[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 도형의 방정식 - 원과 직선의 위치 관계

자 오늘은 원과 직선의 위치 관계입니다 자 우리가 2차 함수와 1차 함수의 관계를 배운 적이 있어요 어떤 이차함수가 이렇게 생겼고 직선의 방정식이 이렇게 갑니다 그러면 요렇게 안 만날 수 있고요 요렇게 치듯이 만나서 한 점에서 만날 수도 있습니다 요렇게 그리고 두 점에서 만날 수도 있어요 이렇게 지나면 두 점에서 만나는 거죠 그래서 이런 경우 각각 어떻게 구했냐 우리가 얘는 판별식이 0보다 크고요 얘는 판별식이 0이랑 같구요 얘는 판별식이 0보다 작다라고 구했어요 근데이 판별식은 어떤 거에서 나온 판별식이냐 y는 ax² + bx + c라는 2차 함수와 y는mx+n이라는 직선이라고 할 때 ax 제곱 플러스 bx + c와 mx+n을 같다고 놨을 때 즉 두 함수식을 연립했을 때 나오는 2차 방정식에서 판별식을 써 준 겁니다 이게 왜일까요 우리가 연립 했을 때 나오는 해의 개수는 교점 개수와 같기 때문에 다시 한번 말씀드릴게요 Hey 개수 연립에 쓸 때 나오는이 해의 개수는 교점 개수와 같기 때문에 우리가 판별식은 근의 개수를 판별하는 거죠 그럼 근의 개수가 교점 개수가 이어져서 이렇게 판별식의 부호에 따라서 교점이 두 개다 한계다 영계다라고 나눌 수 있는 겁니다 자 요런 거를 우리가 앞부분에서 2차 함수를 배우면서 학습을 했었습니다 우리가 오늘 할 건 원과 직선의 위치 관계에요 원과 직선도 마찬가지로요 어떤직선이이 원과 아무데서도 안 만날 수도 있고요 치듯이 만나서 이렇게 한 점에서 만날 수도 있고요 그냥 두 점에서 만날 수도 있는 겁니다 그러면 우리는 오늘 뭐를 할 거냐면 이거를 판단을 할 거예요 어떤 원과 직선이 주어져 있는데 얘가 지금 몇 군데서 만나냐 이거 판단하는 방법을 배울 겁니다 판단하는 방법을 배울 건데 두 가지를 배울 거예요 첫 번째는요 판별식을 이용한 방법을 배울 거고요 두 번째는 원의 중심부터 직선까지의 거리를 구합니다 그거랑 반지름 r하고 비교를 하는 거예요 누가 더 큰지

