[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 집합과 명제 - 명제와 조건의 뜻

자 오늘 우리가 학습할 내용은 영재와 조건의 뜻입니다 우리가 이제 명제 단원을 처음 배우는 날인데 우리가 이쪽 단원에서 쓰게 될 이제 명제나 조건 그리고 진리집합 요런 용어들을 처음 배우고 정의하게 됩니다 그래서 각 개념들을 우리가 꼼꼼하고 구분 잘 지어서 자 학습을 하셔야 되고요 일단은 그러면 영재가 뭔지부터 한번 배워보도록 하겠습니다 자 명제는 참인지 거짓인지를 명확하게 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제라 그래요 자 포인트는 요겁니다 참인지 거짓인지를 우리가 분명하게 파악을 할 수 있어야 돼요 그러고 우리가 이제 소문자 p qr로 요걸 이제 나타내게 될 건데 이제 또 포인트가 거짓이 문장도 명제입니다 거짓인 문장이나 식도 명제인 거예요 꼭 거짓이라고 명제가 아닌게 아닙니다 우리는참거짓을 판단할 수만 있으면 이거를 명제라고 하는 거예요

자 그럼 여기 몇 가지 예시 한번 보겠습니다 부등식 2+3은 1보다 크다 요거는 참인 명제죠 우리가 2+3은 5호 5가 1보다 크거나 작은지 우리가 누구나 명확하게 구분을 지을 수 있잖아요 그렇기 때문에 얘는 참인 명제인 거예요 자 루트 3은 유리수이다요 자 우리가 루트 3이 유리수인지 무리수인지 분명하게 판단을 할 수가 있습니다 이런 건 명제예요 명제 중에서도 우리 루트 3은 무리수니까 거짓인 명제다라고 하는 것이죠 자요 밑에 거 한번 볼게요 수학책 좀 사올래 자 요거는 참거짓을 어떻게 판단할 수 있는 문장이 아니죠 이런 거를 우리가 명제라고 하지 않고요 자 방정식은요 x제곱 마이너스 3x - 4는 0이래요 그럼 우리가 요거는 명제 같이 생겼어요 뭔가 명제 같은 느낌이 있는데 엑셀 값에 따라 참가 거짓이 달라지잖아요그러니까 항상 참거짓을 판단할 수 있는 문장이 아닌 거예요 x값을 정해져야 예를 들어 x는 3일 때 뭐 이런 문장이 들어가면 되겠죠 x는 3일 때 요거 요거 2다 그러면 우리가 얘가 이제 그때서야 비로소 참인지 거짓인지를 판단할 수 있는 겁니다 하지만 아직은 이런 문장이 없기 때문에 그냥 방정식만 있기 때문에 얘는 명제가 아닌 것이죠 자 그러면 우리가 이번에 명제 부정을 배울 건데요 명제의 부정은 뭐냐 명제피에 대하여 피가 아니다요 피가 아니다를 우리가 명제의 부정이라고 합니다 b가 아니다를 명제의 부정이라고 하는 거예요 자 예를 들어 요런 명제를 제가 드릴게요 어떤 명제 6은 3의 배수이다 이런 명제가 있어요 자 얘는 확실하게 참가 거짓을 판단할 수 있으니까 일단 명제입니다 그리고 제가이 명제를 p라고 할게요 아까 명제는 소문자로 많이 쓴다고 그랬죠 자 그러면 얘는 지금 참인명제예요 6은 3의 배수가 맞죠 3인명제입니다 참 자 그런데 명제 부정이 뭐냐 이거의 반대입니다 반대 요거와 반대되는이 명제는 뭐라 그러냐 6은 3의 배수가 아니다 요런 명제가 우리 명제 p의 부정이라고 하는 거예요 자 요거는 기호로는 어떻게 쓰냐 B 앞에 이렇게 물결표지를 하나 넣어줍니다 읽을 때는 이제 납피라고 있습니다 납피 납피라고 있고요 6은 3의 배수가 아니다가 6은 3의 배수의 부정이고 우리가 요렇게 됐을 때는 얘는 지금 참이에요 거짓이에요 원래 6은 3을 배수인데 3의 배수가 아니라 그랬으니까 요거는 이제 거짓인 명제가 되는 겁니다 거짓 명제가 됐고요 우리가 요런 것도 알 수 있어요 비가 참이면우리 금형제 피해 부정 낫비는 거짓이고요 반대로 원래 명제 피가 거짓이었으면 nopp는 이제 반대되는 경우니까 참이 되는 겁니다

