[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 집합과 명제 - 집합의 연산 법칙

교집합도 마찬가지로 우리가 공통 부분을 찾아주는 거기 때문에 augp나 b교집합의나 똑같습니다 자 결합법칙은요 우리가 같은 연산 기호가 있을 때만 쓰는 건데요합집합이 2개가 연속해서 있을 때는 a 합집합 b를 생각하고 c를 합집합해주나 b와 c의 합집합을 먼저 찾아주고 a를 합집합해주나 똑같다는 말입니다 그게 교집합에서도 마찬가지로 교집합 교집합일 때 교집합 교집합일 때 성립을 해주는 거고요 분배 법칙이 이제 조금 헷갈리실 수 있어요 분배법칙이 조금 헷갈리실 수 있는데 자 a 합집합 b 교집합시에요 그럼 얘가 뭐랑 같냐 a 합집합 b랑 a 합집합 c를 교집합 해준 거랑 같은 거예요 자 요거랑 요거랑 교집합 해준 거랑 같습니다 a를 이렇게 분배해 주는 거죠 자 마찬가지로 a 교집합의 b 합집합 c면요 a 교집합을 b랑 한번 해주고 c랑 한번 해 준 거를 합해주면 됩니다 이렇게 요런 분배 법칙이 성립을 합니다 그러면 우리가 한번 개념 예제 바로 풀어보도록 하겠습니다 우리 지금전체집합유가 cbi라는 수를 정의가 되어 있어요 cbi 단수를 정의가 되어 있는데 뭐 a의 원소들도 좋고 b의 원소들도 줬어요 그럼 우리 이걸 일단 벤더역을 해 우리가 그려서 어디에 무슨 원소가 속하는지 우리가 표시를 해줄 수 있겠죠 에이 집합의 1 2 3 6이고 b 집합에는 2357이니까 a와 b의 동시에 속하는 원소는 뭐랑 뭐예요 2랑 3이죠 a에만 속하는 건 1과 6이고요 b에만 속하는 건 5랑 7입니다 그러면 여기 유집합 a와 b에 속하지 않으면서 전체집합에 속하는 원소들은 어떤 애들이 속하는 거예요 4 8 9 10 이렇게 4개가 있네요

자 그러면 우리가 구해야 되는 거를 지금 보면 어우식이 상당히 복잡해요식이 엄청 복잡한데 이럴 때 연산 법칙을 써서 조금 단순하게 바꿔주는 겁니다 자 한번 해 볼게요 자 얘는 뭐랑 같냐면요 일단은안에 있는 a 교집합 b 합집합요 a - b a와 b의 차집합을 우리가 이렇게 바꿀 수 있다는 것을 지난 시간에 배웠어요 a 교집합 b의 여집합 그리고 자 우리가 분배법칙을 지금 요렇게 분배법칙을 해주는 것만 배웠는데 거꾸로 갈 수 있는 겁니다 요렇게 된 거를 다시 원래대로 돌릴 수도 있는 거예요 자 그러면 그거를 참고해서 여기를 보면요 지금 a 교집합이 공통으로 들어가 있죠 에이 교집합이 공통으로 들어가 있으니까 얘를 어떻게 바꿀 수 있냐 a 교집합 그리고 B 합집합 비어집합 요렇게 써줄 수 있는 겁니다 요거 합집합이에요 자 그러면 비합집합 B 여집합은 비약집합 b여집합은 뭐랑 같아요 전체집합하고 같죠 전체집합하고 같으니까 얘를 이제 이렇게 바꿀 수 있겠네요 a교집합 전체집합 6 그리고 합집합 b라고요 자 그러면 a 교집합 u는 뭐예요 그냥 a죠 그리고 합집합 b입니다 그러면 우리가 구해야 되는 식은요 원래 이렇게 복잡했는데 연산 법칙을 통해서 이렇게 a 합집합 b로 간단하게 정리가 된 거예요 그러면 a 합집합 b의 원소들을 써주면 되겠죠 우리가 벤 다이어그램에서요 부분을 써주면 되겠네요 여기 a에도 속하고 b에도 속하는 a에 속하거나 b에 속하거나 자 그러면 저 원소들을 우리가 쭉 나열해 주면 1 2 3 5 6 7 이렇게 써 주시면 됩니다 자 다음으로 넘어가서요 우리가 개념 예제 한번 더 풀어볼게요 지금 요거를 구하라고 했어요 a 합집합의 b교집합 c역 그러면 우리가 이거 분배법칙 써서 조금 바꿀 수 있죠 분배법칙을 사용해서 바꿔주면 a 합집합 b 교집합a 합집합 c로 바꿀 수 있죠 a 합집합을 분배해준 겁니다 그러면 a 합집합 b는 문제에서 줬어요 뭐라고 줬어요 1 2 3 4 5라고 줬습니다 교집합 a 합집합 c는요 1 2 3 5점 그러면 교집합이니까 두 집합의 모두 들어가는 원소들을 작성해주면 1 2 3 5라고 작성해주면 되겠네요

