[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 집합과 명제 - 집합 사이의 포함 관계

자 오늘 학습할 단어는 집합 사이에 포함 관계입니다 자 우리가 가장 먼저 부분집합에 대해 배울 건데요 집합 a의 모든 원소가 집합 b에 속할 때 a를 b의 부분집합이라고 하며라고 적혀 있어요 예시를 한번 들어볼게요 집합의를 1 2 3이라고 할 거고요 집합 b의 원소는 1 2 3 4 5라고 할 겁니다 그러면 a의 원소 1 2 3이 집합 b의 모두 들어가 있죠 이런 경우 우리가 집합 a는 집합 b에 속한다 그리고 집합 a는 집합 b의 부분집합이다라고 표현을 합니다 기호로는 요렇게 표현을 해줘요 a가 b의 부분집합이라는 기호는 이렇게 자 그리고 모든 x에 대하여a의 원소를 x라고 하는데 그 모든 x에 대하여 그 x가 b의 모두 속하면 a가 b의 부분집합이다라고 설명을 하고 있습니다

자 넘어가서 부분집합의 성질을 볼 건데요 우리가 부분집합은 속하면 부분집합이라고 하는 건데 공집합은 모든 집합의 부분집합입니다 원소가 아무것도 없으면 원소가 아무것도 없는 집합 공집합은 모든 집합의 부분집합이라고 해요 그리고 자기 자신 즉 같은 집합도 부분집합이라고 합니다 자 그리고 a가 b에 속해요 a가 b에 속해서 그림을 이렇게 그릴 수 있겠죠 a가 b에 속한다 그리고 이번에 뭐예요 b가 c에 속해요 비가씨에 속하면 b밖에 c가 있겠죠 b를 감싸는 c가 있습니다 자 이렇게 되어 있으면 우리가 a와 c를 비교했을 때 a가 c의 부분집합이기도 하죠 그래서 이거이고 이거이면a가 c의 부분집합이라고 할 수 있습니다

자 넘어가겠습니다 이번엔 서로 같은 집합인데요 만약에 a가 b의 부분집합이고 b가 a의 부분집합이면 얘는 a와 b는 서로 같다라고 하는 거예요 같으니까 서로가 서로의 부분집합이 될 수 있는 거죠 그래서 요렇게 집합의와 집합 b가 같으면 등호를 써서 a는 b라고 씁니다 만약에 다른 집합이면 a와 b가 서로 같지 않을 때 요렇게 이런 기호를 써서 나타낼 수도 있어요

자 넘어가겠습니다 개념예제 볼 건데요 지금 문제에서 a라는 집합과 b라는 집합을 요렇게 주고 있어요 이렇게 주고 있는데 a는 b의 부분집합이고 b는 a의 부분집합이래요 이거는 뭘 의미하는 거예요 a라는 집합과 b라는 부분집합 b라는 집합이 똑같다는 거예요 에이즈팝과 B 집합이 똑같은 겁니다 자 그러면 지금 a의 원소는 1하고 a² + a네요 그러면d의 원소도 1이고 a² + a가 있어야 되는 거예요 그런데 보면 2랑 -2a² + 3a라고 써 있죠 그래서 여기 써 있는 -2a 제곱 플러스 3a가 1인 거고요 2가 a² + a인 겁니다 그래서 요거를 풀어주면 a² + a는 2고 a의 제곱 플러스 a - 2는 0이어서 a - 1 a+2는 0이고 A 값은 1 또는 -2라고 구할 수 있습니다 그리고 뭐도 만족해야 돼요 -2a² + 3a는 1을 만족해야 되니까 2a² - 3a + 1은 0이죠 얘를 인수분해하면 2 - 1의 a - 1은 0입니다 따라서 a는 1/2 또는 1이에요 근데 우리가 지금 두 경우를 모두 만족해야 되니까 a는 1일 때 두 경우를 모두 만족을하네요 따라서 답은 a는 1이 되는 거예요

자 넘어가겠습니다 진보분 집합인데요 진보분 집합이 뭐냐면 부분집합이긴 부분집합인데 같으면 안 되는 거예요 우리가 아까 부분집합 중에서 공집합도 부분집합이라 그랬고 서로 같은 집합 똑같은 집합도 부분집합이라고 했습니다 진 부분집합은 똑같으면 진 부분집합이 아닌 거예요 그래서 우리는 a가 b에 속하는 거는 집합 a가 집합 b의 진 부분집합이거나 a랑 b랑 같다는 걸 뜻한다라고도 표현을 할 수가 있는 거고요 반대로 집합 a가 집합 b의 진 부분 집합이면 a는 b에 속하나 b의 원소 중 a의 원소가 아닌 것이 있다라고 하는 거예요 같으면 안 되니까 b의 원소 중 a1소가 아닌게 있는 겁니다 자 문장으로는 간단하게 표현하면 이런 문장으로도 표현할 수 있겠죠 자기 자신을 제외한 모든 부분집합 자기 자신을 뺐다는게 제일 중요한 포인트인 거예요

