[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 도형의 방정식 - 원의 접선의 방정식

자 오늘 학습할 단어는 원의 접선의 방정식입니다 우리는 원의 접선의 방정식을 구하는 방법을 배울 건데 학생들이 제일 어려워하는 단어 중 하나에요 왜냐면 상황이 되게 많아요 상황이 많아서 각 상황에 맞춰서 우리가 접선의 방정식을 구하는 방법을 배워보겠습니다 일단은 우리가 지난 시간에 배운 내용 중 어떤 내용이 있냐면 원과 직선 사이의 위치 관계는 세 가지 종류가 있어요 첫 번째 두 점에서 만나는 경우 한 점에서 만나는 경우 안 만나는 경우 이렇게 세 가지 경우가 있습니다 각각 어떻게 구하냐면 우리가 만약에 두 점에서 만나는 건 교점이 두 개이기 때문에 근이 두 개인 것이고 판별식 d가 0보다 크다라고 할 수 있고요 한 점에서 만나는 건 교점이 하나라 d가 0이랑 같다 그리고 안 만나는건 d가 0보다 작다 요걸로 구할 수가 있고요 또 하나의 방법은 원의 중심부터 직선까지의 거리를 d라고 했을 때이 d와 반지름 아래 크기를 비교를 해서 만약에 d보다 r이 크면 두 점에서 만나구요 b랑 아리랑 같으면 한 점에서 만나고 b가 r보다 크면 우리는 한 점에서도 만나지 않는다는 것을 지난 시간에 배웠습니다 이중 접선이라는 것은 요렇게 딱 한 점에서 만나는이 선을이 직선을 우리는 접선이라고 하고요 접선이라고 하고 우리는이 접선의 방정식 구하는 방법을 배울 겁니다

자 그러면 어떤 방법을 활용하느냐 방금 적은이 두 가지 방법을 활용을 하는 거예요 판별식 0보다 같다와 원내 중심부터 직선까지의 거리 d와 반지름알이 같다이 관계를 가지고 우리가 접선의 방정식을 구할 겁니다첫 번째는요 기울기가 주어진 원의 접선의 방정식이에요 기울기가 주어진 원의 접선의 방정식인데 만약에 원의 중심이 원점이에요 원의 중심이 원점이고 반지름이 아린 원을 이렇게 그릴 수가 있겠죠 그러면이 원의 방정식을 x제곱 플러스 y 제곱은 r^2이라고 쓸 수 있습니다 자 우리는 지금 접선의 방정식을 찾을 건데 기울기가 m이라 그랬으니까 y는 MX 그리고 y 절편을 k라고 놓겠습니다 그러면 우리는이 d는 r이라는 관계를 써 볼 거예요 d는 r이라는 관계를 쓰기 위해서이 원의 중심 0 콤마 0부터 이 직선의 방정식 mx-y + k는 0까지의 거리를 구하면요 루트 m² + 10을 대입하고 절대값을 씌워주면 k밖에 안 남죠 요게 지금 뭐랑 같아요 반지름 r이랑 같습니다 그러면 절대값 k는 R 루트 m² + 1이고 우리는 K 값이 플러스 마이너스 R 루트 m² + 1이라고 구할 수가 있습니다 자 왜 두 개가 나왔을까요 기울기가 m인 접선의 방정식은 똑같은 기울기를 가진 접선의 방정식은 이렇게 두 개 나올 수 있기 때문에 y절편은 다르지만 기울기는 같은 이런 접선이 두 개 나올 수 있기 때문에 플러스 마이너스 두 개로 나온 겁니다 그래서 우리는이 경우 접선의 방정식을 y는 MX 플러스 마이너스 R 루트 m제곱 플러스 1이라고 적을 수 있는 겁니다 자 요게 원의 중심이 원점인 그리고 반지름이 아린원의 방정식부터 접선 기울기가 m인 접선 구하는 공식입니다

