[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 집합과 명제 - 집합의 연산

자 이번 시간에 배워볼 단어는 집합의 연산입니다 집합의 연산인데 우리가 집합과 집합 사이에 어떤 연산이 적용되는지 그거를 몇 가지 배워보도록 할 거예요 자 가장 먼저 우리가 합집합 교집합 그리고 서로소인 집합에 대해 배워 볼 건데 제가 합집합 교집합 서로소가 뭔지 하나씩 설명을 드릴게요

자 합집합이 뭐냐 ab에 대하여 어떤 집합 a와 b가 있으면요 a에 속할 수도 있고 b에 속할 수도 있는이 모든 원소로 이루어진 집합을 합집합이라고 하는 겁니다 자 벤 다이어그램으로 그리면 어디냐 a에 속해도 되고 b에 속해도 되니까 a에 속하는 애들은 여기고 비에 속하는 애들은 여기니까 이렇게 되겠죠 그러면 여기 영역 전체를 우리가 A 합집합 b라고 표현을 해줍니다 그럼 약간 조건제시법으로는 어떻게표현되는지 볼까요 x가 a에 속하거나 또는 b에 속하거나 둘 중 하나만 속하면 합집합이 된다는 얘기에요 자 그럼 이번에 교집합 볼 건데 교집합은 교재에 뭐라고 나와 있어요 어떤 ab에 대하여 a에도 속하고 b에도 속하는 원소인 거예요 a에도 속하고 b에도 속하는 원소 즉 a와 b가 겹치는 부분 여기를 말하는 거죠 여기를 말하는 겁니다 우리가 조건제시법으로는 a의 원소이면서 그리고 b의 원소이다라고 표현되고 있어요 자 그래서 합집합과 교집합을 각각 기호로 어떻게 표현하냐면요 합집합은 요렇게 u자 비슷한 모양으로 쓰고요 교집합은 u자를 뒤집은 ab를 예의를 들어서 설명을 드릴 건데 a라는 집합의 원소를 1 2 3 4 5 6이라고 할 거고요 b라는 집합의 원소를 36 9라고 하겠습니다 그럼 이거를 토대로 벤 다이어그램에 원소를 적어 줄 건데 지금 a에도 있으면서 b에도 있는 원소가 뭐예요 3하고 6은 a에도 있으면서 b에도 있죠 그럼 우리 a에도 있으면서 b에도 있는 원소를 뭐라 그런다고요 교집합 즉 a 교집합 b에 속하는 원소는 3하고 6인 겁니다 그러면 그림 안에 3하고 6을 여기다 써주는 것이죠 왜 여기다 써 줘요 공통인게 산마하고 6이니까 겹치는 부분에 3하고 6을 써주는 겁니다 그러면 a의 원소 중 a 교집합 b가 아닌 1 2 4 5는요 여기에 써 주면 되고요 b에 있는데 a 교집합 b에 속하지 않는 원소 9는 여기다 써주면 됩니다 우리가 요렇게 표현을 해주면 돼요

자 이번엔 서로소인데요 ab에서 공통위원소가 하나도 없는 집합을 우리가 서로소 관계다라고 하는 거예요교집합이익 공집합이다라고 표현을 할 수 있겠고요 이렇게 벤 다이어그램으로는 교집합이 없으니까 공통부분이 없어서 겹치는 부분을 그려주지 않고 이렇게 떨어져서 떨어진 집합 두 개를 그려주면 되겠죠 자 그러면 개념 예제 풀어보도록 하겠습니다 자 a라는 집합의 원소는 1 2 3 4 5구요 a 합집합 b는 1234567이고 a 교집합 b는 345래요 자 그러면 a라는 집합과 b라는 집합을 벤 다이어그램을 동시에 그릴 때 가장 일반적인 경우는 이렇게 공통 부분이 있고 없는 부분도 생기는 이렇게 반만 걸쳐져 있는 형태로 그림을 그려줍니다 물론 a가 b에 속하고 b가 a에 속할 수는 있어요 그런데 그거는 우리가 이 조건들을 한번 따져서 보고이 조건들 체크를 해보고 어 a가 b에 속하네라는 결론이 나면 그때 그림을 다시 그려주는 겁니다 자 일단 우리 주어진 조건대로 원소를 한번 채워 넣어 볼게요 일단 교집합 b가 345라 그랬으니까요 여기에다 3 4 5를 써주면 되고요a 집합이 1 2 3 4 5죠 1 2 3 4인데 우리가 지금 3 4 5는 썼어요 그럼 1 2가 여기 있을 수밖에 없는 거죠 자 a 합집합 b의 원소는 1 2 3 4 5 6 7이에요 그런데 우리 지금 a에만 속한 원소 1 2랑 a 교집합 B3 4 5를 작성을 했죠 그럼 남는 원소 6하고 7이 여기 있어야만 하는 겁니다 따라서 우리 집합 b는요 이렇게 원소 날 법으로 3 4 5 6 7 이렇게 써주면 되겠네요

