[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 집합과 명제 - 절대부등식

자 오늘 학습할 단어는 절대부등식입니다 절대 부등식이 뭔지 일단 알아봐야겠죠 절대부등식이 뭐냐면 전체집합에 속한 모든 값에 대하여 성립하는 부등식을 절대 부등식이라고 합니다 쉽게 말해서 절대 부등식이라는 의미는 항상 항상 성립하는 부등식을 우리가 절대 부등식이라고 해요

자 절대 부등식의 대표적인 예시 몇 가지 한번 보겠습니다 a가 b보다 큰 거랑 a 마이너스 b가 0보다 큰 거랑 똑같다 그랬네요 우리가 요거는 어디서 배운 거예요 부등식의 성질에서 배웠죠 부등 1차 부등식을 배울 때 1차 부등식을 풀기 위한 부등식의 성질에서 배웠습니다 자 2번 보시면요 a 제곱이 0보다 크거나 같다 그랬네요 우리가 만약에 양수를 제곱하면양수죠 음수를 제곱하면 음수를 제곱해도 양수에요 0을 제곱하면 0이죠 그래서 어떤 실수를 제곱했을 때 가질 수 있는 값은 양수랑 0밖에 없는 겁니다 음수가 사라지게 되니까 어떤 수의 제곱은 0보다 크거나 같다는 요런 식으로 얻을 수 있고요 자 a²이 만약 0보다 크거나 같고요 B 제곱도 0보다 크거나 같아요 그러면 두 개를 더했을 때도 마찬가지로 점수를 가질 수는 없겠죠 둘 다 아무리 작아봤자 0이니까 그래서 a² + B 제곱도 0보다 크거나 같다는 결론을 얻어낼 수 있습니다 자 세 번째인데요 a²하고 B 제곱을 더해서 0이래요 자 제가 아까 뭐라 그랬어요 a 제곱하고 b 제곱을 더해서 0이 되거나 양수가 되거나 해요 음수가 될 수는 없어요 그런데 두 개를 더 있는데 0이 됐다 그 말은 무슨 말이냐 둘 다 0이어야만 한다는 거예요 하나가 양수가 돼 버리면 합해서 0이 되기 위해선 얘가 음수가 돼야 됩니다 자 무슨 말이냐면a 제곱하고 b 제곱이 0이 됐는데 a 제곱이 만약 양수에요 그러면 합해서 0이 되려면 B 제곱은 음수여야 된다는 소리죠 근데음 쓸 수 있어요 음수가 안 되죠 그래서 a²도 양수가 될 수 없으니까 a²하고 B 제곱이 0이 되기 위해서는 둘 다 0을 가져야만 하는 겁니다 그래서 요런 식을 얻어낼 수 있고요 4번을 보면 절대값 a의 제곱은 우리가 절댓값이란 건 부호를 다 양수로 바꿔서 나오는 거죠 그런데 제곱을 하면 어차피 다 양수가 되니까 절대값 a제곱이나 그냥 a 제곱이나 같다는 결론이고요 절대값 ab도 마찬가지로 항상 양수로 나와야 됩니다 그런데 요거를 쪼개서 해도 똑같은 거예요 왜냐 절댓값 a도 양수가 되겠죠 절댓값 b도 양수가 될 거예요 그 어차피 양수와 양수를 곱하니까 부호가 양수가 되는 거예요 그래서 절댓값 ab와 절댓값이 1 곱하기 절댓값 b도 같은 값이 되고요a랑 b가 모두 양수일 때는 ab가 양수일 때는 그리고 a가 b보다 클 때 어떤 결론을 얻을 수 있냐 제곱을 해도 부동은 방향이 바뀌지 않고요 루트를 씌워도 부등호 방향이 바뀌지 않습니다 주의해야 될 점은 항상 a도 양수고 b도 양수일 때 성립한다는 점이에요