자 그러면 한번 개념 예제 풀어보도록 할게요 자 원 X7 플러스 y 제곱은 16이고 이거에 접하는 기울기가 -2인 접선의 방정식을 구하라고 했습니다 그러면 일단은 y는 mx+r루트 m² + 1이라는 공식을 활용할 수 있는 거고요 우리는 기울기가 -2니까 -2x + - 반지름은 몇이죠 x² + y 제곱은 16이라 그랬으니까 반지름은 4인거를 우리가 알 수가 있습니다 그러면 4루트 m의 제곱하면 4 + 1을 해서 -2x+4라고 접수하는 방정식을 구하면 됩니다 자 그런데 우리가 방금 배운 공식은 정말 한정적이에요 왜 한정적이라고 할까요바로 원의 중심이 원점일 때만 쓸 수 있기 때문이에요 그러면 원의 중심이 원점이 아니라면 어떻게 구해야 되냐 아까 배운이 d는 0이라는 방법과 d랑 r과 같다는이 두 가지 조건 중 하나를 선택해서 우리는 접선의 방정식을 구하는 겁니다 자 그러면 제가 새로운 예제를 하나 드려 볼게요 x-2의 제곱 플러스 y + 1의 제곱은 16이라는 원의 접하고 기울기가 -2인 접선을 구할 겁니다 새로운 예제예요 자 그러면 기울기가 -2라 그랬으니까 y는 -2x + k라고 접선의 방정식을 세워주고요 그 다음에 우리는 아까처럼 d는 r이라는이 조건을 통해서 우리는k값을 한번 구해 보도록 하겠습니다 자 우리는 주어진이 접선의 방정식을 2x + y-k는 0이라고 수정할 수 있고요 원의 중심 2 -1이니까 여기서부터 여기까지이 직선부터 원의 중심까지의 거리를 구해주면 블루트 5분의 이게 뭐랑 같아요 반지름 4랑 같죠 그러면 절댓값 3 - k가 4루트 5구요 우리는 3 -k의 값이 절댓값을 씌워서 4√5였으니까 + 4로 투 5 또는 - 4루트 5로 되는 거를 계산할 수 있습니다 그래서 K 값을 계산해주면 하나는 3 - 4√5고요 다른 하나는 3+4루트 5입니다 그래서 우리는 구하고싶었던이 접선의 방정식을 이렇게 쓸 수 있는 거예요 -2x + 3 - 4루트 5와 y는 -2x + 3 + 4루트 5라고 접선의 방정식을 구할 수 있습니다 공식만 활용하는게 아니라 우리가 이렇게 원의 중심이 원점이 아닌 경우에도 원점이 아닌 경우에도 접선의 방정식을 구할 수 있어야 됩니다

자 넘어가겠습니다 이번엔 원 위에 점에서의 접선의 방정식인데요 우리가 요거는 아까 두 가지 조건이 있다 그랬는데 d와 r이 같다는 조건과 판별식 d가 0이라는 요런 두 조건 중 하나를 선택해서 우리는 접선의 방정식을 구할 수 있다고 했는데 얘는 조금 특이하게 좀 더 쉬운 방법이 있습니다 제가 그 방법으로 한번 증명을 해 볼게요이 공식을 한번 증명을 해보겠습니다 자 얘는 기울기를 활용할 거예요 우리가 지금 원의 중심이 0이고 반지름이 아린원의 방정식이기 때문에 x² + y 제곱은 r의 제곱이라고 이렇게 쓰여있고요 원 위에 점이라는 거는요 점을 말하는 겁니다이 원 위에 임의의 점 아무거나 하나를 잡아준 거예요 그거를 X1 콤마 y1이라고 했습니다 그러면 요 직선의 방정식 우리가 구하고 싶은이 접선의 방정식을 y-y1은 기울기 모르니까 m이라고 놓고요 x - X1 이렇게 적을 수 있습니다 그럼 우리는이 기울기를 구하고 싶은 건데요 자 직선 op와이 직선이 접선이 수직이죠 직선 op와 접선이 수직이에요 근데 직선 op에 우리 기울기를 구할 수 있지 않나요 원점 0부터 X1 y1까지 기울기 x1분의 y1이죠 그러면x1분의 y1 곱하기 기울기 m을 해서 수직이기 때문에 -1이 돼야 됩니다 그러면 m값을 - y1 x1이라고 계산할 수 있고요 데이블 해주면 우리가 구하고 싶은 접선의 방정식은 y-y1은 - y1 X1 x - x1입니다 양변의 y1을 곱하면 y1 y - y1 제곱은 - X1 x + X1 제곱이고요 요거를 조금 정리해주면 x1x + y1 y = X1 제곱 플러스 y1 제곱이라고 쓸 수 있습니다 그런데 우리가 지금이 X1 콤마 y1이라는이 점은요 요원 위에 점이에요 그래서이 점을이 원의 테이블 해주면 x1의 제곱 플러스 y1의 제곱은 r^2이라는 조건을 얻어낼 수 있죠그래서 얘를 r²이라고 할 수 있는 거고요 우리가 최종적으로 원의 방정식을 원의 방정식의 접하는 직선의 방정식을 X1 x+y1 y는 r의 제곱이라고 이렇게 쓸 수 있는 겁니다 우리가 이렇게 기울기를 활용해서도 접전의 방정식을 구할 수 있어요