자 넘어가서 이번에 부분집합의 개수인데요 우리가 부분집합을 한번 세 볼게요 만약에 원소 1하고 2를 갖는 집합 a가 있어요 우리 똑같은 a니까 얘는 a라고 안 하고 b라고 할게요 b의 원소가 1하고 2인데 요거의 부분집합들을 쭉 나열을 해주면 공집합도 부분집합이고 1도 부분집합이고 2도 부분집합이고 일하고 2를 모두 포함한 것도 부분집합이죠 총 4개가 됩니다 그런데 우리가 원소가 많아지면 이거를 일일이 셀 수가 없어요 그래서 경험의 수를 활용해서 우리가 조금 고려를 해주게 됩니다 우리가 중학교 과정에서 경우의 수를 배운 적이 있으니 간단하게 경우의 수를 활용해서 설명을 드릴게요 자 어떤 부분집합을 만들 건데요 a1이이 부분집합의 들어갈 수도 있고 안 들어갈 수도 있어요 여기에 지금 a1이 들어올 수도 있고 안 들어올 수도 있습니다 몇 가지 경우가 있는 거예요 두 가지 경우가 있는 거예요 a2가들어갈 수도 있고 안 들어갈 수도 있어요 마찬가지로 두 가지 경우가 있고요 모든 원소에 대해 두 가지 경우가 있는 겁니다 그런데 우리가 부분집합을 뽑는 건 연속해서 일어나는 동시에 일어나는 사건이니까 이렇게 2를 계속 곱해주면 됩니다 총 원소가 n개라면 2를 n번 곱하니까 2의 n제곱이라고 부분집합 개수를 구해줄 수 있고요 진 부분 집합이면 자기 자신 하나를 빼야 되니까 2의 n제곱 마이너스 1이 진 부분집합의 개수를 구하는 방법입니다

자 넘어가세요 우리가 관련된 개념 예제 풀어볼게요 집합 a의 부분집합 개수와 진 부분집합의 개수를 구하라 그랬어요 그러면 여기 지금 헷갈리는게 하나가 있는데 a도 원소고요 b도 원소고 c도 원소입니다 근데 여기 지금 이렇게 표시된 것도 하나의 원소예요 우리는 여기서 원소가 몇 개인지인지 만 확인을 해주면 되는 거예요 이것도 하나로 묶인 하나의 원소입니다 원소는 총 몇 개예요 5개죠원소가 5개면 우리는 부분집합을 뭐라고 할 수 있어요 2의 5제곱계라고 할 수 있죠 부분집합 총 32개고요 진 부분집합은 32개에서 하나를 뺀 31개라고 해주면 됩니다

자 넘어가서요 특정한 원소를 갖거나 같지 않는 부분집합의 개수인데 우리가 원소가 n개인 집합 a에 대해서 부분집합의 개수를 2에 n제곱 개라고 앞에서 배웠습니다 그런데 만약에 하나씩 볼게요 원소 k를 반드시 포함해요 그러면 원래 모든 원소가 두 가지 경우가 있어서이를 n번 곱했기 때문에 2의 n제곱이 된 거였어요 그런데 만약 하나를 무조건 포함해야 된대요 그럼 걔 경우의 수가 두 개가 아니라 몇 개인 거예요 두 개가 아니라 한 개인 거죠 그러면 원두 두 개를 반드시 포함해야 된대요 그러면 1이 몇 개예요 두 개인 거예요 그러면 2의 개수가줄고 있는 거죠 그래서 우리가 요거 같은 경우는 원래 2가 n제곱게 있는데 두 개 빠져서 n - 2라고 쓸 수 있는 겁니다 그래서 재고로 조금 공식화하면 공식화하면 특정한 원소 키우기를 반드시 포함하면 2의 n - k 제곱이라고 이렇게 쓸 수 있는 거고요 마찬가지로 만약에 특정한 원소 m개를 안 가져요 m계를 무조건 빼는 거예요 그러면 우리는 경우의 수가 마찬가지로 m개가 1로 고려돼서 2의 n - m 제곱이 되는 겁니다 자 마지막으로 특정한 원소 케익에는 반드시 포함하고 특정한 원소 m계는 같지 않는대요 그러면 케익에도 경우의 수1로 세고 m계도 경우에서 1로 세니까 전체 n개에서 몇과 몇을 뺐어요 k와 m을 뺀 2의 n - k-m²이 되는 겁니다

자 관련된 개념유지의 풀고 마치도록 할게요 자 지금 a의 원소가 몇 개예요 6개 있습니다 그런데 첫 번째 pc를 포함하지 않는대요 원래는 2의 6제곱계인데 두 개를 포함하지 않으니까 두 개를 빼주는 거예요 그래서 2의 네제곱이라 16개고요 두 번째 이번엔 abc를 포함한대요 그러면 2의 6제곱에서 몇을 빼요 3을 빼죠 그래서 2의 3제곱이랑 8개 마지막으로 ad는 포함하고 ef는 포함하지 않는데요 포함하고 포함하지 않는게 지금 각각 두 개씩 있죠 그러면 2의 6제곱 빼기 2 - 2의 6-2 제곱이라서 2에 2제곱이 됩니다 그래서 총 4개가 되네요 여기까지 해서 우리가 부분집합 개수 구하는 방법까지 학습을 했고요 우리가 앞에서 배운 공식이나 개념들 꼭 복습하시기 바랍니다 오늘 강의는여기까지입니다 감사합니다