자 그러면 몇 가지 절대 부등식의 예시를 더 볼 건데요 우리가 1번을 한번 보겠습니다 자 요거는 우리가 양변에 2를 곱하면요 우리가 어차피 부동을 방향 안 바뀌죠 ea제곱 2b제곱 2c제곱 -2ab -2bc - 2ca가 0보다 크거나 같대요 그러면 제가 요거를 a 제곱하고 b 제곱을 하나씩 빼 올게요 두 개 있으니까 하나씩만 쓸 거예요 a² 그리고 -2ab + b 제곱 방금 쓴게 요거까지 쓴 거죠 자 그리고 이번에 뭘 뽑을 거냐 남은 b² 하나랑 c제곱 하나 빌려올게요그러면 b^2 -2bc + C 제곱까지 써줄 거고요 얘도 날라갔죠 이제 남은 애들만 한번 쭉 써봅시다 c^2 - 2ca + a 제곱이에요 그러면 우리가 지금 a - b의 제곱이 있고요 B - c^2이 있고요 c-a의 제곱이 있네요 얘는 얘는 뭐예요 얘는 항상 0보다 크거나 같은 거죠 제곱하고 제곱하고 제곱을 더했어요 그래서 항상 0보다 크거나 같다는 결론도 얻어낼 수 있습니다 그래서 우리가 1번은 그러한 이유로 항상 성립하는 절대 부등식이고요 2번을 보시면요 2번은 우리가 요렇게 표현할 수 있어요 a의 제곱제가 ab만 가지고 한번 해 볼게요 ab고 얘를 가지고 완전 제곱식을 만들 거예요 그러면 뒤에 어떤 수가 필요한 거예요 반의 제곱 1/2b 제곱 4분의 1 b 제곱이죠 그리고 다시 빼 줘요 그리고 원래 B 제곱이 있었습니다얘를 정리해주면 a+b의 제곱 플러스 4분의 3b제곱입니다 얘도 마찬가지로 제곱 더하기 제곱이니까 항상 0보다 크거나 같겠죠 자 근데 우리가 요거는 -로 바뀐다고 해서 달라지는 것은 없습니다 여기도 마이너스라 그래도 어차피 제곱 더하기 제곱은 유지되니까 우리가 요것도 마이너스인 경우에도 성립한다고 볼 수 있습니다 추가적으로요 우리가 요런 것도 볼 수 있겠죠 a의 제곱 플러스 마이너스 2ab + B 제곱은요 이거 자체가 그냥 이미 완전 제곱식이니까 완전 제곱식이니까 0보다 크거나 같다는 결론을 여기서도 얻어낼 수 있습니다 3번은요 우리가 양변 그냥 제곱을 해 줄 거예요 그러면 절대값 a + 절댓값 b 요거의 제곱이랑 우변은 절댓값 a+b의 제곱이 되겠죠 그러면 우리가 요거를 전개를 해주면요 절댓값의 이해되고이절댓값이 절댓값 b 자 플러스 절댓값 b의 제곱이고요 우변은 우리 절댓값을 제곱한 거는 그냥 절대급 신경 안 쓰고 전개해도 된다고 앞에서 배웠죠 a의 제곱 플러스 2ab + B 제곱입니다 그러면 절댓값 a²은 a²하고 똑같고 얘는 절대값과 절댓값을 곱은 그냥 절댓값 ab라고 쓸 수 있고요 절댓값 b의 제곱은 b의 제곱입니다 우변은 그대로 써줄게요 2ab + b 제곱 그러면 사라지는게 생기죠 여기에 a² a² 없을 수 있고요 b² b² 없앨 수 있습니다 그럼 그 상태에서 양변을 2로 나눠주면요 절댓값 ab는 a b보다 크거나 같다는 요식이 나왔어요

자 그러면 얘는 맞냐 틀리냐라는 걸 생각을 해봤을 때 a b가 양수면 ab가 만약에 양수면 어차피 ab로 나오고 얘는 ab보다 크거나 같다는데 없어져서0 이상은 0이니까 항상 성립을 하죠 그리고 ab가 만약에 음수라면요 마이너스 AB 여기는 AB 그러면 ab를 좌변으로 넘기면 -2ab가 -2ab가 0보다 크나 같다는데 a b가 음수니까 얘도 성립을 하네요 따라서 우리는 얘가 항상 성립하다는 거를 확인할 수 있습니다 우리가 가운데 부호가 마이너스인 경우에는요 방금 했던 과정을 마이너스로 바꿔서 똑같이 반복해 주시면 같은 결론에 도달할 수 있습니다 한번 노트 켜서 직접 해보시기 바라겠고요 우리가 이번엔 산술 평균과 기압 평균의 관계에 대해 학습을 할 건데 요런식이 있습니다 2분의 a+b가 루트 a b보다 크거나 같다는이 식을 산술 평균과 기압 평균의 관계라 그래서 우리가 쉽게 산술 지압 평균이라고도 많이 부릅니다 산술 지하평균 우리가 여기 좌변에 있는 2분의 a+b를 a와 b의 산술 평균이라 그러고요루트 ab를 ab의 기압 평균이라고 합니다 그래서 산술 평균과 지하 평균의 관계에서 항상 산술 평균이 지하 평균보다 크거나 같다는 요식이 산술 기압 평균이라고 할 거예요 중요한 점은 얘가 항상 양수일 때만 성립한다는 거예요 양수일 때만 성립한다는 것이고 주로 사용은 어떻게 하냐 요식을 쓰기보다는 양변에 2를 곱해서 a+b가 2루트 AB 이상이다이 식을 많이 활용을 해줍니다 똑같은 식이죠 2 곱한다고 해서 크게 달라지는 식은 아닙니다 자 그리고 a+b랑 2루트 ab랑 같은 순간은요 a랑 b랑 같을 때 저 등호가 성립합니다 그 말이 여기 이렇게 뒤에 써 있는 거예요 자 얘 성립은 왜 하냐 그러면 우리가 지금 요식을 요식을 제곱을 해주면요 어차피 양수니까 제곱을 할 수 있겠죠 a² + 2ab + B 제곱이고 우변은4ab죠 그러면 좌변으로 넘겼을 때 a의 제곱 마이너스 2의 입이 + B 제곱이 0 이상이고 얘는 a - b의 제곱이니까 성립하는 것도 우리가 쉽게 제곱을 통해서 확인을 할 수가 있네요

