[수학대왕] 수학 상 개념강의 : 도형의 방정식 - 점과 직선에 대한 대칭이동

자 우리가 오늘 학습할 내용은 점과 직선에 대한 대칭이동입니다 우리 지난 시간에 배운 대칭 이동은 x축이나 y축이나 와인은 x 또는 원점에 대해서 대칭 이동시키는 방법을 배웠는데요 오늘 배울 내용은 그런 점이나 직선이 아니라 일반적인 점 a 콤마 B 또는 어떤 와인은 ax+b라는 직선에 대해서 대칭 이동시키는 방법을 배울 겁니다 그럼 먼저 점에 대해 대칭 이동시키는 방법을 배울 건데요 어떤 점 x 콤마 y가 있습니다 어떤 점 x y가 있는데 요거를 기준 a b라는 점을 기준으로 요거를 기준으로 대칭 이동시킨 점을 x파일 콤마 y 프라임이라고 할 거예요 그러면 요렇게 대칭 이동시키면 무슨 성질이 있냐 여기서부터 여기까지 거리와 여기서부터 여기까지의 거리가 같아지는것이죠 그러면 p와 p 프라임의 중점이 a 콤마 b가 되는 것이죠 그거를 가지고 식을 세워주면 우리가 요런 식으로 얻어낼 수 있는 겁니다

자 그런데 우리가 궁금한 건 뭐예요 바로 X 프라임과 Y 프라임의 좌표가 궁금한 겁니다 그래서이 값을 기준으로 식을 정리해주면 우리가이 관계를 얻어낼 수 있는 것이죠 자 요거를 이렇게 공식처럼 외우셔도 좋고요 우리가이 관계를 통해서 점의 대칭 이동시킨 점을 구해줘도 됩니다 자 직선도 마찬가지로 도형도 마찬가지인데요 우리가 x 자리에 ea-x를 집어넣고 y자리에 eb-y를 집어넣어서 대치 이동시킨 도형을 구해줄 수 있습니다 자 개념 예제 한번 보도록 할게요 공식을 활용하지 않고 제가 중점이 기준점이 된다는 사실을 활용해서 구해 보도록 할게요 직선 x+2y-4는 0을 만족시키는 점을 제가 이거를 X 콤마 y라고 할 거고요요렇게 잡으면 x+2y-4는 0이라는 관계를 만족하게 되는 것이죠 그런데이 직선이 1 -2에 대하여 대칭 이동시킨 직선을 구하라 그랬어요 그러면 그 후에 대칭 이동된 직선을 x 프라임 콤마 y 프라임이라고 하겠습니다 그러면 우리가 x와 x 프라임을 더해서 반으로 나눈게 X 좌표이고요 y와 y 프라임을 반으로 나눠준게 -2가 되는 것이죠 자 그러면 우리가 x와 y의 관계를 알고 있으니까 얘를 x와 y에 관한 식으로 정리를 해주면 x는 2 - x 프라임이고요 y는 - 4 - y'입니다 그럼 얘네를 대입을 해주면 2-x 프라임 플러스 2의 - 4 - Y 프라임 - 4는 0이고요 2-x프라임 마이너스 8 - 2y 프라임 마이너스 4는 0이어서 우리가 요거를 x 프라임 플러스 2y 프라임 플러스 10은 0이라고 우리가 계산해주면 직선의 방정식을 구한 겁니다 좌표 평면이 x축 y축이니까 여기에 있는 프라임을 떼서 직선의 방정식을 써주면 되겠죠

자 이번엔 직선에 대한 대칭 이동인데요 우리가 직선에 대한 대칭 이동시킬 때는 두 가지 사실을 활용합니다 자 어떤 사실이냐 첫 번째는 우리가 중점을 활용해요 어떤 점 p의 x y라는 점을 이 직선에 대하여 대칭 이동을 시키면요 p 프라임 즉 x 프라임 콤마 y 프라임이라는 점이 생기게 되는데이 p와이 프라임의 중점이 어디 위에 있는 거예요 예의 중점이이 직선 L 위에 있는 겁니다 그러면 우리는이 중점 좌표를이 직선식의 대입해서 돕거나나얻어낼 거고요 두 번째 조건은 우리가이 p부터 p 프라임까지의 직선을이었을 때 이직선의 기울기와 원래 있던 직선 l의 기울기에 곱이 -1 즉 이루는 각이 90도라는 사실을 통해서 우리가 조건을 하나 더 얻어낼 겁니다 그거는 이제 수직 조건이라고 써 있네요 자 그러면 한번 개념 예제 풀면서 어떻게 적용시키는지 활용해 보도록 할게요 자 좌표평면이 점 2 3을요 2 3을 직선 x+y-2에 대하여 대칭 이동을 시킨다고 했습니다 그러면 제가 대칭 이동시킨 점을 아직 뭔지 모르니까요 점을 a b라고 놀 거예요 그러면 2 3과 a b의 중점이 중점이 2분의 a + 2분의 b + 3인데 얘가 어디 위에 있어요 x+y-2는 0 위에 있게 되는 것이죠 그래서각각 대입을 해주면요 2분의 a+2 콤마 플러스죠 + 2분의 B + 3 -2는 0이라는 관계를 만족하게 되는 거고요 a+b + 1은 0이라는 식을 우리가 얻어낼 수 있습니다

자 그리고 두 번째 조건은 뭐라 그랬어요 얘가 지금 수직이다 수직이니까이 두 점을 이은 직선의 기울기와 원래 있던이 직선의 기울기의 곱이 -1이라는 사실을 가지고 우리가 조건 하나도 얻어낼 거예요 우리가 x+y-2=0이라는 직선은요 y는 -x+2니까 기울기가 -1입니다 자 2 3부터 a b까지의 기울기를 구해주면요 a - 2분의 b-3 즉 x값 증가량분의 y 값 증가량으로 우리가 직선의 기울기 구할 수 있습니다 곱해서 수직이니까 -1 돼야 되고요 + 빼서 b-3은 a - 2니까 우리가A - B + 1 = 0이라는 관계식을 얻어낼 수 있네요 자 그러면요 식하고 요식을 연립해주면 우리가 a 값 B 값을 찾아낼 수 있죠 그래서 최종적으로 우리가 얻어낼 수 있는 A 값은 -1이고 b값은 0입니다 따라서 대칭 이동한 점의 좌표는 -1 0이라고 우리가 얻어낼 수 있겠네요 여기까지 해서요 우리가 수학 상 과정을 모두 마치게 됐습니다 수학 상 과정은 개인적으로 정말 중요하다고 생각하는 단계에요 우리가 방정식 부등식 원예방정식 기타 대칭 이동평의 이동까지 정말 앞으로 쓰이는 많은 내용들이 들어가 있으니까 수학 상을이 두 번 세 번네 번 반복해서 모든 내용을 완벽하게 다룰 수 있는 그날까지 복습을 하셨으면 좋겠습니다 오늘 강의는 여기까지 할 거고요 그동안 수학상 공부하느라 고생 많으셨습니다 감사합니다