[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 도형의 방정식 - 평행이동

자 우리가 오늘 학습할 내용은 평행이동입니다 평행2동인데 우리가 두 가지를 배울 거예요 점을 평의 이동시키는 방법 배울 거고요 도형을 평행 이동시키는 방법을 배울 겁니다 그럼 일단 우리가 평행이동이 뭔지 알아야겠죠 경의 이동은 뭐냐 모양과 크기를 유지하면서 회전시키지 않은 상태로 일정한 방향이 일정한 방향은 우리가 어디로 잡냐면 x축의 방향과 y축의 방향으로 잡아 줄 거예요 그러니까 쉽게 말하면 가로 방향 세로 방향 이쪽으로만 병에 이동을 시킨다는 겁니다 어떤 점을 갑자기 이렇게 대각선 방향으로 옮기는게 아닙니다 우리는 저렇게 대각선으로 옮기는 것도 모두 축으로 이만큼 옮기고 y축으로 이만큼 옮긴다고 표현을 해 줄 거예요 자 그리고 일정한 거리만큼 옮기는 것을 병에 이동이라고 합니다

자 그러면 점의 평행 이동 먼저 볼 건데요 점해평행 이동을 보면 지금 원래 피의 x 콤마 y라는 점이 있는데요 이 점을 p 프라임에 x 프라임의 y 프라임으로 옮긴다고 해보겠습니다 p에 x y라는 점을 평행 이동을 시키는데 그거는 p 프라임의 x 프라임 콤마 y 프라임을 옮길 거예요 자 만약에 x 축으로 그래요 a만큼 평행 이동을 시키면 x좌표만 변합니다 자 여기가 지금 X 좌표에요 옮긴 점의 x 좌표는 여기고 x 프라임이죠 그러면 여기서부터 여기까지 올 때 a만큼 증가했겠죠 a만큼 옮겼으면 a만큼 더해주는 겁니다 그래서 우리가 관계가 어떻게 되냐 x 프라임은 원래 x였는데 a만큼 옮겼으니까 a만큼 더해주고요 마찬가지로 y 좌표는 여기가 지금y인데 얘가 지금 올려서 여기 와이프라임까지 가는 거죠 b만큼 평행 이동시켰더니 y 프라임으로 간 겁니다 따라서 여기도 요런 관계식이 성립하는 거예요 이렇게 자 그러면 우리가 이게 지금 점을 평행 이동시키는 방법이에요 점을 평행 이동시키는 방법인데 우리가 뒤에 나오는 도형의 평에 이동하고 상당히 헷갈립니다

그래서 일단은 이거에 관한 개념 예제 한번 풀어보고 갈게요 자 개념예제 보시면요 점 -1을 x축의 방향으로 a만큼 y 축의 방향으로 b만큼 평행이동시켰대요 자 그러면 -1라는 점을 x 축으로는 a만큼 평이 이동을 시키고 y 축으로는 b만큼 평의 이동을 시키면 이 점은 어떻게 되는 거예요 원래 -1이었는데 a만큼 더해주고 원래 2였는데 평행 이동시킨만큼 더해주면 되는 겁니다 그랬더니어떤 점으로 갔다 그랬어요 -가 아니죠 3 - 4 이쪽 점으로 같답니다 얘가 3 -4랑 같아진 거예요 그럼 우리가 여기서 a 값을 구할 수 있죠 -1 + a 즉 x좌표는 x 좌표끼리 같아서 A 값은 우리가 4라고 계산할 수 있고요 y 좌표는 y 좌표끼리 계산해서 우리가 B 값도 이렇게 계산할 수가 있습니다 자 그다음 점 q라는 점을 4 8이라는 점을 마찬가지로 x 축으로는 a만큼 옮기고요 y축으로는 b만큼 옮기겠답니다 그러면 원래 4였는데 평행 이동시킨만큼 더해주고요 원래 8이었는데 병의 이동시킨만큼 더해주는 겁니다 그럼 새로운 점을 쭉 프라임이라고 하면 8콤마 2가 되겠네요 자 여기까지 해서 점의 평행 이동입니다 우리가평행 이동시킨만큼 더해줬어요 자 그럼 이번엔 도형의 평행 이동을 해 볼 건데요 학생들이 많이 헷갈려하는 단원 중 하나입니다 그러니까 집중해서 잘 듣고 이해하시기 바랍니다 자 일단 교재의 내용이 있는데요 내용 말고 제가 어떤 와인은 2x+1이라는 직선을 하나 그려서 설명을 해 드리도록 할게요 자 이렇게 돼서 ex+1이면 y 절편 1이고 기울기가 2니까 요런 그래프 그릴 수 있겠네요

