[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 집합과 명제 - 충분조건과 필요조건

자 이번 시간에는 충분조건과 피로 조건에 대해 배울 건데요 우리가이 충분조건이란 용어랑 필요조건이랑 용어랑 상당히 헷갈립니다 언제 충분히고 언제가 필요한지 헷갈리니까 우리가 요거는 따로 복습을 계속하면서 충분조건과 필요조건 구분하는 법을 익숙해 줘야 됩니다

자 일단은 그러면 충분조건 필요조건 뭔지 배워 볼 건데요 우리가 명제 피면 q이다라는 명제가 있어요 얘가 참이면 2p면 충이다가 참이면 우리는 요렇게 표현합니다 기호로 참이면 화살표가 작대기가 두 개가 되는 화살표가 되는 거예요 이렇게 나타내고 얘를 p는 q이기 위한 충분조건이라고 표현을 해줘요 중분조건 그러니까 얘가 참인 거랑 이렇게 기호로 쓰는 거랑 충분조건인 거랑 다 똑같습니다 자그러면 우리가 여기서 진리집합으로도 할 수 있겠죠 우리가 피해질리집합이 조건 qa 진리 집합을 추락을 했을 때 얘가 참이라면 요렇게 포함 관계가 성립을 해야 되잖아요 그러면 진리 집합이 요런 포함 관계가 성립할 때 마찬가지로 충분조건이라고 합니다 자 그리고 거꾸로요 q는 p이기 위한 필요조건이다라고도 표현할 수 있어요 지금 얘가 참인 거랑 비각주에 속하는 거랑 이렇게 표현하는 거랑 얘가 충분조건 얘가 필요조건이라고 하는 거 다 똑같은 말입니다 자 그러면요 피로 충분조건이란 말도 있어요 얘는 필요조건이면서 충분조건인 거예요 자 그게 무슨 말이냐 우리가 명제 피면 q에 대해서 자 p가 q이면 지금 p가 q이면 얘가 3이라는 거예요 요거는 요게 참이라는 거고 자 여기는 지금 바뀌었죠 그러면 뭐예요 얘는 여기 참인 겁니다 역 주위면p이다가 3인 거예요 원래 명제도 참이고 역도 참일 때 우리는 그거를 b와 q가 p로 충분조건이다라고 표현을 할 수 있는 거예요 화살표로는 요렇게 표현할 수 있고요 양방향의 화살표가 다 있죠 이렇게 표현할 수 있고 p로 충분조건이다라고 표현을 하고요 우리가 얘도 집합으로 표현을 할 수가 있는데요 우리가 얘가 참이기 위해서는 b가 q에 속해야 되고요 얘가 참이기 위해서 q가 p에 속해야 돼요 자 피가 q에 속하면서 추가 p에 속해야 돼요 이게 무슨 말이죠 결국은 p랑 q랑 진리 집합이 똑같은 겁니다 우리가 이렇게 피와 q에 질리지 밥이 똑같은 걸 b로 충분조건이다라고 표현을 할 수가 있어요 자 여기 보시면 b가 q이면이 성립한다는 이명제에서 b는 주는 쪽이므로 충분조건 주는 받는 쪽이므로 필요조건 이런 식으로 구분을 할 수 있습니다 비가 화살표가 지금 시에서 q로 가죠그러면 얘는 p가 q이기 위한 충분조건이다라고 외우시면 더 좋겠죠 우리가 이거 충분조건 하고 필요조건 하고 상당히 헷갈려요기로 조건 중문 조건 잘 구분할 수 있어야 됩니다 자 p가 q이면 p이면 q이다가 거짓이면요 우리가 요렇게 쓸 수 있겠죠 화살표인데 화살표가 성립을 안 하니까 작대기를 하나 그어주는 겁니다 자 우리가 지금 표현 방식을 여기까지 배워 봤구요 개념 예제 보도록 하겠습니다 p라는 조건이 지금 x+1은 0이에요 그럼 이거에 이거의 진리 집합은 -1이죠 요거의 진리집합은 -1 밖에 없습니다 요거의 진리 집합은요 추후에 진리 집합은 -1도 되고요 0도 되네요 그러면 포함 관계가 어떻게 되는 거예요 요렇게 되죠 p가 q에 속해요 그러면 p이면 q이다가 참이라고 할 수 있는 것이고 그럼 우리가 이걸 이제 무슨 조건이라고도 표현할 수 있는 거예요충분조건이라고도 표현할 수 있는 겁니다 자 역은 성립하지 않습니다 왜냐 p는 q를 포함하지 않아요 지금 그렇기 때문에 피로 조건은 성립을 안 합니다

