[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 집합과 명제 - '모든' 또는 '어떤'이 있는 명제

자 이번 시간은 모든 또는 어떤이 있는 명제에 대해서 학습을 할 겁니다이 모든이라는 의미와 어떤이라는 단어의 의미를 우리가 명확하게 이해를 해야 되는데요 일단은 한번 여기를 보면 조금 복잡하게 되어 있어요 오디넥스에 대하여 p이다 어떤 x에 대하여 p이다 그래서 이렇게 참 거짓 공지밥이 아니면 참 공지밥이면 거짓 요런 식으로 설명이 되어 있는데 제가 예시를 좀 하나씩 들어 드릴게요 자 만약에 모든 x에 대하여 모든 x에 대하여 요런 식이라고 해봅시다 x가 1보다 크거나 같다 요거 이따가 참인지 거짓인지 판별을 해 볼게요 자 모든 x에 대하여란 말은 x값에다 뭘 집어넣어도 성립을 해야 참인 겁니다 x값의 아무거나 집어넣어도 항상 참여해야 돼요 항상 그러면 우리가 지금 x는 1 이상이라는 거는 말 그대로 x가 2 3 4 뭐 1까지 되겠죠 이렇게 1 이상인 애들일 때만 참인 거잖아요 그러면 얘는 항상 참이어야 되는데 요거일 때만 참이니까 거짓입니다 거짓 그러면 참인 건 어떤게 있느냐 이런 거예요 모든 x에 대하여 모든 x에 대하여 x 제곱이 -1보다 크거나 같다 자 우리가 어떤 걸 제곱해서 양수가 됩니다 항상 0 또는 양수가 돼요 그러면 -1보다 크거나 같다는 건 얘는 어차피 항상 성립하는 예란 말이죠 모든 x에 대하여 얘가 항상 성립을 하죠 항상 성립을 하니까 요런 경우에 우리가요런 경우에 참이라고 하는 겁니다

자 그러면 이번엔 어떤 x에 대하여 예시를 한번 들어볼게요 어떤 x에 대하여란 말은 예시를 x가 1보다 작거나 같다로 들어볼게요 자 요렇게 말하면 어떤 x라는 건 성립하는게 하나만 있으면 돼요 한 개만 있으면 한 개만 있으면 상관이 없습니다 이게만 있으면 오케이 자 어떤 x에 대하여 x가 1 이하라는 거는 우리가 요거는 참이에요 참 x가 1 이하는 거는 꽤 많이 존재하죠 숫자들이 많기 때문에 요런 거는 참이에요 하나만 있으면 되는 겁니다 어떤이라는 것은 자 이번엔 똑같이 어떤 x에 대하여인데 어떤 x에 대하여 x 제곱이 -1보다 작다래요 그러면 하나만 있으면 얘는 참이라고할 수 있는 앤데 x제곱인 -1보다 작은 건 단 하나도 없기 때문에 단 하나도 없기 때문에 얘는 우리가 거짓이라고 할 수 있는 겁니다 거짓이라고 할 수 있는 거예요 그럼 만약에 얘가 이렇게 돼 있어요 0이하다 그럼 얘는 참이에요 거짓이에요 우리 x 제곱이 0 이하인 거는 x가 0이라는 딱 하나가 존재하죠 그러면 그런 경우에는 참이라고 할 수 있는 거예요 자 그런 경우에 참이라고 할 수 있지만 이렇게 -1보다 작다는 단 하나도 만족을 하지 않기 때문에 얘는 거짓이 되는 거예요 자 그러면 요 말을 한번 보겠습니다 모든 x에 대하여 p이다 요거의 부정을 볼 거예요 자 그러면 이것도 예시를 한번 들어볼게요 자 a라는 학생과 b라는 학생이 있는데 남자일 수도 있고 여자일 수도 있어요 그러면 얘가 남자고 얘도 남자고 또는얘는 여자고 얘는 남자고 얘는 남자고 얘는 여자고 둘 다 여자인 경우 요렇게네 가지의 케이스가 있을 거예요 그러면 만약에 이렇게 했어요 모든 학생은 남자다 모든 학생은 남자라 그랬으면 요거에 해당하는 경우는 원래 요거였죠 근데 이거에 만약 부정을 물었어요 부정을 물었으면 우리가 남자이고 남자였던 그 케이스를 제외한이 나머지 케이스를 만들어야 됩니다 그러면 모든 학생이 남자다이 부정은 모든 학생이 여자다가 되는 것이 아니라 한 명만 여자면 되죠 둘 중에 한 명만 여자면 되는 겁니다 그래서 어떤 학생은 여자다 요게 올바른 수정입니다 모든 학생은 남자의 부정은 어떤 학생은 여자다예요 그러면어떤 학생은 어떤 학생은 여자다라는 명제가 있었어요 그러면 요거의 부정은요 요거의 부정은 뭘까요 요거는 모든 학생은 남자다가 되는 겁니다 모든 학생은 남자다 그러면 여러분이 어떤 거를 아셨으면 좋겠냐면 우리가 남자라 그래서 그거에 부정은 여자다로 바뀌는 거는 쉽게 느낄 수 있어요 모든 학생은 남자다의 부정은 일단 남자가 여자로 바뀌어야 되는 거는 쉽게 느껴지는데이 모든 학생이라는이 모든 의미도 부정이 되어야 되기 때문에 어떤으로 바뀌어야 됩니다 자 어떤 학생에서 어떤 노 모드로 바뀌어야 돼요 이렇게 끝에 있는 남자 여자만 바꿔주는 것이 아니라 모든 걸 부정에 의해서 바뀐다는 점 그 점을 아셔야 됩니다

자 개념 예제 보겠습니다 전체집합은 1 2 3 4 5라는숫자인데요 어떤 x에 대하여 x제곱 마이너스 4x가 0보다 크다의 부정을 말하래요 자 부정을 말할 때는 제가 일단 뒤에 있는 거는 쉽게 바꿀 수 있어요 x 제곱 마이너스 4x가 원래 0보다 컸는데 이거의 부정은 0보다 작거나 같은 겁니다 그런데 어떤 x도 바뀌어서 모든 x에 대하여 x 제곱이 - x² - 4x가 0보다 작거나 같다 요게 부정이 되고요 요거에 참고 시술 판단할 건데 참일까요 거짓일까요 얘는 거짓이죠 자 요거를 만족하는 진리 집합은 1 2 3 4가 됩니다 그런데 문제에서 모든 x에 대해 성립을 해야 된다고 했는데 지금 5까지 포함을 하면 참이었을 텐데 x는 5에 대해서 얘는 성립을 하지 않기 때문에 얘는 거짓인 명제가 되는 겁니다 자 오늘은 그렇게 해서 모든과어떤에 대해 의미를 배워봤습니다이 모든 걸 어떤 모든일 때는 모두 성립해야 된다 어떤이면 하나는 성립해야 된다 개념을 꼭 이해하셨으면 좋겠고요 우리가 이번 시간은 여기서 마치도록 하겠습니다 감사합니다