자 이번엔 합집합과 교집합의 성질인데요 우리가 한번 하나씩 체크를 해보도록 하겠습니다 일단 A 합집합 공집합이에요 자 우리 합집합이라는 기운은 a에 속해도 되고 공집합에 속해도 되는 원소들을 다 써주는 겁니다 여기에 속하거나 여기에 속하거나 근데 지금 공집합이란 거는 공집합의 원소가 없는 거죠 아무것도 없는 집합을 공집합이라고 하잖아요 그러면 여기 속하는 건 어차피 없으니까결국 그냥 a에 속하는 원소들이 a 합집합 공집합이 되는 거예요 그래서 이렇게 a와 같다로 나오고요 a 교집합 공집합이면 a에도 있으면서 공집합의도 있어야 되는데 애초에 공집합에 있는게 없으니까 교집합은 공집합으로 나오는 거죠 자 a 합집합 a는요 그냥 a와 a에 속하는데 아무 데나 속하면 돼요 근데 어차피 a라는 집합이 같으니까 그냥 a가 되는 것이고요 a 교집합 a는 어차피 a랑 a랑 지금 같은데 동시에 속해야 돼요 이것도 마찬가지로 그냥 a가 돼 버리겠죠 자 밑에 거는요 우리가 벤 다이어그램으로 한번 확인을 해 볼게요 요거 a 교집합 b는 a와 b의 공통 부분을 의미예요요 부분을 의미하고 있어요요 부분을 의미하고 있고 a라는 집합은 그냥 이렇게 돼 있죠 그러면 얘의 합집합 예예요 a 합집합 a 교집합 b인데 합집합이란 거는 둘 중 한 군데만속히면 되죠 그래서 그냥 a 합집합 b를 이렇게 그려놨을 때이 부분 이 부분에 해당하는 것이죠 그래서 그냥 a로 나오는 것이고요 a 교집합 a 합집합 b는요 a랑 교집합 a 합집합 b a 합집합 b인데 이렇게 그리면 안 되죠 이렇게 그리겠습니다 a b 여기 전체 영역 자 그랬을 때 교집합이면 여기에도 속해야 되고 여기에도 속해야 되니까요 우리는 공통 부분을 여기서 찾아 줄 수 있겠네요 요렇게 그래서 a로 나옵니다 자 우리가 요거는 암기하는 건 아니고요 우리가 각각 이해를 해서 문제 상황에 따라 그림을 그리거나 이렇게 합집합 교집합의 정의를 생각하면서 따져 주면 되겠습니다