자 개념 예제 보도록 하겠습니다 x가 양수라 그랬어요 x가 0보다 크다 그랬으니까 지금 x+x + 4의 최소값을 구하라고 했는데 얘도 양수고 얘도 양수죠 그러면 우리가 4 + x + x분의 1인데 얘를 산술기와 평균을 써서이 루트 x 곱하기 x분의 1로 쓸 수가 있는 겁니다 이렇게 곱하면 뭐가 좋냐 x가 사라지는 거죠 그러면 우변에 뭐만 남아요 4와 2를 더한 6만 남게 되는 거죠 따라서 최소값은 몇이 되는 거예요 최소값은 6이 되는 겁니다 자 개념 예제 하나 더 보겠습니다 마찬가지로 x랑 y가 모두 양수라 그랬구요요거 전개를 한번 해보겠습니다 전개를 해주면 XY + 4 + 1 + XY XY + XY 평균을 써주면이 루트 xy와 XY 곱이죠 그러면 어떻게 돼요 x y가 사라집니다 그러면 남은 거는 5+2 곱하기 루트 4는 2니까 요렇게 되고요 5+4니까 최소값 9라고 우리가 찾을 수 있습니다 자 이번엔 코스 슈바르트의 부등식인데요식이 조금 복잡합니다 a² + b²에 x² + y 제곱을 곱하면 ax+by의 제곱이라는 요런 부등식이 성립을 한다는 내용이고요 우리가 등호는 a분의 x와 b분의 y가 성립할 때 등호가 된다는 거정도 꼭 아셔야 됩니다 우리 산술기업 평균과는 다르게 abx y가 실수일 때 즉 양수가 아니어도 얘는 성립하는 부등식입니다 그러면 우리는 얘는 조금 활용이 좀 어려우니까시기 복잡해서 활용이 좀 껄끄러울 거예요 한번 개념 예제 보면서 어떻게 활용하는지 보도록 하겠습니다 자 실수 abxy에 대해서요 a² + B 제곱은 4고 X + Y 제곱은 9라 그랬어요 그때 ax + by의 최댓값과 최솟값 구하라고 했네요 그러면 우리가 이거 그대로 코시 슈바르트의 부등식을 써주면 a² + b 제곱과 x 제곱 플러스 y²을 곱한게 ax+b의 제곱이 성립한다는게 코치 쇼바르트의 부등식입니다 자 a² + b 제곱은 4라고 했고요 x² + y 제곱은 9죠 그러고 여기는 ax+by의 제곱입니다그러면 우버는 36이고 좌변은 좌변은 36이고 여기는 그대로 되겠죠 자 그러면 제곱이 36 이하니까요 우리가 요거 부등식 어떻게 풀죠 ax+by라는 거를 t라고 생각을 하면요 지금 t 제곱이 36보다 작거나 같은 거니까 요렇게 할 수 있겠죠 -6 이상 6 이하 다시 원래대로 돌리면 우리가 ax+by의 범위를 구할 수 있는 겁니다 최소는 몇이에요 -6 얘가 최소 구요 6은 뭐예요 최대죠 최대 이렇게 최소값과 최대값을 구할 수도 있습니다 한 문제 더 보겠습니다 x+2y는 10이라고 했고요 x² + y²의 최소값을 구하래요 자 그러면 우리가 cosc 쇼바르츠의 부등식에서 ax+by의 해당하는 부분이 요거인 겁니다a는 1이고 b는 2라고 놓는 거예요 그러면 우리가 원래 a² + b²에 x 제곱 플러스 y 제곱을 곱해서 ax+by의 제곱이 그래서 요게 지금이 관계가 성립한다는게 코씨 슈바르츠의 부등식이잖아요 자 a² + b 제곱은 그럼 몇이 되는 거예요 1의 제곱 더하기 2의 제곱이 되는 거고 우리가 구하는 x² + y 제곱이고 여기는 ax+by의 값 즉 x+2y가 여기 오는 겁니다 그러면 5의 x² + y 제곱이고요 얘는 10을 제곱에서 100이 되겠네요 따라서 x² + y 제곱의 최소값은 20이란 거 우리가 계산할 수 있습니다

자 우리가 오늘 절대부등식에 대해 학습을 했고요 절대 부등식의 일반적인 경우 예심 몇 개 학습했고 산술기업 평균 코시 쇼바르츠 부등식까지 얘네들도 절대 부등식입니다 얘네들까지 학습을 하였습니다 우리 새로운 공식이 몇 개 나왔으니까 복습할 때 꼭 암기하시고 오늘 강의는 여기까지 하도록 하겠습니다 감사합니다