[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 도형의 방정식 - 두 원의 교점을 지나는 직선과 원의 방정식

자 오늘 아스팔 단어는 두원의 교점을 지나는 직선과 원의 방정식이에요 자 교재상으로는 두 원의 교점을 지나는 원예방정식 학습을 하고 도안에 교점을 지나는 직선의 방정식을 학습하게 되는데 우리는 일단 원의 방정식을 먼저 학습을 하고 그 다음에 두 원이 교점을 지나는 직선의 방정식을 학습하도록 할게요

자 우선은 우리가 항등식에서 배웠던 내용부터 다시 복습을 할 겁니다 ax+b는 0이라는 항등식이 있어요 우리 항등식의 의미는 뭐예요 모든 x에 대해서 성립한다 모든 x의 대해 적립 이런 내용이 항등식이에요 그런데 모든 x에 대해 성립하려면 어떤 조건이 있어요 a는 0이고 b는 0이어야 돼요 그래서 우리가이 내용을 활용해서 두직선의 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 직선의 방정식 단원에서 배운 적이 있어요 그 방정식을 우리가 어떻게 쓸 수 있어요 ax+by + c + k의 a 프라임 x + b 프라임 y + c 프라임 이거는 0 이렇게 쓸 수가 있는데요 여기에 써 있는 ax+by + c라는 식을 1번이라고 할 거고요 a 프라임 x + b 프라임 y + c 프라임이라는 식을 제가 2번이라고 하겠습니다 그러면 얘가 1번이 0이고 1번식이 0이고 2번식이 0이면 얘는 모든 k에 대해 성립하는식이 되는 거죠 1번도 0이고 2번도 0이면 모든 k의 대성립하게 됩니다 항등식처럼 모든 k에 대해 성립하게 되는 거예요 그러면 1번이 0이고 2번이 0인 거는 뭐예요1번이 0인건 어떤 직선의 방정식입니다 2번이 0인 것도 어떤 직선의 방정식이에요 근데 두 개를 동시에 만족한데요 1번도 0이고 2번도 0이고 그 말은 1번이라는 직선과 2번이라는 직선의 교점 이 두 직선의 교점을 항상 지난다는 거예요 교점을 지난다 자 우리가 이런 내용을 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식 단원에서 배웠습니다

자 오늘은 이거를 원으로 바꾸는 거예요 만약에 제가 x² + y² + ax+by + C + k의 x의 제곱 플러스 y² + a 프라임 x b프라임 y + c 프라임은 0이라고 써주면요 제가 앞에 있는요 식을 요식을 1번이라고 할 거고요 식을 2번이라고 할 거예요요 식을 2번이라고 해주면 자 제가 1번 원을이 그림이라고 할게요 여기에 있는이 원 이원을 1번이라고 할 거예요 2번 원을 뭐라고 할 거냐면요 2원이라고 할게요 그러면 자 얘가 만약에 모든 k의 K 값의 상관없이 성립하려면 k 값에 상관없이 성립하는 것은 1번이 0이고 2번이 0인 것과도 같죠 근데 1번이 0이고 2번이 0인건 뭐예요 각각 원의 방정식을 의미하는데 두 원의 방정식을 동시에 지나는 교점을 말하는 겁니다 교점 얘는 교점을 말하는 거예요 그러면 이렇게 써 있는요 식은요 결국 정리하면 x 제곱에 관한 항이 있고 y 제곱에 관한 항이 있고x에 관한 1차항 y에 관한 1차 상수항이 있습니다 그럼 우리가 이거를 뭐라고 배웠어요 원이라고 배웠어요 얘가 지금 어떤 원을 의미하는 겁니다 그래서 얘가 K 값의 상관없이 원은 원인데 무슨 원인 거예요 1번이 의미하는 원과 1 =0이라고 표현되는 원과 2는 0이라고 표현되는 원의 교점을 지나는 새로운 원인 겁니다 이렇게 생긴 새로운 원인 거예요 자 그래서 우리가 이거를 교재를 보면 이렇게 설명되고 있죠 x² + y² + ax + by + c + k의 x 제곱 y 제곱 플러스 a 프라임 x b프라임 y + c 프라임은 0이라고 이렇게 표현이 되고 있습니다 자 그런데 주의해야 될게 하나 있어요 맨 마지막에 k는 - 1이 아닌 실수라고 적혀 있네요 자 그러면 k가 -1인 거는 왜 안 되느냐 얘는 왜 안 되느냐 만약에 지금k에다가 -1을 집어넣잖아요 그러면 x² + y²이 사라집니다 그럼 우리가 그거는 원이라고 할 수가 없는 거죠 그래서 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 이런 형태로 쓰고요 k는 -1이 아닌 실수라는 조건이 붙게 되는 거예요