자 이번에는 드모르간의 법칙입니다 우리가 연산법칙 중에 조금 특이한 법칙인데 요거를 어떻게 전개되는지 한번 봅시다 a합집합 b의 여집합은요 우리가이 여집합 기호를 여집합 기호를 a에도 달아주고 b에도 달아주는데요 그때이 앞집합이었던 기호가 교집합으로 바뀝니다 여기 있는 것도 마찬가지예요 여집합을 요렇게 달아주고 요렇게 달아주고 교집합이었던 기호를 합집합으로 바꿔주는 걸 우리드보르간의 법칙이라고 합니다 자 그러면 한번 개념 예제 풀면서 드물고 간의 법칙 한번 적용을 해보겠습니다 자 a-b의 여집합이에요 자 우리 a 마이너스 b는 이렇게 바꿀 수 있다고 했죠 a 교집합 b 헤어집합으로요 요거의 여집합 빼기 a 여집합 교집합 b의 여집합이죠 그러면 a 교집합 b여집합의 여집합인데 요게 지금 등으로 간의 법칙을 쓸 수 있는 겁니다 드물어간의 법칙을 써주면 a 여집합 합집합 b 여집합의 여집합이죠 b 여집합의 여집합은 뭐예요 다시 뒤로 돌아오죠 그래서 이렇게 됩니다 a 여지파 합집합 b 빼기 a 여집합 교집합 b의 여집합으로 정리가 돼요 자 그럼 여기서 좀 더 정리를 하고 싶은데 마땅히 정리할게 보이지 않아요 그럴 때는 그냥 여기서 마무리하고 우리가 벤 다이어그램을 통해서 마무리 해주면 됩니다 자a 여집합 합집합 b는요 a b 육아 이렇게 있을 때 어디인가요 자 a 여집합 먼저 색칠해 볼게요 a 여집합은 요만큼이죠 이렇게 a를 제외한 부분입니다 우리가 거기에다 지금 뭐까지 넣어야 돼요 합집합이니까 b까지 포함시켜야 됩니다 그럼 여기에다가 b도 포함을 시켜요 그러면요 부분입니다요 부분요 부분이고 a 여집합 교육집합 b 여집합은요 a의 여집합이면서 b의 여집합이어야 되죠 그럼 요거는 제가 이렇게 바꿀 수 있겠네요 드모르간의 법칙을 써서 다시 요거를 이렇게 바꿀 수 있어요 a 합집합 b의 여집합으로요 그러면 이렇게 되겠죠 a 합집합 b의 여집합이 나타내는 부분을 또 색칠해주면요 부분입니다이 부분 이렇게 된 부분 자 그러면 우리가 지금앞에 있는 집합에서 뒤에 있는 집합을 빼주죠 뒤에 있는 집합을 빼주면 우리가 결국은 어떤 집합이 되는 거예요

자 a가 이렇게 있고요 b가 이렇게 있는데 지금 빼버리면 여기밖에 안 남아요 여기만 남는 거죠 여기 남고 다른 거는 지금 다 빼니까 남는 거는 결국 b밖에 없습니다 따라서 우리는 요거를 간단히 정리하면 b라고 써주면 되는 거예요 자 우리가 여기까지 해서 연산법칙 배워 봤고요 우리가 집합의 연산 법칙은 당연히 연습이 필요한 단원이겠죠 우리 먹으러 간의 법칙 포함해서 교환 결합 분배법칙 열심히 연습해서 최대한 익숙하게 활용하는 그날까지 연습하시기 바라겠습니다 오늘 강의 여기까지고요 고생하셨습니다