[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 함수와 그래프 - 합성함수

자 오늘 학습할 단어는 합성함수입니다 합성함수 학생들이 조금 이제 복잡해서 어렵게 느껴질 수 있는데 천천히 설명드릴테니까 집중해서 잘 들어주시기 바랍니다 자 일단요 우리가 함수란 거를 지금까지 보통 어떻게 정리했냐면 x라는 정의역에서 어떤 y라는 공역을 만들고 y라는 공역을 만들어서 여기서 이렇게 대응시킨 거를 f라는 관계다 그리고 여기에 있는 애들을 x라 그러면 여기 있는 애들을 fx다라고 쓸 수 있었어요 합성함수는이 함수 관계를 한 번만 쓰는게 아니라 한번 더 쓰는 겁니다 우리가 여기서 나온이 fx를 어떻게 보면 정혁이라고 다시 한번 생각하고 새로g라는 함수라는 관계를 만들어서 z라는 진짜 공역에 집어넣어주는 거예요 쥐 안에 f를 넣어주는 겁니다 자 요 기호가요 기호가 상당히 중요합니다 우리가 g라는 함수 안에 x를 넣는게 아니라 어떤 fx를 넣는 거예요 그러니까 제가 여기다가 넌 x값은 f에서 한번 계산되고 그 fx가 gx를 통해서 g의 관계에 의해서 한번 더 계산되는 걸 합성함수라고 해요 우리가 이거를 기호로는 어떻게 쓰냐면 g랑 동그라미 F 이렇게 해서 gfx라고 씁니다 요게 합성 함수를 나타내는 기호예요 우리가 계산할 때는 순서가 항상 엘프를 먼저 계산한 다음에 gx를 계산한다는 거 그 점 알아두셔야 됩니다

자 그러면 우리가 이제 직접 문제를 풀어 볼 건데요 자 fx는 2x -1로 정의되어 있고요 gx는 x 제곱 플러스 1로 정의가 되어 있습니다 그래서 일단요 첫 번째 F g의 0을 집어넣어라 돼 있네요 자 요거의 의미는 뭐냐면 FX 안에 g0이 있는 거예요 그러면 우리는이 안에 들어가는이 안에 들어가는 g0을 먼저 계산을 해주는 겁니다 자 g0을 계산하면 어떻게 돼요 g0은 0^2 + 1이니까 1이죠 그러면 fg의 0은 뭐랑 같냐 f의 1과 같아지는 겁니다 그럼 또 f1은 이제 우리가 계산하던 대로 계산해 주면 되는 것이죠 우리가 요거를 합성함수를 계산하는 방법이고요 항상 안에 있는 gx를 먼저 계산한 다음에 이렇게 계산한 걸 안에다 이렇게 넣어주면 됩니다 자 이번엔 f의 f인데요 f의 f는 두 번 계산해 주면 됩니다 마찬가지로F 안에 우리 지금 x값이 2일 때죠 2일 때니까 F 안에 F2 값을 넣은 거예요 자 그러면 우리가 여기서 F2 값을 계산을 해주는 겁니다 F2 값은 뭐예요 3이죠 그럼 얘가 3인 거예요 f3은 우리가 항상 계산하던 대로 계산해 주면 되는 것이죠 자 이번엔 g의 f의 마이너스 1입니다 g의 FM - 1이고요지 안에 f-1을 집어넣습니다 그러면 f-1은 뭐예요 -3이죠 g 마이너스 3은 10입니다 자 4번하고 5번을 보시면요 지금 하나는 fg고 하나는 gf인데 지금 숫자가 아니라 x로 되어 있죠 그러면 우리는 식 그대로 넣어서 합성 함수 식을 구해주면 됩니다 자 4번을 풀어보겠습니다 F 안에 gx가 들어가는 거예요 그런데 지금 gx가 뭐예요 x 제곱 플러스 1이죠 자 원래fx라는 함수는 2 곱하기 x-1로 정의가 되어 있어요 그런데 요거는 x를 넣었을 때 2 곱하기 x-1을 해주는 것이고 우리는 x 제곱 플러스 1을 넣었으니까 얘도 마찬가지로 2 곱하기 여기다가 f한테 집어넣은 식을 여기다가 써 주고 -1을 적용시켜주면 똑같은 겁니다 그럼 여기다 x² + 1을 넣어주면 되겠죠 그래서 계산을 해주면 2x^2 + 1입니다 자 5번도 계산해 볼게요 4번이나 5번이 함수가 좀 비슷하게 생겼는데요 얘는지 안에 fx가 들어가는 거예요 아까는 FX 안에 gx가 들어갔는데 이번엔 GX 안에 fx가 들어가는 겁니다 그러면 마찬가지로 지안의 fx인 2x - 1을 넣겠죠 우리가gx는 정의가 요렇게 되어 있어요 x 제곱 플러스 1로요 그러면 gx가 x² + 1이니까 얘는 요거를 집어넣어주면 되겠네요 그러면 요거에 뭐랑 같겠어요 제곱 플러스 2라고 같아지는 겁니다 그럼 이렇게 계산할 수 있겠죠 2x - 1에 제곱 플러스 1이라고 계산해서 정리해주면 4x제곱 마이너스 4x + 2입니다

