[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 집합과 명제 - 명제의 증명

자 오늘 학습할 단어는 명제의 증명입니다 명제의 징역인데 우리가 어떤 명제가 어떤 명제가 참임을 밝히는 과정 참인 것을 설명하는 과정을 증명이라고 해요 그래서 오늘이 증명 방법에 대해 두 가지를 배워 볼 건데 첫 번째 방법은 대우를 이용한 증명입니다 우리가 요런 내용을 배운 적이 있죠 p면 q이다가 만약에 참이에요 이명재가 참이면 우리가 낮추이면 notp이다는이 납 q이면 납피라는이 명제 대우죠 대우명제도 참이라는이 내용을 배운 적이 있습니다 거꾸로이 대우명제가 참이면 원래 피면 q이다라는 명제도 참이겠죠 그래서 우리가 증명을 하다 보면피면 q이다라는 원래 명제를 증명하는 것보다 낮추이면 납히다라는 명제를 증명하는게 좀 더 편할 때가 있어요 요거요 명제를 증명하는게 더 편할 때가 있기 때문에 우리는 항상 피이면 q이다를 바로 증명하는 것이 아니라 나트륨의 편하지 않을까 한번 생각을 해보고 증명을 하는 겁니다

자 그래서 한번 실제로 대우명제가 편한 경우를 개념 예제를 통해서 증명을 해보겠습니다 자 우리가 지금 n제곱이 짝수이면 n이 짝수임을 증명하라 그랬거든요 그러면 우리는이 가정을 잡고 n제곱은 짝수니까 2k라고 놓고 증명을 해줘야 되는데 n제곱이 2k라고 놓으면 우리가 조금 n이라는 값이 불분명해져요 그래서 우리는 이거보다는 n이 짝수임에 부정인 n이 홀수면 n제곱이 짝수의 부정인 n제곱이 홀수다 그래서 이거이면 이거다이 명제를 한번 증명해 볼 거예요 자n이 홀수라 그랬으니까요 우리는 n을 2k+1이라고 놀 수 있습니다 이때 k는 0 이상의 정수라고 놓으면 되겠죠 자 그럼 이렇게 나왔을 때 n제곱 값을 한번 계산을 해봅시다 n 제곱은 2K + 1의 제곱이니까 전개해주면 4K 제곱 플러스 4K + 1이 되겠죠 그럼 이때 2로 묶으면 2K 제곱 플러스 2K + 1이 됩니다 그러면 얘는 어차피 2로 나누어 떨어지는 부분이고요 얘는 남는 부분이죠 즉 n제곱은 2로 나눴을 때 나머지가 1이 생기니까 n제곱은 뭐인 거예요 n제곱이 홀수다라는 거를 우리가 알 수 있는 거예요 자 그러면 n을 올스라 그랬더니 n제곱이 홀수라는 걸 우리가 증명을 해줬어요 그러면 요게 지금 3이니까 원래 명제인 얘도 참이다라고 하는게우리가 대운명제를 활용해서 증명을 한 것입니다

자 두 번째 방법은요 귀류법을 이용한 증명인데 자 요게 조금 헷갈리실 수 있어요 명제 또는 명제 결론을 부정하면 모순이 생기는 걸 보여서 원래 명제가 맞다는 걸 보여주는 겁니다 자 결론을 부정을 해요 일단 이게 아니다라고 하는 거예요 우리가 증명할게 만약 아니라면 만약에 아니면 요요 과정이 있고 그 과정에서 얘가 틀렸기 때문에 가정이 틀렸다 그럼 가정이 틀렸으니까 원래 있던게 맞는거다라고 하는 것이 기류법이에요 자 한번 실제로 해보겠습니다 루트 2가 무리수임을 증명하라 그랬어요 루트 2가 무리수임을 증명하라 그랬는데 그럼 우리는 증명을 이렇게 시작하는 겁니다 루트 2가 유리수라면 유리수라면 증명을 쭉 전개를 할 거예요 정비를 했더니 어 이래서 모순이다 모순이다그러니까 우리 루트 2가 유리수라는 가정이 틀렸다 요게 틀렸으니까 루트 2는 무리수일 수밖에 없다라고 결론내는 것이 기류법입니다 그러면 한번 해 볼게요 루트 2가 유리수면요 루트 2가 유리수라면 우리가 유리수는 뭐예요 분수로 표현할 수 있는 거를 유리수라고 하죠 그래서 루트 2를 a분의 b라고 놀 거고요 이때 a와 b는 서로서겠죠 우리가 기약분수로 표현이 된 겁니다 서로소인데 그러면 b는 루트 2a라고 표현을 할 수가 있고요 양변을 제곱해주면 B 제곱은 2A 제곱이 됩니다 그러면 지금 우변이 2a²이니까 짝수예요 자 짝수인데 그러면 b는 뭘까요 b도 당연히 짝수여야 됩니다 왜냐 비가 만약에 홀수면 홀수 곱하기 홀수는 무조건 홀수기때문에 지금 우변 짝수를 만들어 내지 못해요 몸에 짝수를 만들어내는 건 비가 짝수인 경우만 되는 겁니다 그래서 b가 짝수니까 다시 이렇게 놓을 수 있겠죠 b는 EM 이렇게 놓을 수 있습니다 그러면 다시 요거를 대입해주면 4m²은 2A 제곱이고요 우리는 a 제곱이 EM 제곱이라는 결론을 얻어낼 수 있습니다 그럼 이번에 또 우변이 짝수네요 얘가 또 짝수죠 그러면 마찬가지로 a가 이번에도 짝수여야 됩니다 그러면 우리는 b를 a를 a를 en이라고 놓을 수 있겠네요 자 그럼 이때 무슨 문제가 생기냐 b는 em이고 a는 2n인데 이거이면 a와 b가 서로소라는 우리가 아까 서로소라고 분수기 때문에서로소라고 났었는데 a와 b가 서로소가 아니라는 서로소가 아니라는 결론이 나오게 되죠 일하는 지금 약수를 가지고 있잖아요 서로소가 아니기 때문에 모순이 생긴 겁니다 모순이 생겨서 우리는 처음에 가정했던이 루트 2가 유리수라는 가정이 문제가 있는 거니까 결론적으로 루트 2는 무리수라는 결론이 나는 겁니다

자 우리가 귀류법 같은 경우에는 상당히 익숙하지 않은 증명 방법일 거예요 그래서 우리가이 예제도 꼼꼼하게 한번 보시고 다른 예제도 몇 개 풀어보시면서 우리가 귀류법이 뭔지 정확하게 알고 넘어가시길 바라겠습니다 오늘 강의는 여기까지고요 고생 많으셨습니다 감사합니다