자 그리고 하나 더 우리가 어떤 명제에 부정 나피의 부정은 낮 낮 피죠 이렇게 부정의 부정을 다시 원래대로 돌아옵니다 p인 거예요 그래서 요렇게 요렇게도 쓸 수 있겠죠 자 우리가 이번엔 조건을 배워 볼 건데요 조건은 뭐냐 아까 명제 같은 거에 어떤 변수가 포함된 거예요 변수가 포함된 겁니다 자 제가 예시로 들었던 p라는 명제가 6은 3의 배수이다라는 것을 예시로 들었었어요 자 얘는 명제예요 명제 그런데 조건은이 명제 안에 문자가 들어간 거예요 그래서x는 3회 배수이다 이렇게 쓸 수 있겠죠 얘를 우리가 조건이라고 합니다 조건 자체는 우리가 아직 참과 거짓을 판단하지는 못해요 판단하지 못하는데 x값의 어떤게 들어가면 들어가면 그때 참과 거짓을 판단할 수 있죠 요런 거를 조건이라고 하고요 우리가 명제는 p라 썼잖아요 근데 여기는 문자가 들어갔으니까 그 문자에 따라 변한다는 의미로 이렇게 PX라고 쓸 수도 있고요 우리가 그냥 생략하고 p라고 쓰는 경우도 많습니다 자 일반적으로 그래서 조건하고 명제는 달라요 조건하고 명제는 다르고 우리가 조건은 문자가 들어가서 문자가 들어갔을 때 문자가 어떤 값을 가질 때 참과 거짓을 판단할 수 있으면 그건 바로 조건입니다 자 우리가 이번엔 그럼 진리 집합을 배워 볼 건데요 제가 아까 계속 예시로 들고 있는 pxp라고 쓸 수도 있겠죠 이 조건x는 3의 배수이다 그러면 얘가 3이 될 수도 있고 거짓이 될 수도 있어요 x값에 따라서 그런데 그 x 값이 뭐일 때 얘가 지금 3이 돼요 3일 때 참이고 6일 때도 참이고 9 12 이런 애들일 때 우리가이 조건 px가 참이 되는 거죠 그러면 이렇게 참이 되는 애들을 모아서 우리가 집합으로 만들어 버립니다 밥으로 만들면 이렇게 대문자 p를 쓰고요 이렇게 원소 나열법으로 표시할 수 있겠죠 이렇게 조건이 참이 되게 하는 x값들을 모아서 그거를 집합으로 모아 준게 진리 집합입니다 진리 집합 잠이 되게 하는 애들을 모아서 진리 집합이라고 하고요 조건 pqr 즉 소문자 pqr에 대한 진리 집합은요 각각의 대문자 pqr이라는 집합으로 표시를 해주는 경우가 많습니다 내 밑에 것도 보면 특별한 언급이 없으면 전체 집합은 전체집합은실수 전체의 집합으로 생각한다는 것도 알고 가시면 되고요