자 이번엔 여집합과 차집합인데요 여집합과 차집합을 정의하기 이전에 우리가 전체 집합이란 것을 먼저 배우고 가도록 할 거예요 전체 집합이 뭐냐 우리는 가능한 모든 원소를 모두 포함한 걸 전체집합이라그래요 자 가능한 모든 원소를 포함하는 것 가능한 모든 원소를 포함 그래서 우리가 벤 다이어그램을 그릴 때 얘는 조금 다르게 그립니다 어떻게 다르게 그리냐 다른 거는 우리가 보통 동그라미로 그리는데 얘는 네모로 그립니다 그리고 보통 u라는 기호를 사용해서 우리가 전체집합을 표시를 하고요 이렇게 벤 다이어그램에 그려주면 됩니다 자 그럼 우리가 여집합이란 걸 배울 건데 여집합이 뭐냐 전체 집합유의 부분집합 a에 대하여 어떤 집합 a에 대하여 a에 속하지 않는 모든 원소예요 그러면 a라는 집합이 지금 제가 빨간색으로 색칠을 하면요 영역이죠요 영역이 a 영역인데 이거를 제외한 모든 영역인 거예요 그래서이 부분이 됩니다이 부분 a를 제외한이 부분이 되는 거예요 그럼 우리가 이걸 기호를 어떻게 쓰냐 a 위에 이렇게c를 써줘요 c를 기호로는 이렇게 표현을 해주고 조건 제시 복부로 표현을 해주자면 x가 u에는 속하고요 a에는 속하지 않는 모든 원소들을 말해요라고 하는 겁니다 자 이번엔 차집합인데요 차집합은 어떤 건지 한번 봅시다 두 집합 ab에 대하여 ae에는 속한데 b에는 속하지 않아요 an에 속하는데 bn에 속하지 않아요 그러면 그림상 어디로 표시되겠어요 그림상 요긴 겁니다 전광판으로 색칠을 해 볼게요 여기 우리가 여기를 차집합이라고 하고요 기호로는 어떻게 쓰냐 기호로는 이렇게 a 마이너스 b라고 씁니다 조건 제시법으로 표시하자면 an에 속하는데 b에는 속하지 않는 이런 애들을 자주 밥이라고 하고 a-b라고 써주는 거예요 자 그러면 우리가 넘어가서 여집합과 차집합 개념 예제 한번 풀어 볼 건데요 유라는 전체집합이 어떻게 정의되어 있어요 시비아의 자연수로 정의가 되어 있죠 그러면 1부터 10까지의 원소만가지고 우리가 고려를 해주겠다는 겁니다 자 a 교집합 b가 3이래요 그럼 우리 a랑 B 벤 다이어그램 그려놓고 한번 각 부분에 원소가 뭐 뭐 있는지 하나씩 채워볼게요 전체집합까지 그려주면요 이렇게 되고요 a 교집합 b가 3이니까 3은 어디 있는 거예요 여기 있어요 자 a 교집합 b의 여집합이래요 요게 되게 자주 나오는데 우리가 요거는요 한번 벤 다이얼거림 그려서 어딘지 한번 찾아봅시다 a 집합 B 집합이 있고요 a 집합은 여기를 의미해요 근데 우리가 찾는 건 이거랑 교집합을 찾는 거죠 비여집합과의 자 a가 이렇게 있고 b가 이렇게 있고 여집합이니까 전체집합까지 그래서 한번 표시를 해줘야겠네요 B 에어집합은 어디를 의미하는 거예요 요기를 의미하죠 요만큼 b를 제외한 모든 부분 여기를 나타냅니다 자 그러면 두 개의 공통 부분은 어디예요a에 있으면서 b의 여집합인 부분은 바로 여기가 되는 겁니다 a b가 있을 때 여기 그럼 우리가 요거 방금 뭐라고 배웠어요 자집합이라고 배웠죠 그래서 우리는 로고는 한번 제가 적어주고 갈게요 a - b와 a 교집합 b의 여집합은 같은 겁니다 우리가 저게 벤 다이어그램 상에서 어디 영역을 의미하는지도 알아야 되고요요 두 개를 서로 바꿔가며 계산할 수도 있어야 됩니다 정말 자주 나오는 시기니까 요거는 꼭 알고 가시길 바랍니다

자 다시 원래대로 돌아와서요 우리가 지금 147이래요 여기가 그러면 여기가 147이 되겠네요 자 a 합집합 b의 여집합은 뭐예요 a 합집합 b는 여기죠 전체집합이 있고 a가 있고 b가 있는데 a 합집합 b는 여기에요 여기인데 이거의 여집합이니까 이거 헤어집합은 여기를 말하는 거죠 거기에 있는원소가 5랑 8이래요 그럼 5랑 팔을 여기다 써주면 되겠네요 우리 12i자인 수라 그랬으니까요 원소 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 중에 아직 안 나오던 소 2랑 6이랑 9랑 12 아직 안 나왔어요 그러면 얘네를 여기 나머지 부분에 써주면 되겠네요 다른 데는 이미다고 려를 해 줬으니까 남은 부분에이 원소들을 채워주면 되는 겁니다 문제에서 구하라고 한 b-a는 어디를 말하는 거예요 제가 형광펜으로 색칠을 하면요 부분을 말하는 거죠이 부분에 있는 원소를 원소 나열법으로 표현해주면 답을 요렇게 써주면 되겠네요

자 다음으로 넘어가세요 개념뮤지 한번 더 풀어보도록 하겠습니다 자 전체집합 유해 두 부분집합 ab에 대하여 a가 b에 속한데요 그러면 벤 다이어그램 한번 그려 볼게요 a 집합 이렇게 있고 B 집합이 이렇게 있고 전체집합까지 이렇게 밖에 있습니다 자 이렇게 밖에 있는데 1번 보면 a랑 b랑 같대요항상 같은 건 아니죠 항상 같은 건 아니니까 틀렸습니다 b-a는 공집합인가요 b-a는 어디예요 b-a는 여기죠 여기 b인데 a를 제외한 부분요 부분이 b-a이기 때문에 얘는 지금 공지 밥이 아니에요 공집합이 될 때도 있겠지만 공집합은 아니라는 소리입니다 자 이번엔 a 교집합 b가 a냐고 물어봤어요 자 a와 b의 공통부분 어디예요 a와 b의 공통 부분을 생각해 보면 B 안에 지금 a가 들어가 있기 때문에 공통 부분은 바로 a 그 자체가 되는 겁니다 얘는 항상 오를 수밖에 없겠네요 a 합집합 b는요 지금 b가 a를 포함하고 있기 때문에 요거는 a라고 표현하는게 아니라 b라고 표현할 수 있겠고요 a 합집합 b의 여집합이 전체집합이냐고 물어봤고