자 2번을 보시면요 x-y의 제곱이 0이라 그랬는데요 요거는 x가 y라는 인식을 성립할 때만 성립을 하죠 근데 Q 조건 자체도 x는 y인 거예요 그러면 지금 p가 나타내는 조건이랑 q가 나타내는 조건이 완전히 일치를 하고 있어요 그런 경우에는 진리 집합이 완전히 일치하겠죠 그러면 이런 경우에는 우리가 뭐라고 할 수 있다고요 비료 충분조건이라고 표현할 수 있는 겁니다 비록 중문 조건이다 자 3번 보시면요 x+y는 양수라 그랬고 x는 양수고 y는 양수다가 q의 조건이에요 자 그러면 포함 관계를 우리가 지금 생각을 해 볼 건데 일단 요거를 한번 따져 봅시다 추이면 p이다 여기 성립하는지 볼 거예요 자 x도 양수고y도 양수에요 그런데 x+y가 양수다 자 x도 양수고 y도 양수면 요거일 때 x+y가 양수인 거는 항상 성립을 하겠죠 항상 성립을 하기 때문에 당연히 포함 관계가 이렇게 됩니다 요거가 성립을 하면 얘도 항상 성립을 하는 거예요 자 그렇기 때문에 요거는 지금 참인 명제고 우리가 입히면 q이다를 기준으로 봤을 때는 p로 조건 일단 성립을 합니다 b로 조건이 성립을 하고 충분조건을 성립하는지 보기 위해 추이면 p이다를 따져 볼 건데 주의면 p이다에서 아 죄송합니다 추이면 p이다가 아니라 p면 q이다가 지금 3인지 따져볼 거죠 자 p는 진리 집합이 지금 x+y가 양수인데 여기에 이거를 만족하는 x는 -1이고 y는 5라는 요런 진리 집합의 원소가 하나 있을 겁니다 자 그런데 요거일 때 추가 성립을 하나요 지금 추는 성립을 안 하죠x가 지금 음수기 때문에 q를 만족을 안 합니다 그래서 얘는 거짓인 명제고 우리가 요것만 성립하니까 비로 조건이다라고 해주면 되는 거예요 자 다음으로 넘어가세요 우리가 개념예제 한 번 더 볼 건데요 식을 우리가 곱셈공식의 변형해서 본 적이 있어요 저 공식을 활용해서 요거를 좀 정리를 해 줘야 되는데 얘를 정리할 때 2를 곱해줍니다 2x 제곱이 y의 제곱이 z의 제곱 -2xy - 2yz-ezx는 0이죠 그러면 x 제곱 하나랑 -2xy랑 y² 하나를 씁니다 그리고 남은 y² 하나랑 - 2yz 그리고 z제곱 하나 이번엔 남은 제트 제곱 하나 마이너스 2zx1 + x의 제곱은 0 이렇게 식을 변형할 수 있겠죠그러면 얘는 X - y의 제곱이고 얘는 y - z의 제곱이고 얘는 Z - x의 제곱입니다 얘가 0이니까 제곱과 제곱과 제곱을 더했는데 0이에요 그러면 얘도 0이어야 되고 얘도 영이어야 되고 얘도 0이어야 되죠 그러면 우리가 x는 y랑 같아야 되고 y는 z랑 같아야 되고 z는 x랑 같아야 됩니다 그러면 결국 x는 y는 z라는 결론이 나오네요 그러면 얘가 성립하기 위한 성립하기 위한 조건은 x는 y는 z인 겁니다

자 그럼 문제에서 필요충분조건을 찾으라고 했으니까 완전히 똑같은 진리 집합이 p와 q가 완전히 일치하는 조건을 찾아주라는 얘기예요 그러면 우리는 1번을 골라주면 되겠죠 자 이번엔 충분조건 필요조건 비료축문 조건과 진리 집합의 관계인데요 제가앞에서 설명드리면 진리 집합의 관계랑 계속 연관지어 설명을 드렸죠 자 피가 q에 속하면요 우리가 이거는 피면 q이다가 성립하다는 얘기고 p이면 q이다가 참이라는 얘기고 얘는 이렇게 작대기 두 개를 그어서 참이니까 이런 식으로 표현을 할 수가 있습니다 그럼 얘는 우리가 뭐라 그랬어요 p는 q이기 위한 충분조건이다 주는 비이기 위한 필요조건이다 이렇게 설명을 드렸고요 지금 얘랑 얘랑 얘랑 얘랑 얘랑 다 똑같은 얘기입니다 다섯 개가 똑같은 거니까 우리가 이거를 명확하게 얘랑 얘랑 같으니까 얘랑 얘랑 같은 거야라고 생각할 수 있어야 됩니다 자 마지막으로요 p랑 추가 같으면 b랑 추가 같으면 뭐라 그랬어요 p면 q도 참이 되고 피면 q이다도 참이고 q이면 p이다도 참이죠 그러면 얘는 요렇게 양방향 화살표로 표현을 할 수가 있고요b는 q이기 위한 필요충분조건이다라고 표현할 수 있는 거예요 마찬가지로 얘랑 얘랑 얘랑 얘랑 다 똑같은 거죠

자 여기까지 해서 충분조건 필요조건 필요충분조건까지 우리가 학습을 모두 마쳤고요 아마 배우면서 오늘 강의를 들으면서 느끼셨겠지만 헷갈리는 부분이 분명히 있습니다 언제가 충분조건이고 언제가 필요조건이고 요게 구분 짓는게 오늘 내용의 포인트니까 복습하면서 꼭 꼼꼼하게 공부하시길 부탁드리겠습니다 자 오늘 강의는 여기까지입니다 감사합니다.