자 추가적으로 지금 교재에 또 어떤 내용이 있어요 오프라임을 제외한 겁니다 원 오프라인을 제외한 원예방정식을 모두 포함할 수 있는 거예요 자 이게 왜 그러냐면 지금 오프라인에 해당하는 영역은 여기서부터 여기까지 영역이에요 지금 오프라임이 여기 들어 있는데 k가 어떤 값을 집어넣어도이 부분을 못 없애고이 부분만 남기지는 못해요 그래서 모든 원을 포함할 수 있는 건 아니고 딱 하나이 오프라인이라는 원을 제외한 모든 원을 표현할 수 있는식이 바로이 식입니다 자 그러면 아까 k는 -1이 안 된다 그랬는데 k가 -1이면 도대체 뭘까 우리가 이거를 고민을해보면 그거는 두 번의 교점을 지나는 직선의 방정식입니다 자 제가 방금 설명드린 건 x제곱 플러스 y² + ax+by + c의 + k의 x 제곱 y 제곱 a 프라임 x b 프라임 y c 프라임 은영 이렇게 썼는데요 얘가 k가 -1이 아니면 원의 방정식이라고 했습니다 그런데 k가 만약 -1이면 어떻게 되냐 k가 -1이면 어떻게 되냐 우리가 어차피 얘가 0이고 얘가 0일 때 성립하는 건 똑같아요 즉 교점을 지나는 건 똑같습니다 교점을 지나는 건 똑같고 k에다 -1을 집어넣어서 정리를 해주면 a - a 프라임 x b-b 프라임 y c - c 프라임은0이라고 정리가 돼서 얘는 직선의 방정식 꼴인 거죠 그래서 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식이 만들어지는 겁니다

자 여기까지가 되셨나요 우리가이 내용이 좀 어려워요이 K 값을 사용해서 항등식의 성질을 이용해서 교점을 지나는 새로운 도형의 방정식을 만든다는 개념 꼭 숙지하셨으면 좋겠고 개념 예제 2개 풀어보고 이번 시간 마치도록 할게요 자 일단은요 요직선하고요 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구하라고 했습니다 그러면 제가이 원예방정식하고이 원의 방정식을 전개를 해 줄게요 x의 제곱 플러스 y² + 2x - 6 y - 15는 0이라고 정리되고요 예를 정리하면 x 제곱 y² -2x + 4y + 1은 0입니다 그러면 여기다가x² + y² + 2x - 6y-15에 + k x^2 y² - 2x + 4y + 1 = 0이라고 쓰면 얘의 의미가 뭐냐 두 원의 교점을 지나는 어떤 도형의 방정식인 거예요 근데 그게 원이 될 수도 있고 직선이 될 수도 있는 거죠 그런데 우리는 직선을 구하라고 했으니까 직선을 구하라고 했으니까 k에다 뭐를 대입하면 된다고요 -1을 대입하면 된다이 말입니다 -1을 대입해서 정리를 해주면요 4x-10y-16은 0이 되고요 2x - 5y-8이라는 요런 직선의 방정식이 만들어지네요 자 뒤로 넘어가세요 이번엔 두 원의 교점을 지나는 원예방정식 개념 예제 풀어보도록 하겠습니다 자 두 원이있는데요 지금 x² + y 제곱 플러스 2x+4y - 4는 0이라는 원과 x² - 2x + y 제곱은 0이라는 원이 있어요 이거의 교점을 지난다 그랬고요 2를 지난다 그랬어요 자 그러면 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은 어떻게 써준다 그랬어요 x의 제곱 플러스 y² + 2X + 4y - 4라고 써주고요 + k의 x의 제곱 마이너스 2x + y²이라고 써주면 됩니다 이게 교점을 지나는 원의 방정식인 거예요 근데 얘가 또 무슨 점을 지난다고요 2를 지난다고요 대입을 해줍니다 대입을 해주면 4 + 4 + 4 + 8 - 4 + k의 4 - 4 + 4는 0이고 이렇게 없어져서 16 + 4k는 0이니까 우리가K 값은 - 4라고 구할 수 있고요 -4를 대입해서 원의 방정식을 구해주면 -3x² -3y² + 10x+4 y - 4는 0이라 최종적으로 x² + y의 제곱 마이너스 3분의 10 x - 3분의 4 y + 3분의 4 = 0이라고 써주면 우리가 원하는 원의 방정식을 찾은 겁니다

자 우리가 오늘까지 학습한 내용 상당히 어려운 부분이 있고요이 정말 항등식의 성질을 이용해서 어떤 새로운 도형의 방정식을 만든다는 점 그 부분을 이해를 꼭 꼼꼼하게 해주셨으면 좋겠습니다 오늘 강의는 여기까지입니다 감사합니다