[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 함수와 그래프 - 역함수

자 오늘 학습할 내용은 역함수인데요 우리가 지난 시간에 배운 합성 함수에이어서 난이도가 조금 있습니다 그래도 우리가 집중해서 들어서 오늘 역함수에 대해 잘 배워보도록 할게요 자 일단 역함수가 일단 간단히 말하면 뭐냐 우리가 어떤 x라는 값을 넣었을 때 나오는 y 값이 함수의 관계죠 이렇게 갔던게 역함수는 거꾸로 가는 겁니다 어떤 y 값을 넣었을 때 x값이 되게 하는 요렇게 되는 거꾸로 된 함수를 새로 만들어 주는 거예요 그래서 원래 공력이었던게 뭐가 되는 거예요 정의역이 되는 것이고 정의역이던게 정의역이 이제 뭐가 된 거예요 공역이 된 것이죠

자 근데 이렇게 되는데는 우리가조건이 하나가 있습니다 만약에 함수가 2차 함수예요 그러면 함수가 이렇게 생겼을 텐데 어떤 y 값에 대해 x값이 두 개 가질 수 있죠 X1 X2 자 요거로 y라고 했을 때요 우리가 지금 y를 넣어서 x값이 나오는 함수를 만들겠다 했어요 그런다고 했는데 지금 ey 값을 넣으면 x값이 두 개 나오죠 이거는 우리가 함수의 정의의 위배되잖아요 함수의 정의는 x값 하나 넣었을 때 y 값이 하나 나와야 돼요 근데 우리는 지금 y를 넣었을 때 x가 나오는 함수를 만드니까 y를 하나 넣으면 x값이 하나 나와야 되는데 y를 지금 하나 넣었더니 x 값이 두 개 나오잖아요 이러면 함수가 아니죠 그래서 우리는 기본적으로 어떤 함수들만 역함수를 가지냐 일대일 대응인 함수만 일대일 대응인암 수만역함수를 우리가 만들어 낼 수 있어요 자 다시 한번 말씀드릴게요 우리가 x는 y에서 가는 f라는 함수가 있었는데 역함수는 y를 넣었을 때 x가 나오는 함수를 만든 겁니다 그런데 y를 하나 넣었을 때 x가 하나 나와야 되니까 역함수를 만들기 위해 어떤 함수여야 된다고요 일대일 대응 함수여야 된다고요 여기까지 되셨나요 자 역함수란 건 이래요 우리가 이제부터 역함수 찾는 법을 배워 볼 겁니다 자 그러면 역함수를 어떻게 구하냐 제가 아까 말씀드렸듯이 일단 일대일 대응인지 확인을 한번 해 줘야 돼요 우리가 일대일 대응이 아니면 역함수를 갖지 못한다 그랬죠 그래서 일단 일대일 대응인지 확인을 먼저 한번 해줍니다 자 그다음 원래 함수란 것은 y는 꼴로 표현됐던 건데 y는 무슨 무슨 x로식이 정리가 되어 있었는데 얘를 좀 바꿔줍니다 x는 무슨 무슨 y 이런 식으로 식을 변형을 해 줘요 그 다음에x는 y로 바꿔주고 y는 x로 그대로 바꿔주면 우리가 요렇게 역함수를 찾을 수 있는 겁니다 자 그러면 원래 치역이었던 애는 원래 치역이었던 애는 x로 갔으니까 정의역이 되는 것이고요 원래 정의역이었던 애는 y로 갔으니까 치역이 되는 겁니다 자 그래서 우리가 한번 역함수를 직접 구해 보겠습니다 자 개념퀴즈인데요 우리가 다음 함수의 역함수를 구하라고 했네요 y는 3x+2예요 일단 가장 먼저 뭐를 확인해 줘야 된다고요 얘가 일대일 대응인지 아닌지를 확인해 줘야 된다 그랬어요 y는 3x+2는요 기울기가 3이고 y절편이 2니까 그래프가 요런 느낌으로 생겼겠네요 자 얘는 일대일 대응이 맞죠 1대 1 대응이 맞으니까 역함수를 구해 봅시다 먼저 y는 3x+2로 표현됐던 식을 제가 x는으로 바꿔줘야 된다 그랬어요 그러기 위해서 2를 좌변으로 넘기면 y-2는 3x고요 양변을 3으로 3으로 나눠주면 3분의 1 y - 3분의 2죠 그 다음에 x 다리에다가는 그냥 y를 집어넣고요 y자리에다가는 x를 집어넣습니다 그 다음에 나머지 숫자들을 이렇게 써주면 되는 거예요