자 그러면 개념이 돼 볼게요 원 x² + y 제곱은 5 위에 점 - 1에서의 접선의 방정식을 구하라고 했어요 그러면 마찬가지로 우리는 공식 x1x + y1 y는 r이 제곱이라는 공식을 활용해서 접선의 방정식을 구해줄 거고요 - x+2y는 반지름의 제곱 5 이렇게 접선의 방정식을 쉽게 구할 수 있습니다 무조건 정리하고 싶으면 y는 1/2 x + 2분의 5라고 적어서 기울기와 y 절편이 보이는형태로 우리가 바꿔주면 더 좋겠죠 자 마지막 케이스인데요 원밖에 한 점에서 원액은 접선의 방정식입니다 자 요거는 어떤 상황이냐 원이 이렇게 있어요 근데 우리가 2번에서 한 거는 이 원 위에 한 점 이 원귀한 점 해석은 접선의 방정식을 구한 거예요 그런데 지금 구하는 거는 원밖에 한 점이라 이런 데에 점이 있는 거죠 자 여기서 근접선은요 이렇게 생긴 접선이 있고 이렇게 생긴 접선이 있습니다 그래서이 접선의 방정식을 구할 건데 맨 처음에 말씀드렸던 우리가 d는 0이라는 조건과 d는 r과 같다는 조건 둘 중 하나를 택해서 우리가 접선의 방정식을 구할 수도 있고요 또는 우리가요 접점을 문자로 잡는 겁니다 X1 콤마 y1이라고 접점을 잡아서 우리는 접선을 구할 수도 있어요 그래서 방법일 방법이 방법 3이라고 지금 소개되고 있는내용들은 제가 설명드린 첫 번째 기울기를 활용한 방법 접점의 좌표를 잡고 기울기를 뭐 활용할 수도 있고요 원의 중심과 접선 사이의 거리 d와 r이 같다는 조건을 활용할 수도 있고 판별식 d는 0이라는 조건을 가지고 문제를 풀 수도 있습니다

자 그러면 한번 개념 예제 풀면서 직접 구해 보도록 할게요 지금 원이 지금 x 제곱 플러스 y 제곱은 2의 접하고 점 3 -1을 지나는 직선의 방정식을 구하는 문제입니다 자 저음은 3 - 1을 지나니까요 우리는 직선의 방정식을 y+1은 기울기를 고르니까 m이라고 잡고 x-3이라고 쓸 수 있겠죠 그러면 y는 MX - 3M -1이고요 지금 원의 중심은 0이고 저는 어떤 방법을 택할 거냐면 d와 r이 같다는 요 조건을 선택해서 한번 접선의방정식을 구해 보도록 할게요 자 일단은 d를 구해야 되니까 우리가이 직선의 방정식을 mx-y-3n-1은 0이라고 수정을 할게요 그러면 루트 m 제곱 플러스 1분의 0을 대입하고 절댓값을 씌워주면요 마이너스 3M - 1입니다 이게 지금 뭐랑 같죠 단지름 루트 2랑 같은 거예요 그러면 절대값 마이너스 3n - 1은 루트 2m² + 2고요 지금 좌변에는 절대값이 있고 우변에는 루트가 있는데 절댓값하고 루트를 다 없앨 수 있는 방법은 그냥 통째로 제곱을 해버리는 겁니다 그러면 좌변은 9m 제곱 플러스 6m + 1이구요 우변은 em² + 2이어서 7m² +6AM - 1은 0으로 우리 m에 관한 2차 방정식이 나왔습니다 우리가 여기서 m값을 구할 수가 있어요 n + 1로 인수분해가 되고요 우리가 m 값은 7분의 1 또는 -1로 나옵니다 그래서 직선의 방정식은 m이 7분의 1일 때는 m이 7분의 1일 때는 y = 7분의 1x - 7분의 3 - 1이어서 정리하면 7분의 1 x-7분의 10이라고 쓸 수 있고요 m이 - 1일 때도 우리가 접선의 방정식을 계산할 수 있죠 y는 - X + 2라고 접선의 방정식이 나옵니다 자 여기까지 해서요 우리가 원의 접선의 방정식 구하는 방법을 배워 봤구요 세 가지 종류에 대해 배웠습니다 기울기가 주어진 경우 원 위에 한 점이 주어진 경우원밖에 안 점이 주어진 경우 각각의 경우 어떻게 구하는지 한번씩 꼭 연습해 보시길 바랍니다 자 오늘 강의는 여기까지고요 고생 많으셨습니다 감사합니다