[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 집합과 명제 - 집합의 뜻과 표현

자 우리가 오늘 학습할 내용은 집합의 뜻과 표현입니다 우리가 오늘 집합을 처음 배우는 날이죠 집합을 처음 배우는 날인데 우리가 집합이 뭔지 그리고 집합에서 사용하는 용어들에는 어떤 것들이 있는지 요것들을 학습을 먼저 할 거고요이 집합을 표현하는 방식을 배울 겁니다 그러면 우리가 일단 집합이 뭔지 한번 배워보도록 할게요 집합이 뭐냐 요만해 지금 상당히 중요한 말이에요 어떤 기준에 따라 대상을 분명하게 정할 수 있을 때 어떤 기준에 따라 어떤 기준에 따라서 분명하게 정할 수 있어야 돼요 분명하게 그러니까 제가 봐도 요거고 여러분이 봐도 이거인 똑같은 결론이 나와야 우리는 명확한 기준이라고 하는 거예요

자 그래서 그 기준을 맞는 그 기준에 맞는 대상들을 모아 논거를 집합이라고 하는 거고요 우리 어떤 기준에 예를들어 어떤게 있냐 자 3 이하의 자연수 요런 애들이 있겠죠 자 3 이하의 자연수는 제가 봐도 1 2 3 이고요 여러분이 봐도 1 2 3입니다 자 그런데 만약에 이렇게 했어요 키 큰 사람들 자 그러면 키가 크다라는 거는 기준이 되게 불분명한 거예요 여러분이 봤을 때 키 큰 사람하고 제가 봤을 때 키 큰 사람은 똑같지가 않습니다 키 크다는 기준이 딱 정해지지 않은 거거든요 그래서 이런 거는 우리 집합의 기준이 될 수가 없고요 요런 것들이 이제 집합이라고 할 건데 집합에 우리가 보통 이제 이름을 붙여 주게 됩니다 저는이 집합을 n 집합이라고 할게요 n 집합 기호를 써서 집합의 이름을 붙여 주는 거예요 그러면이 n이라는 집합 안에 1 2 3이 들어가 있는 거죠 1 2 3이 들어가 있는 건데 요렇게 어떤 집합의이 성분들이 집합 안에 속하는 애들을 우리가 뭐라 그러냐면원소라고 하는 거예요 원소 밥을 이루는 대상 하나하나라고 적혀 있네요 그래서 1은 n의 원소다 2는 n의 원소다 3은 n의 원소다라고 표현을 할 수 있는 거고요 이렇게 속한다라는 용어를 쓰게 됩니다 간다 속한다라는 용어를 쓰게 되고 기호로 어떻게 표현하냐 이렇게 쓰거든요 자 지금 n이라는 집합 안에 2가 들어가 있죠 그러면 요렇게 기호를 삼지창 비슷하게 이렇게 그리는 겁니다 이렇게 자 그리고 3도 n의 원소죠 그러면 이렇게 쓸 수 있는 거예요 자 근데 속하지 않는 원소를 물어볼 수도 있어요 어떤 원소 b는 집합의에 속하지 않는다 속하지 않는다라고 표현을 하며 기호로는 어떻게 표현을 하냐면요 우리가 지금 1 2 3 제외한 요런 숫자를 물어볼 수도 있겠죠 자 오늘 집합n에 속해요 안속해요라고 물어보면 속하지 않아요라고 대답하고기호로는 3지창이 아니다 이렇게 써주면 됩니다 약간 요기요랑 비슷하죠 요기오랑 비슷합니다 아니라는 의미를 담고 있는 거예요