자 2번도 한번 해봅시다 2번은 기울기가 2분의 1이고 y절편이 5인 함수네요 그러면 이렇게 함수를 이렇게 그릴 수 있겠네요 마찬가지로 일대일 대응 함수고요 우리가 y는 1/2x+5라는 함수를 양변에 5를 빼주고요 양변에 2를 곱해주면 요렇게식이 정리됩니다 그러면 x는 2y -10이라고 쓸 수 있고요 역함수는 다시 x를 y로 바꿔주고y를 x로 바꿔주고 이렇게 바꿔치기만 하는 겁니다 x 자리에다가 y를 집어넣고 x를 집어넣고 요렇게 역함수를 구할 수 있습니다 자 역함수의 성질인데요 일단은 x가 y로 가는 일대일 대응이라고 써있네요 우리가 요거는 역함수를 정의하기 위해 써 있는 부분이고요 역함수를 지금 이렇게 정리를 해놨습니다 그러면 제가 일단 요구를 한번 적어 놔 볼게요 우리가 원래 y는 fx라고 하고요 역함수 f-1의 y는 x라는 관계도 성립을 해줍니다 요게 역함수의 정의죠 자 그러면 1번부터 보면 f-1의 마이너스 1이에요 역함수의 역함수죠 역함수의 역함수를 계산하면 원래 있던 함수 f가 나옵니다 자 2번은 조금 헷갈리는데 자 여기 f-1의 fx가 x라고 써 있어요 자 요걸 한번 계산을 한번 해 볼게요 우리가 af-1 안에fx가 있는 거죠 그러면 f-1 안에 뭐가 있는 거예요 y가 있는 거예요 그럼 얘는 뭐예요 x죠 자 그래서 원래 함수와 역함수를 합성했을 때 뭐가 나왔어요 항등 함수가 나오는 겁니다 항등 함수 x를 넣었더니 월례 함수와 역함수의 합성함수의 x를 넣었더니 x가 나왔어요 자 밑에 것도 한번 볼게요 밑에 것도 보면요 우리가 지금 어디에 넣었어요 f라는 거 안에 F 안에 f의 역함수를 집어넣었습니다 자 근데 f-1의 y는 fx죠 그럼 fx는 뭐랑 같아요 y랑 같아요 얘도 항등 함수입니다 y를 넣었을 때 지금 y가 나왔어요 얘도 항등 함수 얘도 항등 함수 근데 구분지어야 될게 있습니다 우리가 x는 정의역이고요y는 공역이죠 항등 함수는 항등 함수인데 정의역 범위에서 항등 함수가 나오는 것이고 공력 범위에서의 항등 함수가 나오는 겁니다

자 우리가 앞으로 대부분의 역함수의 합성 함수에서는요 실수 전체 집합에서 실수 전체집합에서 정의를 하기 때문에 정의역과 공유기 같습니다 그래서 특별하게 구분을 하지 않아도 되고요 우리가 y를 넣었을 때 y가 나오고 x가 나온다 결론적으로 f와 f-1이라는 f와 역함수를 합성했을 때는 순서 상관없이 항등 함수가 나온다는 사실로 알고 계시면 충분합니다 자 마지막으로요 우리가 f와 g 합성함수의 역함수예요 합성함수의 역함수는 f-1의 g-1 순서가 바뀌고 각각 역함수고요 3개여도 순서가 바뀌고 각각 역함수입니다 제가 지금 2번은 안 했는데요요 내용은 우리 위에 있던이 두 내용을 정리해서 적어 놓은겁니다 따로 설명드리지는 않겠습니다 자 이번에 역함수의 성질에서 개념유제 볼 건데요 fx가 -2x+3으로 정의되어 있고 gx가 요걸로 정리되어 있네요 서로 역함수 관계에 있음을 보이라 그랬네요 자 그러면 만약에 역함수 관계라면 f랑 g를 합성했을 때 뭐가 나와야 돼요 항등 함수가 나와야 되죠 한번 요렇게 해보겠습니다 F 안에 GX -2분의 1 X + 2분의 3을 넣어주면요 지금 x 자리에다 넣는 거니까요 자리에다 넣는 거고 -2에 - 2분의 1 X + 2분의 3입니다 요거 플러스 3이고요 쭉 전기를 해주면 x - 3 + 3이라 x만 남게 되네요 그러면 우리가 지금 f랑 g를 합성했더니 x가 나왔죠 그럼 얘는 뭐예요 f와 g는 역함수 관계에 있는 겁니다 우리가역함수의 성질을 통해서 역함수인 걸 보였죠 자 개념 예제 하나 더 보도록 하겠습니다 f가 X7 -3이고요 gx가 3x+1일 때 요거를 계산하라 그랬네요 합성을 지금 엄청 많이 했어요 저거를 한번 먼저 정리를 해 봅시다 g에 f에 g의 마이너스 1의 g죠 자 그러면 우리 합성함수의 역함수는 어떻게 계산해야 된다 그랬어요 순서가 바뀌고 각각 역함수라 그랬죠 요렇게요 그러면 우리 g랑 g의 역함수를 합성하면 항등 함수가 나온다 그랬어요 그럼 제가 그 항등 함수를 i라고 써보겠습니다 이렇게 쓰면 우리가 항등 함수를 합성했을 때는 변화가 있나요 없죠 얘는 사라지는 겁니다 이렇게요 쓸 필요가 없는 거죠 항등암수니까 그래서 우리는 f의 역함수에gx를 넣을 건데 지금 7을 넣는 겁니다요 값을 구하는 것이죠 그래서 일단 gt를 먼저 구해요 쥐치를 구하면 22가 나오네요 여기다가 7을 대입하면