자 이번엔 조건의 부정입니다 조건의 부정인데 우리가 아까 명제의 부정을 배웠죠 조건의 부정도 크게 다르지 않습니다 자 어떤 p가 아니다라는 조건을 똑같이 납피라는 기호로 쓰고요 우리가 요거에서 신경 써야 될 건 진리집합이에요 진리 집합 자 어떤 조건 p가 어떤 조건 p가 진리 집합 대문자 p를 가진다고 해봅시다 그러면 벤 다이어그램 상에서는요 영역을 가지겠죠 요령을요 영역을 가질 거예요 그러면이 조건 p에 부정 나피는 과연 어떤 진리 집합을 가질까요 자 p의 정반대죠 우리가이 진리집합 p의 정반대의 경우를 가지니까 우리가 p의 여집합을 진리 집합으로 가는 겁니다 자 어떤 조건 p에 부정은 납치라고 쓰고요납피에 진리지파 납기에 진리 집합은 p의 여집합입니다 요거를 아시면 됩니다 자 마찬가지로 납부정을 두 번 해주면 이렇게 낮 피해 부정은 바로 원래대로 피와 돌아오는 거 우리가 명제와 동일하게 적용이 됩니다 자 넘어가세요 우리가 조건의 부정 개념 예제 한번 보도록 할 건데요 어떤 전체집합이 지금 1부터 10까지 이렇게 자연수가 적혀 있네요 자 정의된 조건은 뭐냐 p는 6의 약수이다래요 그러면 우리가 p는 6의 약수다 요거의 진리 집합을 먼저 구해볼게요 그러면 요거를 만족하는 숫자들은 뭐 뭐예요 1 2 3 6 얘네들이죠 자 그러면 notp의 진리 집합은요 나 피해 진리 집합은 p의 여집합과 같다 그랬죠 그러면 전체 집합 중에 1 2 3 6을 제외한4 5 7 8 9 10 이렇게 되겠네요 자 여기까지 되셨나요 그럼 우리가 넘어가서 이번에 조건 p 또는 Q 그리고 p 그리고 Q이 내용을 한번 배워볼게요 자 조금 피 또는 q는요 이게 이제 무슨 의미냐 p에 속해도 되고 q에 속해도 된단 말이에요 피에 속해도 되고 추에 속해도 된다는 말 우리가 집합상에서는 어떻게 배운 거예요 합집합의 개념이죠 그렇기 때문에 진리 집합도 마찬가지로 앞집합이 되는 거예요 자 피 그리고 q예요 p 그리고 q면 속하고 qa도 속해야 되는 거죠이 원소가 ca도 있고 q이도 있어야 된다 진리 집합 상에서는 어디인 거예요 교집합인 것이죠 교집합

자 이번엔 피 또는 q의 부정입니다 그러면 어떻게 되는 거예요 피 또는 q가 의미하는게 원래 p 합집합 q였는데 우리가 부정은 여집합이라 그랬죠 그럼 여집합은p의 여집합 교집합 q의 여집합이라고 우리가 드모르간의 법칙을 써서 연산을 할 수가 있어요 그러면 요거를 다시 조건식으로 바꿔주면 어떻게 되는 거예요 notp고 낮춘데 교집합이니까 그리고가 되는 겁니다 나피 그리고 낮추 자 이번엔 p 그리고 q예요 p 그리고 q는 원래 뭘 의미하는 거예요 질리즈 팝 피교집합 q를 의미합니다 그런데 그거의 부정이면 이거에 여집합이 되는 것이죠 그러면 b의 여집합 합집합 주의 여집합이고요 우리가 마찬가지로 요거를 b 여집합에 조건은 낮 비고 주 여집합의 조건은 낮추고 합집합이니까 또는으로 연결을 해주는 겁니다 자 우리가 명제 p 화살표 q로 되어 있네요 자 이거는 우리가 이제 어떻게 읽을 거냐면요 p면 q이다로 읽을 겁니다 p이면 q이다 그래서앞에 있는 거는 앞에 있는 거는 가정이라고 하고요 뒤에 있는 거는 결론이라고 할 거예요 자 어떻게 보면 어떤 조건 두 개를 합쳐 놓은 거죠 조커 두 개를 합쳐 놓은 건데 자요 명제 예시를 한번 봅시다 x는 2이면 x²-x-2는 0이다라고 써 있어요 그러면 x는 2라는게 우리가 지금 가정이고요 요렇게 가정을 했을 때이 결론이 맞냐 틀리냐를 확인을 해서 참고짓을 판단해 줄 겁니다 그렇게 참거짓을 판단해 줄 건데 자 여기 한번 봅시다 자 p이면 q이다라는 명제가 있다고 해봅시다 p이면 q이다라는 명제가 있는데 우리가 p를 만족시키는 키를 만족시키는 진리집합이 있을 거고요 q를 만족시키는 진리 집합도 있을 겁니다