자 다음으로 넘어가서 개념 예제 볼 건데요 우리가 집합이 아닌 것을 모두 고르라 그랬네요 기준이 명확한게 집합이라 그랬어요 급식이 맛있대요 급식이 맛있는 거 정말 애매하죠 여러분은 맛있다고 생각할 수도 있지만 옆에 있는 친구는 맛없다고 생각할 수도 있잖아요 요거는 집합이 될 수 없고요 수학을 달하는 것도 애매한 겁니다 저는 1등급인 학생들이 잘한다고 생각할 수 있는데 여러분은 3등급만 돼도 잘하는 학생이다라고 생각할 수 있잖아요 이렇게 기준이 명확하지 않으니까 얘도 집합이 아닌 겁니다 2000년에 태어난 사람들의 모임 2000년 너무 명확하죠 2000년 1월 1일부터 2000년 12월 31일까지 태어난 사람들 주민등록증을 확인하면 또 명확하게 확인할 수 있겠죠 얘네들은 집합인 겁니다 노래를 잘 부르는 사람들요거 정말 애매하죠 여러분은 노래를 잘 부른다고 생각을 하나요 뭐 잘 부른다고 생각을 할 수 있는데 옆에 친구들은 그렇게 생각 안 할 수도 있잖아요 기준이 명확하지 않은 거예요 요거는 집합이 아닌 겁니다 서울시에 있는 고등학교에 모임 주소를 확인하면 되겠네요 요거는 집합입니다 자 밑에 볼게요 20의 양의 약수의 집합을 a라고 할 때 옳지 않은 거 고르라고 했고요 20의 양의 약수라 하면 어떤 수들이 있는 거예요 1 2 4 5 10 20 이런 애들이 원소인데요 집합 a의 2가 들어가냐 안 들어가냐라고 물어봤으면 오 이거 들어가네요 그러면 얘는 원소예요라고 우리는 1번은 맞는 겁니다 4번은요 4는 a의 원소인가요 4는 2의 원소죠 얘도 맞네요 5는 a의 원소죠 원소인데 지금 여기 원소가 아니라고 해놨네요 얘는 틀렸죠 자 15는 원소가 아니라 그랬고요 우리가 확인한 건 15가 안 들어 있습니다 그래서 얘는맞는 말이고요 20은 a의 원소야라고 물어봤는데 20도 들어가죠 원소입니다 따라서 답은 3번 체크해 주시면 되고요 집합의 표현 방법 배워 볼 건데요 집합의 표현 방법에는 세 가지가 있습니다 자 원소 나열법 조건 제시법 팬다이어그램 이렇게 세 개가 있어요 우리가 아까 예시로 들었던 집합 n을 가지고 해봅시다 제가 n을 3 이하의 자연수라 그래서 1 2 3이 n의 원소다라고 표현을 했어요 자 요거를 원소 날 법으로 표현하면 어떻게 하냐 우리가 요렇게 집합 n은요 중괄호로 묶습니다 중괄호로 이렇게 묶어서 n에 속한 원소들을 여기다 안에다 다 써주는 거예요 원소들을 모조리 써주면 이게 바로 원소 나열법입니다

자 두 번째는 조건 제시법인데요 조건제시법 표현이 조금 헷갈려요 집합에는 중괄호 마찬가지로 쓰고요 x 바라고 씁니다 그럼요 의미가 뭐냐면이 어떤 기준으로 오른쪽에 써줄 거예요 어떤 기준으로 오른쪽에 써줄 거고이 기준을 만족하는 x들을 모조리 집합n의 원소다라고 하는 거예요 다시 한번 말씀드릴게요 집합 n의 원소는 x인데 그 x의 기준을 오른쪽에 적어 주는 겁니다 자 그러면 제가 아까 예시로 드린 3 이하의 자연수라는 집합 n을 요렇게 쓸 수 있겠네요 x는 3 이하의 자연수 요렇게 써주면 기준 자체로 오른쪽에 써주면이 x는 3 이하의 자연수를 만족하는 x 값들을 모조리 원소로 갖는 집합 n이 된 겁니다 자 요게 조건 제시법이고요 벤 다이어그램은 우리가 그림으로 나타내는 건데 집합 n을 그리고 이렇게 동그랗게 풍선처럼 그립니다 그러면 여기 안에 원소들을 아무렇게 그냥 써주면 된 다이어그램을 활용해서 우리가 집합인을 표현을 해 준 거예요 자 다음으로 넘어가서요 우리가 개념 예제 보도록 하겠습니다 우리가여기 보면 원소나r법으로 표기된 건 조건 제시법으로 바꿔주라 했고 조건 제시법으로 표기된 건 원소 나열법으로 표현을 해주라고 했어요 그러면 하나씩 볼게요 a 집합의 원소가 -1하고 0하고 1이네요 우리가 이걸 그러면 조건 제시법으로 바꿔 줄 거예요 자 a는 x 바 그리고 x의 기준을 여기다 써 줘야 되죠 자 뭐라고 쓸까요 저는 이렇게 쓸 수 있을 것 같아요 요거인 정수 이렇게 써주면 되겠죠 물론 기준은 여러 개가 더 될 수도 있습니다 더 많은 숫자들이 있을 수 있는데 우리는 그 중에 하나 그냥 여러분이 요렇게 편안한 거 하나 적어 주시면 되는 거예요 자 집합 b는 2357이네요 요거를 조건제시법으로 나타내면 뭐라고 쓸 수 있을까요 저는 7 이하의 7 이하의 소수라고 쓰겠습니다 그러면 2357 딱 만족하죠 자 3번 x는 12의 양의 약수라고 써있네요 12의양의 약수는 우리가 뭐 뭐 있어요 1 2 3 4 6 12가 있죠 그럼 얘를 이렇게 열어 묶어주면 되는 겁니다 여기까지 됐나요 4번도 봅시다 x는 3k - 2인데 k는 자연수래요 자 그러면 k에다가 넣을 수 있는 건 1 2 3 요런 자연수들을 넣을 수 있는데 그 k가 원소인게 아니라 k를 여기 2k에다가 넣었을 때 나오는 x값들이 x값들이 d의 원소인 겁니다 그러면 어떤 애들이 될 수 있는 거예요 d는 k에다 1을 넣으면 1이 나오고요 2를 넣으면 4가 나오고 3을 넣으면 7이 나오죠 계속 되겠네요 뭐 10도 되고 그러면 우리는 점 점 점 찍고 이렇게 중괄호 닫아주면 됩니다 원소가 무한기일 수도 있는 거예요 원소가 그냥 계속 이어질 수도 있는 거예요