자 그럼 우리가 여기서 주목해야 될 점이 하나가 있어요 F g를 계산했을 때는 2x제곱 플러스 1이 나왔어요 요거를 계산했을 때는 근데 g의 fx를 계산했을 때는 어떻게 됐어요 4x²-4x + 2가 나왔죠 순서만 바꿨을 뿐인데 다른 결과가 나왔습니다 우리는 여기서 뭐를 할 수 있냐 바로 합성함수의 성질에서 바로 교환 법칙이 성립하지 않다는 거를 알 수 있는 겁니다g에다 f를 넣은 거랑요 f의 g를 넣은 거는 다른 결과가 나오는 거예요 우리는 이렇게 합성함수에서 교환 법칙이 성립하지 않다는 점 꼭 아시면 좋겠고 결합법칙은 성립합니다 hgf를 순서대로 합성을 할 때요 우리가 gf를 먼저 합성한 결과와 hg를 먼저 합성한 결과가 같다는 것을 확인할 수 있습니다 자 우리 이거 뒤에서 요거는 개념 예제에서 한번 확인해 보도록 할게요 자 3번은요 우리가 지금 항등 함수랑 합성을 했는데 우리가 항등 함수 i라는 거는 그냥 x죠 그래서 F 안에 ix를 넣으면 어떻게 돼요 그냥 fx죠 자 i에다가 fx를 넣으면 어떻게 돼요 그냥 얘는 얘도 fx예요 결국 얘랑 얘랑 fx랑 다 같다는 것이 여기서 설명하고 있는 내용입니다 자 그러면 우리가 요거 2번을 이제 개념 예제에서 직접 확인해 보도록 할게요 자 fx는 x+1이고요 gx는 x제곱 마이너스 1 hx는 ex+1인데요 자 이거를 하나씩 합성할 겁니다 먼저 f의 gx를 합성을 할 거고요 저는 요거를 px라고 하겠습니다 없네요 조금 다시 쓸게요 px를 F 안에 gx를 런 함수라고 하겠습니다 그러면 F 안에 gx인 x제곱 마이너스 1을 넣는 것이고 fx는 x+1이니까 저 자리에다가 x 제곱 마이너스를 넣어주면 되겠죠 그러면 x 제곱 마이너스 1 + 1이라서 x²만 남게 되고요 우리가 이번엔 p랑 h를 합성합니다 그러면 B 안에 hx가 들어가는 것이고 p 안에 hx인 2x+1을 넣게 됩니다 그럼 얘는 2x + 1의 제곱과 같죠따라서 4x² + 4x + 1입니다

자 이번엔 여기 우변에 있는 거 우변에 있는 거 한번 계산해 보도록 할게요 먼저 g와 h와 합성함수를 먼저 찾아 줘야겠죠 저는 요거를 qx라고 할 거고요 gx는 gr hx가 들어간 거를 말합니다 자 g 안에 hx를 할 건데 hx는 ex+1이고요 gx는 x 제곱 마이너스 1이니까 2x + 1의 제곱 -1이 되겠네요 계산해주면 4x² + 4x + 1 - 1이랑 4x 제곱 플러스 4x만 남게 되고요 우리가 이번에 계산할 거는 f와 추를 합성하는 거죠 그러면 F 안에 q를 넣습니다 근데 fx는 이렇게 x+1이니까 조다리에다가 그냥 4x² +4x를 넣어주면 우리는 최종적으로 4x² + 4x + 1이 나온다는 걸 확인할 수 있고요 결론을 놓고 봤을 때 여기 나온 결과와 여기 나온 결과가 같으니까 우리가 요게 같다는 것을 보인 겁니다 자 우리가 합성함수에서 결합법칙은 성립하고 교환법칙은 성립하지 않는다는 사실까지 지금 학습을 마무리했고요 합성함수 개념이 조금 어려울 수 있으니까 x y를 잘 구분해서 XY 잘 구분하고 어디에 어떤 거를 넣는지 계산 순서는 어떻게 되는지 그런 것들을 잘 구분 지어서 학습을 하시기 바랍니다 오늘 강의는 여기까지고요 고생 많으셨습니다 감사합니다