[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 집합과 명제 - 집합의 원소의 개수

자 우리가 오늘 학습할 단어는 집합의 원소이겠습니다 우리가 어떤 원소의 기술을 셀 거냐 바로 합집합과 여집합과 차집합 얘네들의 원소개서 세는 법을 배울 거예요 첫 번째로 합집합의 원소의 개수예요

자 우리가 A 합집합 b의 지금 원소 개수를 셀 겁니다 a 합집합 b의 원소개수를 잴 건데 a라는 집합과 b라는 집합의 벤 다이어그램을 이렇게 그릴 수 있어요 그러면 저는 지금 a 앞집합 b의 원소 개수를 세우고 싶은데 일단은 a랑 b를 더합니다 a랑 b를 더하면요 a라는 집합은요 부분에 해당하고요 비가 지금 이렇게 있고 b라는 집합의 개수는 지금어디에 개수를 세준 거예요 여기의 개수를 세준 거죠 자 그러면 두 개를 더하는 걸로 끝내면 안 됩니다 왜냐하면 우리가 세고 싶은 건요 영역인데이 영역인데 지금이 가운데 있는 영역 a 교집합 b를 두 번 계산했어요 우리는 몇 번만 세야 돼요 한 번만 세야 돼요이 영역을 세기 위해서는 한 번만 세 줘야 되는데 a를 더할 때도 한번 세고 b를 더할 때도 한번 세서 두 번이나 센 겁니다 그래서 a 교집합 b의 개수를 한번 빼줘야 우리가 A 합집합 b의 원소 개수를 정확하게 구할 수 있는 겁니다 자 그 중에서 만약에 a 교집합 b가 공집합이면 어떻게 되겠어요 그냥 A 교집합 b의 원소개수가 0이니까 A 합집합 b의 원소개수는 a의 원소개수 더하기 b의 원소 개수와 일치하는 겁니다

자 그러면 우리가 두 개인 경우는 조금 그래도 복잡하지 않아서 이해가 금방 가실텐데 지금 밑에 있는 집합이 3개인 경우도 한번 따져보겠습니다 일단은 a 합집합 b 앞집합 c는요이 영역을 말하는 거예요 a b c이 영역을 말하는 건데 만약에 NA + NB + nc를 하면요 일단 A 집합 B 집합 시집합을 한 번씩 더해준 거죠 베이지 팝 B 집합을 한 번씩 더해준 거예요 에이즈팝 B 집합 c 집합을 자 a 집합은 여기고요 비집합은 어디예요 a b c가 있을 때 B 집합은 여기입니다 그리고 시즈팝은 어디예요 a b c 했을 때 여기입니다 자 그러면 아까와 같이 한 가지로 겹치는 부분이 생기니까 우리가 어떻게 해주는 거예요 접지는 부분을 일단 한번씩 빼줍니다 자 이거 왜 빼주는 거예요 지금 여기 a 영역에서 그리고 b영역에서 어디를 두 번 셌어요 여기a와 b의 교집합 a와 b의 교집합을 두 번씩 센 겁니다 그래서 하나씩 빼 줘요 a 교집합 b a b c에서 a 교집합 b의 영역 바로 여기를 한번 빼주는 거예요 그리고 비교 집합 c도 빼 줄 거고요 마찬가지로 같은 이유로 빼주는 거죠 b와 c의 교집합은 한 번만 세어야 되는데 두 번이나 됐어요 그리고 모두 빼줘요 C 교집합 a의 영역도 빼줍니다 그건 어디예요 여기에요 자 그럼 빼주고 나니 이젠 어디가 문제냐이 가운데 영역 a에 속하면서 세 번 샜고 지금 여기서 한번 뺐죠 여기서도 한번 뺐어요 여기서도 한번 뺐습니다 그럼 몇 번 뺀 거예요 세번 뺐어요 한번 해야 되는데 세 번 더 하고 세 번 뺐으니까 한 번도 안 샌 거죠 그래서 우리가 a와 b와 c가 모두 지나는이 영역 a와 b와 c가 모두 가지고 있는이 영역이 영역을 한번 더 해줘야 되는 겁니다 이거를 식으로 표현하면 요런식이 되겠죠 na+mb + NC 마이너스 NA 교집합 b n 비교집합시 - n 시그집합 a + a 교집합 b교집합 c의 원소 개수 이렇게 해서 우리가 합집합 원소 개수를 셀 수가 있습니다

