[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 함수와 그래프 - 함수의 기본 개념

자 오늘 우리가 학습할 내용은 함수의 기본 개념입니다 우리가 함수가 무엇인지 함수에 대해 좀 정의를 하고 그 함수에 관련된 용어들 몇 개를 학습하는 시간 가져보도록 할게요 자 그러면 함수를 정의하기에 앞서서 우리가 이 대응이라는 용어를 좀 알고 가야 됩니다

자 대응은 쉽게 말해서 뭐냐면 x의 원소의 y 원소를 짝 지어주는 거예요 우리가 이제 함수를 정의할 때 어떤 집합 x와 어떤 집합 y를 가지고 함수를 정의를 하게 되는데 그 x의 원소들이 있고 y의 원소들이 있을 거예요 그런데이 원소를이 원소에 연결시켜 주는 거 짝지어주는 것 자체를 대응이라고 합니다 지금 여기 예시로는요 x라는 집합 안에 경기도 충청도 전라도 경상도를 넣어 놨고요 y라는 원소의 수원 청주 경주 전주를넣어놨습니다 그래서 경기도의 수원을 연결시켜주고 충청도의 청주 전라도의 전주 경주 이렇게 각각 짝지어주는 것을 우리가 대응한다 그래요 대응 그리고 요거를 기호로는 이렇게 화살표를 이용해서 표현할 수가 있습니다 그러면 우리가 요거는 요런 식으로 쓸 수 있겠네요 경기도가 수원에 대응되니까 경기도에서 화살표로 수원 이렇게 따로 쓸 수도 있는 겁니다 자 그러면 함수란 무엇인가 한번 정의를 해보겠습니다 지금 여기 교재에 나와 있는이 문장이 정말 중요한 문장이에요 x의 각 원소에 y의 원소가 오직 하나씩 대응할 때 오직 하나씩 대응할 때입니다 자 무슨 말이냐 X 1개의 y 원소 한 개를 대응시켜야 함수라는 거예요 자 그러면 지금 여기 예시가 몇 가지 있는데요 요걸 한번 하나씩 보겠습니다 자1이라는 원소가 b의 대응되고 2라는 원소가 c의 대응되고 3이라는 원소가 d의 대응되요 이렇게 x1소 하나에 y1 중 하나씩 대응시킨 걸 우리는 함수라고 합니다 자 그런데 우리 지금요 두 번째 함수 보면요 1은 a에 대응시키고 2는 c의 대응 시켰어요 그런데 지금 3위 대응된게 없죠 3의 연결된게 없어요 우리 이런 거는 함수가 아니에요 자 그러면 모든 모든 x가 어떤 원소의 대응이 돼야 됩니다 요것도 요게 빠진다면 함수가 아닌 거예요 사실 요게이 지금이 문장에 포함되어 있지만 우리가 그래도 이렇게 두 가지 포인트로 잡아 놓으면 좀 더 좋을 것 같아요 x1서 하나의 y 원소 하나를 찍어야 되고 모든 x가 어떤 대응되는 원소를 가져야 되고 이렇게 두 가지를 가지고 있어야 함수다라고 생각하시면 됩니다 세 번째 볼게요 지금 1이라는 원소가a를 찍고 있고요 2라는 원소가 c를 찍은 것까지는 문제가 없습니다 그런데 지금 3이라는 원소가 c도 찍고 있고 d도 찍고 있어요 자 x 원소 하나가 y 원소 하나만 찍으면 되는데 지금 몇 개를 찍고 있어요 혼자서 두 개를 찍고 있죠 이러면 함수가 아닌 거예요 제가 아까 뭐라 그랬죠 x1도 하나의 y 원소 한 개여야 된다 근데 지금 x1소 3이라는 거에 y1 소 c와 d를 짓고 있으니까 c와 d를 대응하고 있어서 얘는 함수가 아닌 겁니다 우리 헷갈리는 거 하나 더 설명드릴게요 x라는 집합 안에 원소가 1 2 3이에요 y라는 원소 안에 집합은 abcd입니다 1이라는 원소가 a를 찍고 2라는 원소가 b를 찍고 3이라는 원소도 b를 찍고 있어요 자 얘는 함수일까요 아닐까요 얘는 함수가맞습니다 왜냐 우리가 X1 소 하나의 y 원소 하나를 찍어야 된다고 했는데 지금 2가 b를 하나 찍고 있고 3이 b를 하나 찍고 있어요 각각 x 하나가 y 하나씩을 찍고 있는 겁니다 모든 애들이 y의 a를 찍고 있어도 상관없고 b를 찍고 있어도 그거는 상관없는 거예요 각각의 x가 하나씩만 찍으면 상관이 없는 거예요 y 하나가 여러 번을 선택 받았다고 해서 문제가 생기지 않습니다