자 그러면 우리는 이번에 F 역함수의 22 값을 계산해야 되는데 우리가 그러면 어 이거 역함수 계산해야 돼요라고 생각할 수도 있는데 그거보다는 우리가이 값을 k라고 놓으면요 F 역함수의 넌 22를 계산해서 k가 나온 거니까 거꾸로 원래 함수 f에다 k를 집어넣으면 22가 나오는 겁니다 우리 역함수는 XY 자리 바꾼 거니까요 XY 자리 바꿔서 fx에다 넣어주면 되는 겁니다 자 요렇게 바뀌면 fk가 22니까 k의 제곱 마이너스 3은 22구요 k의 제곱은 25니까 우리가 최종적으로 K 값이 플러스 마이너스 5인데 문제에서 우리가 k는x는 양수라는 범위를 주었죠 그렇기 때문에 k는 5만 성립을 합니다 자 이번엔 역함수의 그래프인데요 우리가 역함수 그래프를 그리기 전에 우리가 x 콤마 y였던 FX 위에 점을 역함수로 바꾸면 어떻게 되는 거예요 y랑 x랑 자리가 바뀌는 거죠 자 그러면 원래 x 콤마 y 어떤 점을 y 콤마 x로 바꾸는 거는 대칭 이동 중에 무슨 대칭 이동이에요 y는 x에 관한 대칭 이동이죠 그래서 우리는 원래 FX 그래프가 이렇게 생겼으면 y는 x에 대해 대치시킨이 그래프가 바로 역함수의 그래프가 되는 겁니다 자 그러면 제가 하나 더 알려 드릴 건데 어떤 fx라는 함수가 y = x와 만난다고 해볼게요 그러면 그래프를 요런 느낌으로 그릴 수 있겠죠FX 자 여기도 올라가면 안 되겠네요 조금 이렇게 일대일 대응이어야 되니까 자 이거를 y=x의 대칭시키면요 어떻게 되냐 이렇게 됩니다 자 그럼 여러분이 주목해야 되는 부분은 어디냐 바로 요점이에요 이 점이 무슨 점이에요 원래 fx와 fx와 y = x의 교점이었습니다 근데 그 교점이 누구의 교점이기도 한 거예요 fx와 f-1의 x의 교점이기도 한 겁니다 자 그래서 우리가요 내용을 알고 있어야 됩니다 y=x와 fx의 교점은요 fx와 F 역함수의 교점과 일치합니다

자 그러면 개념 예제 바로 볼 건데요 문제에서 y는 1/2x+4와 요 역함수 fx와 f의 역함수의 교점을 찾으라그랬어요 자 그러면 우리가 그래프를 한번 그려보면 1/2x+4는 그래프가 이런 식으로 그려질 텐데 얘랑 역함수를 찾으래요 역함수의 교점 그러면 y=x가 이렇게 있고 y = x에 대해 대칭시키면 2로 다시 그릴게요 자 요렇게 생겼을 텐데 역함수가 요렇게 생겼겠죠 그러면 교점이 지금 어디 위에 있는 거예요 y=x 위에 있는 겁니다 그래서 우리는 역함수를 찾지 않고 y는 1/2 x+4와 y는 x의 교점을 찾아주는 거예요 2분의 1 X + 4는 x라고 놓으면 구할 수 있고요 2분의 1x는 4니까 우리가 최종적으로 x는 8이라고 계산할 수 있겠네요 따라서 8 8이 바로 교점입니다

자 여기까지 해서요 우리가 오늘 역함수에 관한 내용을 학습을 마쳤구요 우리가 역함수의 성질이나 그래프나어떤 정의 부분에서도 y랑 x가 정말 많이 헷갈립니다 정말 많은 연습을 통해서 익숙해져야 되는 부분이니까 공부 꼭 열심히 하시고 복습도 꼼꼼하게 하시길 당부드립니다 오늘 강의는 여기까지고요 고생하셨습니다 감사합니다