[수학대왕] 수학 하 개념강의 : 함수와 그래프 - 유리식

자 오늘 학습할 내용은 유리식입니다 유리식 인데요 우리가 유리식이 뭔지 먼저 학습을 해보도록 할게요 두 당시 a와 b에 대하여 b분의 a로 표현할 수 있으면 유리식이라고 하는 거예요 다항식품의 다항식이라고 표현되면 유리식인 겁니다 자 그런데 b가 0이 아닌 상수로만 이루어진 다항식이라면 그것도 우리는 유리식이라고 표현할 거예요 예를 들어 요런 거죠 지금 b분의 a를 유리식이라고 했는데 비가 만약에이고 a가 만약에 x예요 b가 만약에이고 a가 만약에 x면 b분의 a는 뭐예요 2분의 x죠 이런 것도 우리는 유리식이라고 하겠다는 겁니다 그래서 유리식이라는 범위 안에는다항식이 들어가 있는 거예요 요렇게 다항식을 포함하는 개념입니다

자 넘어가세요 우리가 유리식의 성질 간단하게 볼 건데요 숫자에서 성립했던 것들이 우리가 유리식을 계산할 때도 다항식과 다항식으로 이루어져 있어도 대부분 똑같이 적용이 됩니다 b분의 a가 있으면 분모분자의 똑같은 수를 곱해줘도 똑같죠 bc분의 AC 그리고 분모분자를 똑같은 수로 나눠줘도 B 나누기 c분의 a 나누기 C 똑같습니다 단 당연히 비두형이면 안되고 c도 0이면 안 되겠죠 b랑 c를 곱하거나 나눌 건데 b가 0이면 지금 분모가 0이어서 안 되는 거고요 c가 0이면 여기 B 곱하기 c가 0이 돼서 안 되고요 지금 B 나누기 c에서 c가 다시 분모로 들어가기 때문에 c가 0이면 안 됩니다 다음으로 넘어가겠습니다 4층 연산도 마찬가지로 우리가 숫자에서 성립하는 것처럼 다 똑같이성립을 합니다 덧셈 같은 경우엔 1/10+ c분의 비면 분모가 똑같으니까 c분의 a+b가 되고요 뺄셈도 마찬가지로 c분의 a-b로 계산할 수 있습니다 곱셈은 분모는 분모끼리 분자는 분자끼리 계산해 주면 되고 나눗셈은 우리 어떻게 했어요 c분의 a / d 분의 b면 곱셈으로 바꾸고 분모 분자를 바꿔줬죠 이렇게 그래서 bc분의 ad가 됩니다

자 이거 가지고 우리 개념 예제 풀어 볼 건데요 제가 다 풀지는 않을 거고 1번하고 3번만 풀어보도록 하겠습니다 2번하고 4번은 수원 마치고 노트에 한번 꼭 풀어보시기 바랍니다 자 1번 같은 경우는요 우리가 지금 x+1/2이 있고 x-2분의 2가 있어요 통분을 해줘야 됩니다 통분을 하기 위해서는 x+2 에다가 뭐를 곱해줘야겠어요 바로 x-2를 곱해줘야 되겠죠 요렇게오른쪽에 있는 x-2분의 2는요 분모분자의 뭘 곱해줘야겠어요 똑같은 분모를 만들기 위해 x+2를 곱해줘야겠죠 요렇게 그래서 분모는 어차피 지금 똑같아졌어요 뭘로 똑같아졌어요 x+2x-2로 똑같아졌습니다 분자는요 x-2 + 2의 x + 2고요 분모는 x+2 x - 2 둔다는 뭐예요 3x + 2가 됩니다 여기까지 계산하는 거 어렵지 않았을 거예요 3번 보도록 할게요 3번은 곱셈인데요 지금 인수분해되는 애들이 있죠 얘가 인수분해되고 얘가 인수분해되고 얘가 인수분해돼요 각각 인수분해를 해주면 x-3 x+1 분자는 x - 1곱하기 분모는 x-1 x-4 진단은 x-3 x+2로 인수분해가 되는 거 우리가 확인을 할 수 있습니다 자 그럼이 상태에서 우리가 봤을 때 라쿤이 되는 애들이 있어요 x-1 x-1 x-3 x - 3 그래서 남은 애들만 모아서 써주면 분모에 있는 x+1의 x-4가 있고요 분자인은 x + 2가 있습니다 여기까지 해서 우리가 유리식의 4층 연산도 한번 해 봤습니다