자 그러면 우리가 요렇게 함수라고 할 수 있는 애들을 이렇게 씁니다 어떤 집합 x에서 집합 x에서 집합 y로 대응을 시키는데 대응을 시키는데 그 관계를 우리 f라고 하겠다 이런 식으로 기호를 써 줄 거예요 자 이번엔 정의역 공역 치역입니다 자 정의역 공역 치역이 뭐냐면 정의역은요 어떤 집합 x x값들이 가질 수 있는 집합을 정의역이라고 하고요 집합 y는요y 값들이 가질 수 있는 애들을 공역 y라고 해요 자 그러면 제가 예시를 하나 들어 드릴 건데 어떤 정의역이라는 x 집합 얘네들은 x값이 가질 수 있는 원소들이에요 1 2 3 4라고 하겠습니다 그리고 y라는 집합 y 값이 가질 수 있는 애들을 1 2 3 4라고 하면요 지금 집합 x 자체가 정의역이 되는 거고요 집합 y 자체가 공력이 되는 거예요 자 그러면 여기에 지금 또 치역이라는 용어가 있어요 치역도 y 값의 일부인데 우리 지금 지역하고 공역을 잘 구분을 해줘야 되거든요 자 만약에이 함수 f가 요거 함수 관계를 f라고 했을 때 1이를 모르고 2가 2를 고르고 3도 2를 고르고 4가 3을 골랐어요 그러면 2라고 2하고 삼은 선택을 받았죠4의 대응되는 x값은 없습니다 그랬을 때 요렇게 1과 2와 3 선택받은 애들을 모아서 얘네들을 모아서 치역이라고 하는 겁니다 얘네들만 치역인 거예요 자 그럼 치역과 공력이 구분이 되시나요 y 값이 가질 수 있는 애들을 공역이라고 하는 거고 선택 받으면 선택 받은 애들을 모아서 치역이라고 하는 겁니다 공력과 지역을 구분 지을 수 있어야 됩니다 개념 예제 볼 건데요 y는 x-1의 제곱 플러스 3의 정의역과 치역을 구하라 그랬어요

자 그러면 우리가 x-1의 제곱 플러스 3의 그래프는 2차 함수고요 꼭지점이 1 3인 그리고 아래로 볼록한 2차 함수입니다 우리 여기서 정의역이란 거는 x값의 범위인데 x값은 아무거나 다 넣을 수 있죠그러면 우리는 정력을 뭐라고 쓸 수 있냐 조건제시법을 활용해서요 조건제시법을 활용해서 x바 x는 실수 전체 요렇게 쓰일 수 있습니다 자 치역은요 우리가 가질 수 있는 y 값의 범위인데 y 값이란 거는 이렇게 세로축의 표현을 해주죠 그렇게 생각을 했을 때 여기에 있는 y 값들을 가질 수 있나요 예를 들어 여기가 지금 1이에요 y 값을 1을 만드는 x 값이 존재하나요 존재하지 않습니다 y 값은 아무리 작아봤자 3이에요 그래서 지역의 범위는 3보다 크거나 같아야 됩니다 그래서 얘도 마찬가지로 우리가 조건 제시법을 통해서요 와이바 y는 3 이상 이렇게 써주면 됩니다 거기에다가함숫값이 같을 때 어떤 x를 넣었을 때 fx의 값과 gx의 값이 항상 일치를 해야 우리는 두 함수가 서로 같은 함수라고 표현을 할 수 있습니다 기호로는 f와 g가 같다고 요렇게 표현을 해주고요 같지 않을 때는 가운데다 짝대기를 그어서 이렇게 갖지 않다고 표현을 해줍니다 자 먼저 fx에다가 f-1을 넣어 볼게요 그러면 -1의 3제곱이니까 -1이고요 이번엔 0을 넣어보면 0의 세제곱이니까 0이죠 1을 넣으면 1의 세제곱이라 1입니다 자 그럼 g도 넣어 볼게요g-1은 뭐예요 -1 g0은 뭐예요 0 G 이름 뭐예요 1이죠 그러면 정의역이 지금 -1 0 1인데 그때 나오는 함숫값들이 어떻게 돼요 얘랑 얘랑 같고 얘랑 얘랑 같고 얘랑 얘랑 같고 모두 똑같네요 항상 똑같네요 그러면 우리는 얘를 뭐라고 할 수 있는 거예요 f랑 g랑 같은 함수예요라고 말할 수 있는 겁니다이 정의역에서는요이 정의역에서만 우리 정력이 이거 말고 다른 숫자로 늘어나면 당연히 안 되겠죠 단지 정력이 이렇게 x값 3개 밖에 안 갔기 때문에 그 정의역에서는 f와 g가 같다는 결론을 내릴 수 있는 겁니다

