요 그러면 지금 중심 좌표가 중심 좌표가 여기가 a고 여기가 b인데 그게 지금 다 뭐랑 같아져요 반지름 R 반지름 R 얘길이나 예길이나 얘기일이나 얘기이나 모두 똑같은 겁니다 그런데 1사분면이 있으면 모두 양수니까 x-r의 제곱 플러스 y-r의 제곱은 반지름 r의 제곱이라고 써주는 거고요 만약에 2사분면에 있으면요 여기가 지금x좌표가 음수죠 음수고 길이는 r로 똑같은 거예요 그래서 x+r의 제곱 y-r²은 반지름 아래 제곱하고 같다고 표현해 주는 겁니다 3사분면 4사분면도 마찬가지로 음수를 고려해서 식으로 표현해주면 이런 꼴과 이런 꼴이 되는 겁니다 자 그러면 우리가 마지막 개념유제 풀고 이번 시간 마치도록 하겠습니다 자 1을 지나고 x y축의 동시에 접하는 원이래요 근데 두 개 존재한다 그랬네요 한번 계산을 해 볼게요 x축이 여기 있고 y축이 여기 있는데 1은 여기쯤이죠 그럼 x y축의 동시에 접하는데 1을 지나려면 원이 어떻게 될 수밖에 없어요 중심이 1사분면 위에 있을 수밖에 없는 겁니다 그래서 저는이 원의 방정식을 x-r의 제곱 플러스 y - r의 제곱을 r의 제곱이라고 놀 거고요 1을 지난다 그랬으니까 대입해 줄 거예요그러면 1 - 아래 제곱 2 - r^2 R 제곱과 같고요 전개에서 r² - 2r + 1 r² - 4r + 4는 r²과 같고요 아래 제곱 마이너스 6알 플러스 5는 0이라고 정리되네요 따라서 우리는 r이 1 또는 5라는 결론은 얻을 수 있습니다 그럼 원이 이렇게 1이 중심이 원이 하나 있고요

자 여기까지 해서 우리는 오늘원예방정식 중에서도 x축이나 y축이나 x축 y축의 동시에 접하는 원예방정식을 구해봤습니다이 내용은요 외우는 것보다는 그래프 그림을 그려놓고 좌표평면 위에 원을 그려놓고 길이를 확인해서 식으로 바꿔주는 과정 연습하는 것이 중요합니다 꼭 연습해 보시길 바라겠고요 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다