자 다음으로 넘어가서 부분 분수인데요 우리가 여기부터는 이제 또 처음 외우는 내용이니까 조금 천천히 학습을 해보도록 할게요 우리가 분모가 만약 예를 들어 요런 애들이 있어요 이미 곱셈이 돼 있습니다 근데 우리는 요거를 두 개의 분수의 덧셈과 뺄셈으로 분리하고 싶은 거예요 그럴 때 쓰는 건데이 공식을 쓰면요 얘 x+1을a라고 놓고 x+1을 b라고 생각하면 일단은 b-1을 적어줍니다 x+2 - x+1이고 그리고 괄호 안에는요 a분의 1 - b분의 1을 이렇게 적어주면 돼요 자 그러면 x+2 - x+1이 얘가 계산하면 뭘로 돼요 1로 되죠 그러면 얘가 어차피 1이니까 남는 건 뭐예요 x+1 - x + 2분의 1이 됩니다 자 이거는 언제 많이 쓰냐면요 여기 써 있는 바로이 b-a 부분이 계산했을 때 상수항이 되는 경우에 우리가이 식을 많이 써 주게 됩니다 자 그러면 개념 예제 풀어 볼 건데요 자 이렇게 지금 분수식들이 엄청 많이 쓰여있네요 이렇게 많이 쓰여 있는데 제가 각각 부분 분수 분해를 통해서 한번분수를 나눠보겠습니다 자 x의 x + 1인데요 요거 x+1에서 x 빼면 1이죠 자 얘도 마찬가지입니다 x+2에서 x+1 빼면 1이에요 얘도 x+3에서 x + 2를 빼면 1이죠 여기도 x+4에서 x+3을 빼면 1입니다 그래서 얘네를 어떻게 정리를 할 수 있냐 x분의 1 - X + 1로 되고요 x + 1 - X + 1/2이 되고 x + 1/2 - x + 3분의 1 x + 1/3 - x + 4분의 1입니다 그러면 어떻게 돼요 얘랑 얘가 똑같아서 사라지죠 얘랑 얘도 사라집니다 얘랑 얘도 사라지구요 그럼 결국 남는게 x라고x + 4분의 1밖에 없는 거예요 그러면 x의 x+4로 통분을 해주면 분자는 x+4 - x로 되고요 x의 x + 4분의 4라고 정리해서 답을 써주면 되겠네요 자 우리 부분 분수분해는요 여기 단원 말고도 앞으로 배울 단원들에서 상당히 많이 나오는 내용이니까 꼭 익혀 주시길 바랄게요

자 이번엔 번분수인데요 우리가 번분수가 뭐냐 하면 분모나 분자의 분수가 또 들어가 있는 걸 법문서라고 합니다 자 그러면 분모에는 지금 c가 있고요 분자에는 b분의 2가 있는데이 분모에 있는 b를 없애고 싶은 거예요 이 비를 없애고 싶으니까 분모 분자의 b를 곱합니다 그러면 이렇게 b랑 약분돼서 a만 남겠죠 그러고 분모는 bc만 남는 거예요 자 2번도 마찬가지로요 분모의 c분의 b가 있어요 그럼 우리가 없애고 싶은 건 뭐예요c를 없애고 싶은 거죠 그러니까 c를 곱해 주는 거죠 그럼 여기도 c가 없어지고 분모는 B 분자는 ac가 남게 되는 것이죠 자 3번은요 분모에도 분수가 있고 분자의도 분수가 있는 거예요 그럼 얘는 어떡하냐 요거 d도 없애고 싶고 요거 b도 없애고 싶으니까 dd를 그냥 부모 분자의 곱해버리는 거죠 이렇게 그러면 d가 없어지고 b가 없어지니까 bc분의 ad가 남게 됩니다 그래서 3번 같은 경우는 이제 좀 자주 쓰이니까 저는 어떻게 활용을 해주냐면요이 안에 있는 bc를 곱해서 분모 bc라고 써주고요 바깥쪽에 있는 ad를 곱해서 이렇게 분자에 올려주는 계산을 저는 사용을 합니다 편리한 것을 선택해서 사용을 해주시면 될 것 같고요 우리가 다음에 이제 개념 예제를 한번 풀어보도록 할게요 간단히 하라 그랬네요 우리가 1번 먼저 풀어보면요 x-x+ 1분의 6이고 여기는 x-x-1분의 2예요 그러면 각각 분자는 분자끼리 통분할 거고요 분모는 분모 안에서 통분을 한번 해 줘 볼게요 x+1로 통분을 해주면 x² + x-6이고 군자는 x-1 x의 제곱 마이너스 x - 2죠 그러면 제가 어떻게 한다 그랬어요 안에 있는 거 두 개를 곱해서 분모에 써주고 x의 제곱 마이너스 x - 2라고 그리고 바깥쪽에 있는 두 개를 곱해서 분 잘 써줍니다 x-1의 x의 제곱 플러스 x-6이라고요 자 그러면 일단 분모 분자가 인수분해되는 것들이 좀 보이네요 x+1의 x-2 x+1 분자인은요 x - 1 X - 2x+3이네요그러면 약분되는게 보이죠 얘랑 얘랑 약분돼서요 분모에 남는 애들은 x+1의 제곱이고 분자인 남는 건 x-1 x + 3이라고 써주면 되겠네요 자 2번도 한번 풀어보겠습니다 우리가 요거를 풀려고 하는데 좀 복잡하게 생겼죠 한 번에 해결하려 하지 말고 맨 밑에부터 한 단계씩 차근차근 오면 됩니다 자 일단 저 밑에 있는 x+1을 통분을 한번 해 줄 거예요 통분을 해주면요 x분의 x 제곱 + 1이죠 그다음 뭐를 해줄 거냐 요거를 계산해 줄 거예요 자 쟤는 어떻게 계산하냐면요 우리가 x고 여기가 지금 x+인데 지금 1분의 1분에 x분의 x 제곱 플러스 1이니까요 부분에 요게 분모고 요렇게 분모로 누르고 바깥쪽에 있는 1과 x의 곱이 분자로 들어오는겁니다 자 그리고 요거 같은 경우는요 그냥 역수를 취해 버려도 됩니다 자 요거를 계산해주면 또 통분을 해 줘야겠네요 x 제곱 플러스 1분의 x^3 + x + x 분의 x입니다 그러면 x+x는 2x니까 여기를 2x라고 한번 쓸게요 자 그러면 요게 지금 1분 x죠 이번에도 마찬가지로 이거 분의 x^3 + 2x 분의 요렇게 x의 x 제곱 플러스 1입니다 그러면 x로 묶었을 때 x² + 2니까 빈자는 x의 x² + 1이 그대로고요 우리가 xx의 약분해서 최종적으로 x² + 1/2 x 제곱 플러스 1을 얻어낼 수 있습니다