자 이 위에 점 하나를 피콤 맞추라고 할게요 요점을 피콤마 q라고 하면요 우리가 여기서 일단 y는 2x+1이라는 직선 위에 있으니까 대입해서 요런 q는 2p+1이라는 관계식을 하나 얻어낼 수 있습니다이 점을 x축으로 산만큼 X 축으로 3만큼 y 축으로 -2만큼 평행 이동을 시켰다고해볼게요 그러면 그렇게 평이 이동시킨 점을 p 프라임 콤마 Q 프라임이라고 할게요 그러면 저는 요게 궁금한 겁니다 p 프라임과 큐프라임의 관계식은 어떻게 되나 p 프라임과 큐프라임의 관계식은 어떻게 되나가 궁금한 거예요 자 그러면 우리가 점의 평행 이동해서 배웠던 것처럼 지금 p 프라임이라는 점은 p라는 점을 x축으로 3만큼 옮겼고요 Q 프라임이라는 점은 주라는 점을 -2만큼 평행 이동시켜서 얻은 점이죠 그런데 우리가 피와 q에 관한 관계식은 알고 있어요 그러면 여기 p랑 여기 q가 있으니까 얘를 p와 q에 관해서 정리를 해주면요 p는 b프라임 마이너스 3이고 q는 QR +2입니다 그래서 이거를 우리가 알고 있는 q는이 p+1이라는 관계식의 대입을 해 줄거예요 그럼 어떻게 돼요 큐프라임 플러스 2는 2의 b프라임 마이너스 3 + 1이라는 관계식이 됩니다 자 그럼 이런 관계식이 됐는데 지금 p 콤마 q라는 점을 여기뿐만이 아니라 여기로 잡을 수도 있겠죠 그리고 여기로 잡을 수도 있을 거예요 그런 점들을 모두 x축으로 산만큼 y축으로 -2만큼 옮기면 어떤 직선이 생기는 거예요이 직선 자체를 평행 이동시킨 이런 직선이 생기게 되는 겁니다 여기도 옮긴 거고 여기도 옮긴 거죠 그러면요 녹색 그래프 위에 있는 모든 점들은 p 프라임 콤마 프라임의 관계를 만족시키는 것이고 얘가 XY 좌표평면 위에 있으니까 최종적으로 우리는 y + 2는 2의 x - 3 + 1이라는직선을 얻어낸 거예요

자 그럼 여기서 우리가 봐야 될게 있습니다 원래 y는 2x + 1이라는 직선의 방정식이었어요 근데 점을 각각의 점을 3 그리고 -2만큼 평행 이동을 시켰더니 이런 직선이 되었습니다 자 제가 여기다가 새로 적어 볼게요 y는 2x+1이라는 직선을 x축으로 3만큼 이동시켰구요 y축으로 -2만큼 평행 이동을 시켰더니 직선이 어떻게 됐어요 y+2에 2에 x - 3 + 1이라는 직선이 된 겁니다 점의 평행 이동하고 다른 결정적인 부분이 있습니다 그게 어디냐면요 x축으로 3만큼 평행 이동을 시키면 점해평에 이동은 그냥 각 x좌표 각 y좌표에 더해주면 됐는데 얘는 3을 뺐습니다 얘는-2를 뺐어요 정확히는 -2인 것이죠 그래서 우리가 도형의 평행 이동을 할 때는 x 자리에 자 요거 조금 지우고 눈에 잘 띄게 하겠습니다 엑스 다리에 x축으로 3만큼 평행 이동시키면 x-3을 집어넣구요 y 축으로 -2만큼 평의 이동시키면 y자리에 Y + 2를 집어넣습니다 자 이거를 우리가 x축으로 평행 이동시킨 양을 a라고 할 거고요 y축으로 표면 이동시킨 양을 b라고 할게요 그러면 어떤 직선 y는 mx+n이라는 직선을 x축으로 a y축으로 b만큼 평행 이동시키면 어떤 직선이 돼요 y-b는 m의 x-a + n입니다 도형의 평행 이동을 시키면 빼 줘야 돼요 평행 이동시킴만큼 빼주는 겁니다 자 원의 방정식도 마찬가지예요x² + y 제곱은 9라는 도형을 x 축으로 이만큼 평행 이동시키고 y축으로 -5만큼 평행 이동을 시켰다면 x축으로 이만큼 평행 이동시켰으니 x-2의 제곱이 되고요 y 축으로 -5만큼 평행 이동을 시킨 건 y + 5의 제곱이 되는 겁니다 자 여기까지 이해가 되셨나요 마지막으로 개념 예제 한번 풀어보도록 할게요 와인은 3x+1이라는 직선을 x축으로 -1만큼 y축으로 선만큼 평행 이동을 시켰다고 할게요 자 y는 3x+1이었는데 x축으로 -1만큼 평행 이동시켰으면 x자리에 x+1을 넣어 줘야 되고요 y축으로 3만큼 평의 이동을 시킨 건 y자리에 y-3을 집어넣는 겁니다 그래서 y - 3은 3의 x + 1 + 1이라고 해주면 되고요 y는 3X +7로 계산됩니다 자 x² + y 제곱은 4라는 e1의 방정식을 x축의 방향으로 4만 6만큼 정해 이동시키고 y축의 방향으로 -8만큼 평행 이동을 시키면요 x자리에 x-6을 넣는 거고요 y자리에 y + 8을 넣는 겁니다 따라서 x-6의 제곱 y + 8의 제곱은 4라는 제로운 원의 방정식이 나오게 되는 것이죠

자 이렇게 해서 우리가 점의 평행이동 도형의 평행 이동하는 방법 배워 봤고요 특히 도형의 평행 이동은 점의 평행 이동과 우리가 계산해주는 방법이 조금 다르기 때문에 꼭 정확하게 이해하고 사용하시기 바라겠습니다 여기까지구요 고생하셨습니다 감사합니다