자 이거 한번 색칠해 보겠습니다 a가 어디예요 a는 여기죠 b의 여집합은 어디예요 여기입니다여기 b를 제외한이 부분 우리가요 부분을 b의 여집합이라고 합니다 두 개 합쳐도 우리 전체집합을 채울 수 없죠 빈 부분이 하나 생겨요 여기 빈 부분이 생기기 때문에 답은 3번 골라 주시면 됩니다 자 마지막으로 우리가 여집합과 차집합의 성질까지 공부하고 이번 시간 마치도록 할 건데요 전체집합 이후에 두 부분집합 ab에 대하여 한번 얘네들을 벤 다이어그램에서 확인해 보도록 할게요 자 제가 먼저 유라는 전체집합 그릴 거고요 a라는 집합과 b라는 집합을 이렇게 그려 줄 겁니다 자 a 합집합 a 여집합이래요 그럼 색칠을 해 볼게요 제가 a를 노란색으로 색칠할 거고 a 여집합을 파란색으로 색칠하겠습니다 그러면 a는 여기죠 a는 여기고요 a 여집합은 어디예요 a를 제외한 부분 요렇게 된 부분을 모두 포함한 것이죠 여기를 모두 포함한 거를a 여집합이라고 표현을 해줍니다 자 그럼 두 개를 합집합했을 때 전체집합이 되나요 천체집합이 되죠 빈 부분이 안 생긴단 말이에요 그럼 이렇게 빈 부분이 안 생긴 걸 뭐라 하죠 전체집합유라고 하죠 따라서 얘는 성립을 하는 거고요 a 교집합 a 여집합도 고려를 해주면 a랑 a 여집합이랑 지금 공통 부분이 안 생겨요 a가 여기 있고 A 여집합이 여기 바깥쪽인데 안 생기기 때문에 공집합이라고 표현을 해주면 됩니다 자 밑으로 가서요 전체집합이 여집합이래요 전체집합의 여집합은 우리가 아무것도 포함하지 않는 공집합이 되는 거고요 아무것도 포함하지 않는 공집합이 여집합은 아무것도 포함하지 않았었는데 그거에 여집합이니까 모든 것을 포함한 전제집합 u가 됩니다 자 a야 집합의 여집합은요 여집합의 여집합이면 자 a 여지 팝은 어디예요 a 여지 팝은 여기죠 a의 집합은 여긴데 이거에 다시 여집합이니까 다시 원래대로a 집합으로 돌아오는 겁니다 그래서 요런 식기 성립을 하는 거구요 자 a어집합은 우리가 지금 빨간색으로 제가 빗금친 부분이 a의 여집합인데이 부분이 a의 여집합인데 요렇게도 표현할 수 있겠죠 전체집합 u에서 a를 뺀 a 부분을 제외한 자집합으로 계산을 할 수도 있겠네요

자 여기 지금 5번이 이제 정말 중요한 내용인데요 우리가 A 마이너스 b를 이렇게 표현하고 있습니다 자 아까 제가이 부분은 성립을 하는 걸 보여드렸어요 a-b와 a 교집합 b의 여집합이 같다라는 거 보여 드렸고요 여기 a - a 교집합 b를 생각을 해보면 a - b라는 집합은 요렇게 ab가 있을 때요 부분에 해당하는 부분을 우리가 A - b라고 하잖아요 자 그러면 a라는 집합에서 얘는 a라는 집합에서 어디를 빼면 되겠어요 공통 부분인 a 교집합 b를 빼줘도a - b가 되겠네요 그래서 이런식이 나온 거고 합집합 b a 합집합 b를 계산으로 했을 때는 b를 빼버리면이 노란 부분만 남을 것이고 비여집합 마이너스 a의 B 전체집합 육아 이렇게 있을 때요 b의 여집합이라 하면 여기죠 여기가 b의 여집합이고 a의 여집합은 어디예요 a의 여집합은 a를 제외한 부분입니다 그래서 이렇게 됩니다 그러면 b 여집합에서 a 여지 파 빼주면 마찬가지로 노란 부분만 나오는 거 우리가 눈으로 확인할 수 있네요요 부분만 남죠 자 여기까지 해서 우리가 오늘 여집합과 차집합을 배워봤습니다 우리가 이제 집합이 조금 복잡해지고 있죠 맨 처음에 배운 집합과는 다르게 조금 난이도가 올라가고 있으니까 꼭 복습해 주시길 바라겠습니다 오늘 강의는 여기까지고요 고생하셨습니다