자 그러면 첫 번째 방법부터 학습해 보도록 할게요 자 어떤 x² + y 제곱은 r²이라는 원의 방정식이 있어요 이 원의 방정식이 있고 y는 mx+n이라는 직선의 방정식이 있습니다그러면 제가 뭐라 그랬어요 교점 개수와 근의 개수는 정확하게 일치한다 그랬는데 그러면 우리가 이거를 연립을 해주는 거죠 y를 여기 있는 y에다 대입을 해주면요 x의 제곱 플러스 mx+n의 제곱은 r²이라는 새로운 2차 방정식이 나옵니다 그럼 이거를 정리해서 우리가 어떤 판별식 값을 계산을 해줄 수 있겠죠 그러면 그 판별식이 양수면 뭐겠어요 근이 두 개니까 교점이 두 개인 거죠 그래서 요렇게 그려지는 거예요 이렇게 근이 두 개니까 교점이 두 개다 판별식이 0이면 뭐예요 근의 하나니까 교점이 하나다 판별식 0보다 작으면 근이 없다라고 되는 거예요 근이 없으니까 교점이 없다 그래서 그거를 우리가 표현을 어떻게 해주냐 온갖 직선이 서로 다른 두 점에서 만난다 원과 직선이 한 점에서 만나고접한다 원과 직선이 만나지 않는다라고 표현을 해주면 되는 겁니다 자 그럼이 방법을 활용해서 우리가 개념 예제 풀어보도록 할게요 자 위치 관계를 말하라고 했거든요 그러면 일단 연립을 해서 y를 여기다가 대입을 합니다 개입을 해주면요 x의 제곱 플러스 x+2의 제곱은 9고요 정리를 해주면 EX 제곱 플러스 4x - 5는 0이 됩니다 그러면 판별식을 써주면요 4의 제곱 마이너스 4 * 2 곱하기 - 5라서요 [음악] 여기까지 되셨나요 우리가 요거를판별식을 활용한 즉 첫 번째 방법을 알려드린 거고요 이번엔 두 번째 방법으로 원의 중심부터 직선까지 거리와 반지름을 비교하는 방법을 배울 겁니다 자 이 원내중심과 직선 사이의 거리 d라고 하면요 만약에이 d가요 정도 거리에 있어요 반지름은 역인데 요게 반지름이죠 지금 요게 반지름인데 원의 중심부터 직선까지의 거리가 b가 지금 이만큼이나 길어요 즉 기가 r보다 크면 b가 r보다 크면 맞나요 만날 수가 없죠 얘가 지금 직선이 멀리 있기 때문에 원과 직선이 만날 수가 없습니다 그럼 만약에이 중심부터 직선까지의 거리 d와 반지름알이 정확하게 일치한다면요 정확하게 일치한다면 요렇게 돼서 직선이 이렇게 되겠죠 그럼 어떻게 되는 거예요 한 점에서 만나고 있는 겁니다 거리 d와 반지름알이 같을 땐 한 점에서 만나요 이걸 접한다고 표현하죠

자 그러면 이번엔이 거리 d가 짧은 거예요 반지름보다 짧아요 만약에 그러면 직선이 여기쯤이 있으니까 교점이 몇 개 생기는 거예요 하나 두 개 두 점에서 만난다라고 해주는 겁니다 그래서 우리가이 방법을 활용해서 교점 개수를 파악을 할 수가 있는데요 개념 예제 한번 풀어보도록 하겠습니다 지금 1 x-3의 제곱 플러스 y - 1의 제곱은 9와 직선 y는 3분의 4x + k가 서로 다른 두 점에서 만난다고 하고 있네요 자 서로 다른 두 점이면 우리 원의 중심부터 직선까지의 거리를 d라고 했을 때 d와 e1의 반지름 r을 비교해서 누가 더 큰 거예요 두 점에서 만나려면 r이 더 커야 돼요 그래서 우리는 d값을 먼저 계산을 해 줄 겁니다 d는 중심 3이죠 지금 중심이 3이에요 그리고 어디까지 거리예요이 직선까지의 거리인데이 직선을 조금 수정을 해줘야되겠어요 양변에 사물 곱하면 3y는 4x+3키고 3y를 우변으로 넘겨주면 4x - 3y + 3k이네요 능력은 여기다 써주겠습니다 그래서 3 1부터 4x-3y + 3k는 0까지의 거리를 구해주면 루트 4의 제곱 플러스 마이너스 3의 제곱 분자는 3 콤마 1을 대입해서 12 - 3 + 3t입니다 그래서 요거를 조금 정리를 해주면 분모는 오고 분자는 절대값 3k + 9예요 얘가 지금 뭐보다 작은 거예요 반지름 3보다 작은 겁니다 반지름 3이죠 자 양변에 5를 곱해주면요 절댓값 3k + 9가 15보다 작다예요 요거는 우리가 어디서 배웠어요 절대값 기호를 포함한 부등식을 푸는 방법에서 배웠습니다 자 -15보다는 크고 3k + 9가15보다는 작죠 자 이때 9를 다 빼주면 -24 3k 6이고요 3으로 나눠주면 -8 k2입니다 따라서 우리는 k값의 범위를 요렇게 써 줄 수 있겠네요

자 우리가 오늘 학습한 내용 정말 복잡하고 많은 내용들을 배웠어요 이런 d와 r을 비교해서 구하는 방법도 있고 판별식을 가지고 구하는 방법도 있고 복습 꼭 꼼꼼하게 하시고 다음 시간에 또 다른 강의로 만나보도록 하겠습니다 고생 많으셨습니다 감사합니다