자 활용해서 개념 예제 풀어보도록 할게요 50명의 학생을 대상으로 50명의 학생을 대상으로 수학과 영어에 대한 선호도 조사를 한 결과 수학을 선호하는 학생 35명 영어를 선호하는 학생 25명 수학과 영어를 모두 선호하지 않는 학생 5명이래요 자 그러면 제가 이거를 마찬가지로 벤 다이어그램으로 표현을 해 줄 건데 지금 수학 좋아하는 학생을 m이라고 할 거고요 영어 좋아하는 학생을2라고 할 겁니다 그러면 에이미 이렇게 있고 2가 이렇게 있어요 그랬을 때 수학과 영어를 모두 선호하지 않는 학생 애매해도 속하지 않고 이해도 속하지 않는 학생이 5명이래요 여기가 5명 있죠 그럼 문제에서 뭐를 알려주고 있는 거예요 m과 e의 합집합 원소 개수가 전체 50명인데 5명은 둘 다 안 좋아하니까 50 마이너스고 여기가 45명인 겁니다 자 수학을 선호하는 학생 집합 m의 원소개수는 35고요 영어를 선호하는 학생 집합 2의 원소개수는 25입니다 자 이러면 우리가 지금 구하는 건 수학과 영어를 모두 선호하는 학생 즉 m과 2 동시에 속하는 바로이 교집합을 찾는 겁니다 그래서 우리는 아까 배운 시 m 합집합 2의 원소 개수는 nm+n이 -n에 m 교집합이죠 그때 얘가 45고 m이 35고 2가 25죠 그럼 우리가 여기서 m 교집합 2의 원소 개수를 구할 수 있는 겁니다 답은 15가 되겠네요

자 다음으로 넘어가도록 하겠습니다 자 이번엔 여집합과 차집합의 원소개수구요 우리가 요런 식을 배운 적이 있죠 a 여집합은 전체집합 이후에서 a 집합을 빼주면 된다 근데 요거는 개수도 마찬가지인 거예요 a 여집합의 개수 요거는 전체집합 원소개수에서 a 집합 원소개수 빼주면요 a 여집합의 원소개수가 나오는 겁니다 자 요것도 마찬가지예요 우리가 A 마이너스 b라는 식을 요렇게도 변형을 할 수 있다고 배웠어요 a에서 a 교집합 b를 뺀 거와도 같고요 a 합집합 b에서 b를 뺀 거와도 같아요라고 배웠습니다 자그러면 어차피 뺀게 똑같으니까 개수도 똑같다이 말이에요 요렇게 요렇게 요렇게 몇 가지 되셨나요 자 여기 밑에 있는 조금 특수한 경우 한번 볼게요 b가 a에 속한다 그 랬어요 b가 a에 속하면 벤 다이어그램이 어떻게 그려져요 A 안에 b가 이렇게 들어가 있습니다 그러면 a 교집합 b가 어차피 b랑 같죠 여기가 그냥 교집합 그 자체가 되는 거잖아요 그랬을 때 a에서 b를 뺀 원소의 개수는 여기 말하는 거죠 요기 원소의 개수는 우리 A1 소개수에서 B1 소개수 뺀 거와 같죠 여기서 그냥 b가 포함되니까 교집합이 b와 같아서 p를 빼버리면 됩니다

자 요거 우리 관련된 개념 예제 풀고 이번 시간 마치도록 하겠습니다 40명의 영화 덩어리가 있는데요 우리가 a를 관람한 학생은 아 학생이 아니라 사람이죠 사람은 24명 영화를 AB 모두 관람하지 않은 사람은 11명이래요그러면 우리 전체 집합을 유라고 놨을 때 u에 속하는 사람은 40명입니다 40명이고 a 집합 B 집합이 있을 때 a랑 b를 모두 관람하지 않은 사람은 11명이니 여기가 그러면 이겠네요 그러면 a와 b를 합쳤을 때 즉 a 합집합 b의 원소 개수는 몇이 되는 거예요 40명에서 12를 뺀 29명이 되는 겁니다 그런데 우리가 a를 관람한 사람 수는 24명이니까 문제에서 구하라고 한 비만 관람한 사람 수 여기 요기 사람 수는 그럼 어떻게 계산해 주면 돼요 우리는 a 합집합 b에서 a를 뺀 영역과 같으니까 어차피 개수를 구할 때도 똑같다 똑같아서 이렇게 빼주면 되니까 29 - 24에 의해서 우리는5명이란 거 구할 수 있습니다 자 여기까지 해서 우리가 집합 단원 모두 마무리 했고요 우리 그래도 집합이란 단원이 모두 끝났으니까 집합에 관한 전체적인 복습을 한번 하고 뒤로 넘어가시길 바랍니다 자 오늘 공부는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다