자 여기까지 우리 개념 예제 풀어 봤구요 다음으로 넘어가 보겠습니다 이번엔 비례식인데요 우리가 비례식에서 내항의 곱과 외항의 곱은 정말 자주사용을 했었죠 이렇게 bc를 곱하고 ad를 곱하는 이런 성질을 많이 활용을 했었는데 우리가 이번에 조금 새로운 거를 배워보도록 하겠습니다 자 우리가 a대 b는요 이렇게 b분의 a로 표현할 수 있고요 C대 d는 b분의 c로 표현을 할 수 있죠 그럼 이렇게 표현을 했을 때 얘를 뒤에다가 k는 붙여줍니다 이렇게요 그러면 우리가 여기서 뭘 얻어낼 수 있어요 a는 BK c는 DK 요거를 활용하면 우리가 문제를 풀 때 문자를 조금 더 편하게 시환을 할 수 있는 경우가 있습니다 자 요거 말고도요 우리가 여기에서 양변에 b를 곱하면요 a는 D 분의 bc고요 그 다음에 양변에 c를 나눠주면 c분의 a는 b분의 b죠 그럼 요거를 키라고 놨을 때 여기서는 a는 ck랑요 b는 dk라는 식도 나오죠 자 요거는 예를 들어 언제 쓰는게 좋냐 만약에어떤 X대 y가 3대 4래요 그럼 우리는 이걸 보고 내항애고 외항의 곱도 좋지만 이렇게 써주는 겁니다 x는 3k이고요 y는 4k입니다라고 써주면 우리가 조금 더 깔끔하게 문제를 풀 수 있는 경우가 많아요 자 세 개일 때도 마찬가지고요 뭐 요렇게 써 있는데 무게가 숫자를 써서 좀 더 보기 쉽게 보여드리면 X대 y대 z가 2대 3대 4라면 x는 2K y는 3k z는 4k라고 놓는 겁니다 자 한번 이거를 활용해서 개념 예제 풀어볼게요 자 xyz에 대하여 X대 와이드 z가 1대 2대 3이래요 그러면 x는 k y는 2K z는 3k라고 놓는 겁니다 그래서 이렇게 잡아준 걸 우리 구하는 시 여기다가 대입을 해주면요 X Y z는6k 세제곱이고 x^3은 K3 제곱 Y 3제곱은 8k 3제곱 Z 3제곱은 27km 분모는 6k 3 제곱 분자는 다 더하면 36 K3 되고 그러면 어떻게 뛰어 K 3제곱이 작아지죠 그러면 6분의 36이니까 결론적으로 남는 건 6밖에 없습니다 자 이번엔 밑에 있는 문제 한번 풀어볼게요 자 4분의 x + y는 3분의 y + z는 5분의 z + x래요 저는 요거를 k라고 놓겠습니다 그러면 x+y는 4k이고 y + z는 3k이고 Z 플러스 x는 ok죠 그러면 맨 위에 있는 1번 식에서 가운데 있는 2번 식을 빼주면요 어떤식이 나와요 x-z는 k죠 그럼 이번에 요거랑 z플러스 x를 더해 줄 거예요더해주면 ex는 6k이고 우리가 x값을 구했네요 x는 3k라고 그러면 다시 여기다 대입하면 z는 2k라는 숫자를 얻어낼 수 있고요 다시 여기다 대입해도 y 값을 구해낼 수 있겠죠