자 다음으로 넘어가서 우리가 함수의 그래프를 볼 건데요 우리가 x에서 y로 가는 함수가 있으면 어떤 x 좌표와 그거를 넣었을 때 나오는 y 좌표가 있습니다 그러면 우리는 이거를 흔히 x y라는 좌표로 표현을 해주죠 그래서x라는 애들은이 가로축 x축을 기준으로 작성을 해주고요 y 값은 세로축 y 값을 기준으로 작성을 해줍니다 그러면 해당되는 x값 y값의 교차점 요 점을 찾아서 그 점을 찍어주고요 그 모든 x값들에 대한 y 값들의 점들을 모두 찍어서 그 점들을 이어주면 요런 함수 그래프가 생기는 겁니다 이렇게 점들을 모아 그래프를 그려주는 거예요 자요 특징요 특징이 좀 중요합니다 정의역 각 원소 a에 대하여 x는 a와 오직 한 점에서 만난다 그랬어요 우리가 함수를 정리할 때 x값 하나의 y 값 하나를 가져야 된다 그랬죠 x값 하나인 X 1개의 y 한 개를 가져야 된다 그랬어요 그래서어떤 x는 a라는 x값을 대입했을 때요 직선과 이 fx라는 직선이 오직 한 점에서 만나야 이 조건을 만족시키는 거고 함수를 정의할 수 있는 거예요 그래서 한 점에서 만난다는 표현이 여기에 있는 겁니다 자 넘어가서요 우리가 지금까지 배웠던 그래프를 몇 개 예시로 들면서 확인을 해 볼 건데 우리가 2차 함수 그래프를 원래 이렇게 그릴 수 있었죠 이렇게 2차 함수를 그려 왔는데 얘는 우리가 2차 함수라고 합니다 왜냐 얘는 함수이기 때문에 2차 함수라고 할 수 있는 거예요 x는 a라는 직선과 항상 한 점에서 만나죠 얘를 여기다 옮겨도 한 점에서 만나고요 여기다 옮겨도 한 점에서 만나고 여기다 옮겨도 한 점에서 만나요 항상 x값 하나에 y 값 하나가 생기게 됩니다 자 그런데 얘는 우리가 함수라고 안 하죠 이름 자체가 뭐예요 얘는원예방정식이라 그러죠 왜냐 얘는 함수가 아니니까 함수가 아니니까 원의 방정식이라는 표현을 써주는 거예요 왜 함수가 아니냐 어떤 x값을 넣었을 때 생기는 y 값이 몇 개예요 여기도 하나 생기고 여기도 하나 생기죠 이런 애는 x 하나의 y값이 두 개가 생기니까 함수라고 못하는 겁니다 그래서 우리가 원에 함수라고 표현을 하지 않고 원의 방정식이다라고 표현을 해주는 거예요

자 그러면 관련된 개념 예제 풀어보겠습니다 자 함수의 그래프를 모두 고르라고 했는데요 우리가 그거는 x값 하나에 y 값이 하나 있는 것만 골라주면 되는 거예요 자 얘는 2차 함수고요 우리가 앞에서도 확인을 했죠 얘는 함수가 맞습니다 자 얘도 볼까요 어떤 x값 하나에 y값 항상 하나같네요 얘도 맞죠 얘는 x값 하나의 두 개가 생겨요 이런 거는 함수가 아니라고 했습니다 4번도 보겠습니다 자 어떤 x값이렇게 넣었을 때 y 값이 몇 개 생겨요 두 개나 생기죠 그리고 여기는 지금 y 값을 같지도 않네요 그래서 얘는 함수가 아닙니다 자 요것도 보시면요 이렇게 두 점에서 만나죠 x값 하나에 그럼 얘도 함수가 아닙니다 자 오늘 여기까지 해서요 우리가 함수를 정의하고 함수에 관련된 정의역 국력 시험 요런 것들에 대해서 용어를 조금 알아봤습니다 오늘 내용 우리 앞으로 함수 단어는 계속 공부할 때 꼼꼼하게 필요하니까 공부를 조금 빠짐없이 정의는 확실하게 알고 복습을 하셨으면 좋겠습니다 오늘 강의는 여기까지고요 고생 많으셨습니다 감사합니다