자 그러면 그거에 관한 내용을 이제우리가 배워 볼 건데 유한집합과 무한집합입니다 자 유한집합이 뭐냐면요 원소의 개수가 유한계인 집합인 거예요 원소의 개수가 뭐 3개 5개 많게는 뭐 100개 200개 당연히 될 수 있겠죠 이렇게 개수가 정해진 걸 유한집합이라고 하고요 우리가 방금요 집합을 썼어요 어떤 집합 뒤에 원소가 1 4 7 10 요렇게 썼는데 얘는 끝없이 이어지죠 끝없이 이어지니까 원소의 개수가 무한계인 거고 무수히 많은 거고 그거를 우리가 무한집합이라고 하는 겁니다 자 이번엔 공집합인데요 공집합은 뭐냐 원소가 하나도 없는 집합을 공집합이라고 해요 원소가 하나도 없는 거예요 그것도 집합은 집합인 겁니다 우리가 이걸 기호로 뭐라고 표현하냐 요렇게 씁니다 동그라미에다가 작대기를 하나 딱 그걸 우리가 공집합이다라고 하는 거예요 그러면 만약에 어떤 집합 d가 원소가 하나도 없어요그러면 이렇게 써주면 되는 겁니다 지금 법의 원소가 없어서 공집합이에요라고 자 유한집합의 원소 개수인데요 우리가 아까 구한 우리가 지금 계속 예시로 들고 있는 x락 n이라는 집합이죠 n이라는 집합을 원소나의 법으로 표시하면 1 2 3이었어요 그러면 원소 개수가 지금 몇 개예요 세 개죠 그러면 요런 기호를 쓸 수 있습니다 NA n이죠 n n 집합n에 집합n에 원소 개수를 묻는 거예요 집합인의 원소기 수는 3이다라고 써주면 되는 것이죠 자 그러면 우리가 만약 공집합을 물어봤어요 공집합의 원소개수는 몇 개야라고 물어보면 영계야라고 해주면 되는 거겠죠

자 그러면 이번에 개념 제작도 풀어보도록 하겠습니다 유한집합인 것 찾고 원소개수 구하라 그랬네요 자 유한집합인 거 뭐 뭐 있을까요 요거 지금 유한집합이죠 1 2 3 4 딱 4개 있는 거예요 그럼 우리가 뭐라고 쓸 수 있어요 na는 집합 a의 원소 개수는4라고 쓸 수 있는 겁니다 자 2번 볼게요 20 이하의 소수네요 그러면 제가 b를 원소나열 법으로 표현을 해주면 여기다 뭐라고 쓸 수 있어요 2 3 5 7 11 13 17 19까지 써주면 되겠네요 그러면 nb는 집합 b의 원소개수니까 하나 둘 셋 넷 다섯 7 8이라고 써주면 되는 겁니다 자 c는요 3번 c는 지금 2468 2의 배수인 거 같아요 2의 배수 끝없이 이어질 수 있죠 그럼 얘는 무한집합이고요 자 집합지도 2와 3의 공배수를 물어봤네요 2와 3의 최소공배수는 6이죠 공배수는 최소 공배수의 배수들이니까 6 12 18 24 계속 이어질 겁니다 그럼 얘도 마찬가지로 무한집합이네요 자 우리가 여기까지 해서요 오늘 집합이 뭔지 배워봤고 집합을 표현하는 방법도 배워봤습니다 그리고 유한집합 무한집합 공집합에 대한 개념까지학습을 하였어요 자 복습하고 우리 뒤에 넘어가서 집합 강의 이어 들으셨으면 좋겠습니다 고생하셨습니다 감사합니다