자 그러면 b이면 q이다라는 명제를 참이 되게 하는 애들을 찾아볼 거예요참이 되게 하는 애들을 찾아볼 건데 얘가 참이 되려면 우리가 지금 b가 성립할 때는 추가 모두 성립해야 되는 거죠 그러면 진리집합 p에 있는 애들은 다 큐에 들어가야 있어야 된다는 말과 똑같은 말인 거예요 자 다시 한번 설명드릴게요 p이면 q이다라는 말은 p가 성립할 때 q가 성립한다는 얘기고 p를 성립시키는 애들은 q를 모두 성립시켜야 되니까 p를 성립시키는 진리 집합에 들어있는 애들은 모두 q라는 진리집합 안에 들어가 있어야 되는 겁니다 그러면 요런 포함 관계가 생기는 거예요 진리 집합 p가 진리 집합 Q 안에 들어가야이 피면 q이다가 성립을 하는 겁니다 그래서 이렇게 설명되고 있어요 p가 q에 속하면 명제의 p이면 q이다는 참이다 거꾸로 명제 피이면 q이다가 참이면 진리 집합 p는 주 안에 속한다는말과도 같습니다 자 그러면 반대로 우리가 p가 지금 q에 속하지 않으면요 우리가 벤 다이어그램이 이렇게 그려지겠죠 b라는 집합 q라는 집합이 이렇게 있는데 전체 집합도 있고요 여기에 지금 원소가 있는 겁니다 여기에 만약에 원소가 있어요 그러면이 원소를 x라고 했을 때 여기에 속하는 원소를 x라고 했을 때 x라는 애는 얘를 지금 만족을 시켜요 얘를 만족을 시키는데 얘를 만족을 안 시키는 거예요 그러면 피면 q이다에서 p가 성립하면 q가 다 성립한다고 말하고 있는게 피면 q이다인데 얘를 만족시키는데 지금 예를 만족시키지 않는 x라는 애가 존재하니까 p면 q이다가 거짓이 되는 겁니다 그래서 우리는 피면 q이다가 거짓임을 보일 때에는 여기에 존재하는이 원소 x를 하나만 찾아도 하나만 찾아도얘가 거짓인 명제가 되는 거예요 자 그러면 우리가 요걸 한번 볼게요 유계약수이면 12 약수이다라고 그랬어요 유계약수에는 뭐가 있죠 유계약수에는 1 2 3 6이 있습니다 요게 지금 진리 집합인 거예요 12학수는 뭐가 있죠 1 2 3 4 6 12가 있습니다 자 그러면 포함 관계가 어떻게 돼요 보험금기가 이렇게 되죠 그러면 우리가 지금 유계약수를 만족시키는 모든 진리집합의 원도들은 12의 약수를 만족시키는 진리집합의 모두 속하죠 그렇기 때문에 얘는 바로 참인 것입니다 여기에 속하면 모든 애들이 여기에도 속하죠

자 이번엔요 문제를 풀어볼게요 x+y가 무리수래요 그런데 xy가 모두 무리수인게 참인지 거짓인지를 판별하래요그러면 제가 아까 요런 말씀을 드렸죠 우리가 얘가 거짓인 것을 증명하기 위해서는 p는 만족을 하는데 q를 만족하지 않는이 영역에 있는 원소 하나만 찾으면 된다 그랬어요 그러면 저는 요거를 만족하는 원소 x는 -1 플러스 루트 3이고 y는 1이라는 원소를 예시로 한번 들어볼게요 그러면 x+y는 루트 3입니다 그러면 얘는 지금 무리수예요 무리수라 예를 지금 만족을 합니다 얘를 만족을 하는데 얘를 지금 만족하나요 지금 y는 유리수예요 y는 유리수라서 얘 만족을 안 하는 거예요 그러면 p라는 거는 만족하는데 툴을 만족하지 않은 우린 발레를 찾은 겁니다 발레를 찾아서 우리는 이거를 이제 거짓이라고 할 수 있는 거죠 자 여기까지 해서 우리가 오늘 조건명제 진리지파로 내용들을 배워봤습니다요 내용들이 상당히 헷갈릴 수 있는 내용이에요 뭐 예를 들면 피면 q이다 요게 지금 뭐가 성립할 때 뭐가 성립해야 되는지 이런 거를 꼼꼼하게 공부를 하셔야 돼요 우리가 뒤로 가면 갈수록 헷갈리는 내용들이 정말 많이 나옵니다 그러니까 복습 꼭 꼼꼼하게 하시고 구분 잘 하시면서 예제도 많이 풀어 보시길 부탁드립니다 자 오늘 강의는 여기까지고요 다음 시간에 또이어서 학습해 보도록 하겠습니다 감사합니다